2015-2016学年山西省朔州市右玉一中高二下学期期中数学试卷（理科）

试卷更新日期：2016-09-19 类型：期中考试

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一、选择题

1. 已知集合M={x|（x﹣1）²＜4，x∈R}，N={﹣1，0，1，2，3}，则M∩N=（）

A、{0，1，2} B、{﹣1，0，1，2} C、{﹣1，0，2，3} D、{0，1，2，3}

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2. 满足 $\frac{z + i}{z}$ =i（i为虚数单位）的复数z=（）

A、 $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{2}$ i B、 $\frac{1}{2}$ ﹣ $\frac{1}{2}$ i C、﹣ $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{2}$ i D、﹣ $\frac{1}{2}$ ﹣ $\frac{1}{2}$ i

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3. 阅读如图程序框图，运行相应的程序，则程序运行后输出的结果为（）

A、7 B、9 C、10 D、11

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4. 直线y=4x 与曲线y=x³在第一象限内围成的封闭图形的面积为（）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $4 \sqrt{2}$ C、2 D、4

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5. 从1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为a，b，共可得到lga﹣lgb的不同值的个数是（）

A、9 B、10 C、18 D、20

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6. 若a∈R，则“关于x的方程x²+ax+1=0无实根”是“z=（2a﹣1）+（a﹣1）i（其中i表示虚数单位）在复平面上对应的点位于第四象限”的（）

A、充分非必要条件 B、必要非充分条件 C、充要条件 D、既非充分又非必要条件

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7. 设函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（）

A、f（x）+|g（x）|是偶函数 B、f（x）﹣|g（x）|是奇函数 C、|f（x）|+g（x）是偶函数 D、|f（x）|﹣g（x）是奇函数

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8. 某几何体的三视图如图所示，它的体积为（）

A、12π B、45π C、57π D、81π

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9. 等比数列{a_n}中，a₄=2，a₅=5，则数列{lga_n}的前8项和等于（　　）

A、6 B、5 C、4 D、3

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10. 设a为实数，函数f（x）=x³+ax²+（a﹣3）x的导函数为f′（x），且f′（x）是偶函数，则曲线y=f（x）在原点处的切线方程为（）

A、y=3x+1 B、y=﹣3x C、y=﹣3x+1 D、y=3x﹣3

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11. 设函数f（x）在R上可导，其导函数为f′（x），且函数y=（1﹣x）f′（x）的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（）

A、函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（1） B、函数f（x）有极大值f（﹣2）和极小值f（1） C、函数f（x）有极大值f（2）和极小值f（﹣2） D、函数f（x）有极大值f（﹣2）和极小值f（2）

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12. 定义在（0， $\frac{π}{2}$ ）上的函数f（x），f′（x）是它的导函数，且恒有f（x）＜f′（x）tanx成立，则（　　）

A、 $\sqrt{3}$ f（ $\frac{π}{4}$ ）＞ $\sqrt{2}$ f（ $\frac{π}{3}$ ） B、f（1）＜2f（ $\frac{π}{6}$ ）sin1 C、 $\sqrt{2}$ f（ $\frac{π}{6}$ ）＞f（ $\frac{π}{4}$ ） D、 $\sqrt{3}$ f（ $\frac{π}{6}$ ）＜f（ $\frac{π}{3}$ ）

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二、填空题

13. 在平面中，△ABC的角C的内角平分线CE分△ABC面积所成的比 $\frac{S △ A E C}{S △ B E C}$ = $\frac{A C}{B C}$ ．将这个结论类比到空间：在三棱锥A﹣BCD中，平面DEC平分二面角A﹣CD﹣B且与AB交于E，则类比的结论为 $\frac{V_{A - C D E}}{V_{B - C D E}}$ = ．

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14. 若曲线y=e^﹣^x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0，则点P的坐标为．

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15. 有6名男医生、5名女医生，从中选出2名男医生、1名女医生组成一个医疗小组，则不同的选法共有种．（用数字作答）．

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16. 若f（x）= ${\begin{matrix} f (x - 4) ， x > 0 \\ e^{x} + \int_{1}^{2} \frac{1}{t} d t ， x \leq 0 \end{matrix}$ ，则f（2016）等于．

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三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤

17. 在数列{a_n}中，a₁=1，a₂= $\frac{1}{4}$ ，且a_n+1= $\frac{(n - 1) a_{n}}{n - a_{n}}$ （n≥2）

(1)、求a₃ ， a₄；

(2)、猜想a_n的表达式，并加以证明．

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18. 已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）

(1)、当a=2时，求曲线y=f（x）在点A（1，f（1））处的切线方程；

(2)、求函数f（x）的极值．

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19. 已知向量 $\vec{a} = (\sin θ ， - 2)$ 与 $\vec{b} = (1 ， \cos θ)$ 互相垂直，其中 $θ = (0 ， \frac{π}{2})$ ．

(1)、求sinθ和cosθ的值；

(2)、若 $\sin (θ - ϕ) = \frac{\sqrt{10}}{10}$ ， $0 < ϕ < \frac{π}{2}$ 求cosφ的值．

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20. 如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的闰面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，M为CE的中点．

(1)、求证：BM∥平面ADEF；

(2)、求平面BEC与平面ADEF所成锐二面角的余弦值．

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21. 已知曲线E上任意一点P到两个定点 $F_{1} (- \sqrt{3} ， 0)$ 和 $F_{2} (\sqrt{3} ， 0)$ 的距离之和为4，

(1)、求动点P的方程；

(2)、设过（0，﹣2）的直线l与曲线E交于C、D两点，且 $\vec{O C} \cdot \vec{O D} = 0$ （O为坐标原点），求直线l的方程．

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22. 已知函数f（x）=x（x+a）﹣lnx，其中a为常数．

(1)、当a=﹣1时，求f（x）的极值；

(2)、若f（x）是区间 $(\frac{1}{2} ， 1)$ 内的单调函数，求实数a的取值范围．

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