2012年高考理数真题试卷（新课标卷）

试卷更新日期：2016-09-18 类型：高考真卷

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一、选择题在每小题给同的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 已知集合A={1，2，3，4，5}，B={（x，y）|x∈A，y∈A，x﹣y∈A}，则B中所含元素的个数为（）

A、3 B、6 C、8 D、10

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2. 将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有（）

A、12种 B、10种 C、9种 D、8种

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3. 下面是关于复数z= $\frac{2}{- 1 + i}$ 的四个命题：其中的真命题为（），
p₁：|z|=2，
p₂：z²=2i，
p₃：z的共轭复数为1+i，
p₄：z的虚部为﹣1．

A、p₂ ， p₃ B、p₁ ， p₂ C、p₂ ， p₄ D、p₃ ， p₄

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4. 设F₁、F₂是椭圆 $E ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，P为直线x= $\frac{3 a}{2}$ 上一点，△F₂PF₁是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{4}{5}$

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5. 已知{a_n}为等比数列，a₄+a₇=2，a₅a₆=﹣8，则a₁+a₁₀=（）

A、7 B、5 C、﹣5 D、﹣7

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6. 如果执行右边的程序框图，输入正整数N（N≥2）和实数a₁ ， a₂ ， …，a_n ，输出A，B，则（）

A、A+B为a₁ ， a₂ ， …，a_n的和 B、 $\frac{A + B}{2}$ 为a₁ ， a₂ ， …，a_n的算术平均数 C、A和B分别是a₁ ， a₂ ， …，a_n中最大的数和最小的数 D、A和B分别是a₁ ， a₂ ， …，a_n中最小的数和最大的数

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7. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体积为（）

A、6 B、9 C、12 D、18

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8. 等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y²=16x的准线交于A，B两点， $| A B | = 4 \sqrt{3}$ ，则C的实轴长为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、4 D、8

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9. 已知ω＞0，函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{4})$ 在 $(\frac{π}{2} ， π)$ 上单调递减．则ω的取值范围是（）

A、 $[\frac{1}{2} ， \frac{5}{4}]$ B、 $[\frac{1}{2} ， \frac{3}{4}]$ C、 $(0 ， \frac{1}{2}]$ D、（0，2]

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10. 已知函数f（x）= $\frac{1}{\ln (x + 1) - x}$ ，则y=f（x）的图象大致为（　　）

A、 B、 C、 D、

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11. 已知三棱锥S﹣ABC的所有顶点都在球O的表面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则此三棱锥的体积为（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{6}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{12}$

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12. 设点P在曲线 $y = \frac{1}{2} e^{x}$ 上，点Q在曲线y=ln（2x）上，则|PQ|最小值为（）

A、1﹣ln2 B、 $\sqrt{2} (1 - \ln 2)$ C、1+ln2 D、 $\sqrt{2} (1 + \ln 2)$

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 夹角为45°，且 $| \vec{a} | = 1 ， | 2 \vec{a} - \vec{b} | = \sqrt{10}$ ，则 $| \vec{b} |$ =

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14. 设x，y满足约束条件： ${\begin{matrix} x \geq 0 ， y \geq 0 \\ x - y \geq - 1 \\ x + y \leq 3 \end{matrix}$ ；则z=x﹣2y的取值范围为

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15. 某个部件由三个元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作，设三个电子元件的使用寿命（单位：小时）均服从正态分布N（1000，50²），且各个元件能否正常相互独立，那么该部件的使用寿命超过1000小时的概率为．

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16. 数列{a_n}满足a_n+1+（﹣1）ⁿa_n=2n﹣1，则{a_n}的前60项和为．

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三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．

17. 已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，c= $\sqrt{3}$ asinC﹣ccosA．

(1)、求A；

(2)、若a=2，△ABC的面积为 $\sqrt{3}$ ，求b，c．

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18. 某花店每天以每枝5元的价格从农场购进若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的价格出售，如果当天卖不完，剩下的玫瑰花作垃圾处理．

(1)、若花店一天购进16枝玫瑰花，求当天的利润y（单位：元）关于当天需求量n（单位：枝，n∈N）的函数解析式．

(2)、花店记录了100天玫瑰花的日需求量（单位：枝），整理得下表：
日需求量n
14
15
16
17
18
19
20
频数
10
20
16
16
15
13
10
以100天记录的各需求量的频率作为各需求量发生的概率．
（i）若花店一天购进16枝玫瑰花，X表示当天的利润（单位：元），求X的分布列，数学期望及方差；
（ii）若花店计划一天购进16枝或17枝玫瑰花，你认为应购进16枝还是17枝？请说明理由．

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19. 如图，直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AC=BC= $\frac{1}{2}$ AA₁ ， D是棱AA₁的中点，DC₁⊥BD

(1)、证明：DC₁⊥BC；

(2)、求二面角A₁﹣BD﹣C₁的大小．

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20. 设抛物线C：x²=2py（p＞0）的焦点为F，准线为l，A∈C，已知以F为圆心，FA为半径的圆F交l于B，D两点；

(1)、若∠BFD=90°，△ABD的面积为 $4 \sqrt{2}$ ，求p的值及圆F的方程；

(2)、若A，B，F三点在同一直线m上，直线n与m平行，且n与C只有一个公共点，求坐标原点到m，n距离的比值．

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21. 已知函数f（x）满足f（x）=f′（1）e^x^﹣¹﹣f（0）x+ $\frac{1}{2}$ x²；

(1)、求f（x）的解析式及单调区间；

(2)、若 $f (x) \geq \frac{1}{2} x^{2} + a x + b$ ，求（a+1）b的最大值．

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四、请考生在第22，23，24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号．

22. 如图，D，E分别为△ABC边AB，AC的中点，直线DE交△ABC的外接圆于F，G两点，若CF∥AB，证明：

(1)、CD=BC；

(2)、△BCD∽△GBD．

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23. 选修4﹣4；坐标系与参数方程
已知曲线C₁的参数方程是 ${\begin{matrix} x = 2 \cos ϕ \\ y = 3 \sin ϕ \end{matrix}$ （φ为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线C₂的坐标系方程是ρ=2，正方形ABCD的顶点都在C₂上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为（2， $\frac{π}{3}$ ）．

(1)、求点A，B，C，D的直角坐标；

(2)、设P为C₁上任意一点，求|PA|²+|PB|²+|PC|²+|PD|²的取值范围．

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24. 已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|

(1)、当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；

(2)、若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．

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日需求量n	14	15	16	17	18	19	20
频数	10	20	16	16	15	13	10