2012年高考理数真题试卷（广东卷）

试卷更新日期：2016-09-18 类型：高考真卷

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一、选择题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．

1. 设i是虚数单位，则复数 $\frac{5 - 6 i}{i}$ =（）

A、6+5i B、6﹣5i C、﹣6+5i D、﹣6﹣5i

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2. 设集合U={1，2，3，4，5，6}，M={1，2，4}，则∁_UM=（）

A、U B、{1，3，5} C、{3，5，6} D、{2，4，6}

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3. 若向量 $\vec{B A} = (2 ， 3)$ ，向量 $\vec{C A} = (4 ， 7)$ ，则 $\vec{B C}$ =（）

A、（﹣2，﹣4） B、（3，4） C、（6，10） D、（﹣6，﹣10）

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4. 下列函数，在区间（0，+∞）上为增函数的是（）

A、y=ln（x+2） B、 $y = - \sqrt{x + 1}$ C、 $y = {(\frac{1}{2})}^{x}$ D、 $y = x + \frac{1}{x}$

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5. 已知变量x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} y \leq 2 \\ x + y \geq 1 \\ x - y \leq 1 \end{matrix}$ ，则z=3x+y的最大值为（）

A、12 B、11 C、3 D、﹣1

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6. 某几何体的三视图如图所示，它的体积为（）

A、12π B、45π C、57π D、81π

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7. 从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是（）

A、 $\frac{4}{9}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{2}{9}$ D、 $\frac{1}{9}$

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8. 对任意两个非零的平面向量 $\vec{α}$ 和 $\vec{β}$ ，定义 $\vec{α}$ ○ $\vec{β}$ = $\frac{\vec{α} \cdot \vec{β}}{\vec{β} \cdot \vec{β}}$ ，若平面向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 满足| $\vec{a}$ |≥| $\vec{b}$ |＞0， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $θ \in (0 ， \frac{π}{4})$ ，且 $\vec{a}$ ○ $\vec{b}$ 和 $\vec{b}$ ○ $\vec{a}$ 都在集合 ${\frac{n}{2} | n \in z}$ 中，则 $\vec{a}$ ○ $\vec{b}$ =（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{3}{2}$ D、 $\frac{5}{2}$

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二、填空题：（一）必做题（9～13题）（二）选做题（14～15题，考生只能从中选做一题）

9. 不等式|x+2|﹣|x|≤1的解集为

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10. ${(x^{2} + \frac{1}{x})}^{6}$ 中x³的系数为．（用数字作答）

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11. 已知递增的等差数列{a_n}满足a₁=1，a₃=a₂²﹣4，则a_n= ．

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12. 曲线y=x³﹣x+3在点（1，3）处的切线方程为．

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13. 执行如图所示的程序框图，若输入n的值为8，则输出的s的值为

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14. （坐标系与参数方程选做题）在平面直角坐标系xOy中，曲线C₁与C₂的参数方程分别为 ${\begin{matrix} x = t \\ y = \sqrt{t} \end{matrix}$ （t为参数）和 ${\begin{matrix} x = \sqrt{2} \cos θ \\ y = \sqrt{2} \sin θ \end{matrix}$ （θ为参数），则曲线C₁与C₂的交点坐标为．

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15. （几何证明选讲选做题）如图，圆O中的半径为1，A、B、C是圆周上的三点，满足∠ABC=30°，过点A作圆O的切线与OC的延长线交于点P，则图PA=

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三、解答题：解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．

16. 已知函数 $f (x) = 2 \cos (ω x + \frac{π}{6})$ （其中ω＞0，x∈R）的最小正周期为10π．

(1)、求ω的值；

(2)、设 $α ， β \in [0 ， \frac{π}{2}]$ ， $f (5 α + \frac{5}{3} π) = - \frac{6}{5}$ ， $f (5 β + \frac{5}{6} π) = \frac{16}{17}$ ，求cos（α+β）的值．

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17. 某班50位学生期中考试数学成绩的频率直方分布图如图所示，其中成绩分组区间是：[40，50），[50，60），[60，70），[70，80），[80，90），[90，100]．

(1)、求图中x的值；

(2)、从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为ξ，求ξ的数学期望．

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18. 如图所示，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，点E在线段PC上，PC⊥平面BDE．

(1)、证明：BD⊥平面PAC；

(2)、若PA=1，AD=2，求二面角B﹣PC﹣A的正切值．

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19. 设数列{a_n}的前n项和为S_n ，满足2S_n=a_n+1﹣2ⁿ⁺¹+1，n∈N^* ，且a₁ ， a₂+5，a₃成等差数列．

(1)、求a₁的值；

(2)、求数列{a_n}的通项公式；

(3)、证明：对一切正整数n，有 $\frac{1}{a_{1}} + \frac{1}{a_{2}} + \frac{1}{a_{3}} + \dots + \frac{1}{a_{n_{}}} < \frac{3}{2}$ ．

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20. 在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率 $e = \sqrt{\frac{2}{3}}$ ，且椭圆C上的点到点Q（0，2）的距离的最大值为3．

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、在椭圆C上，是否存在点M（m，n），使得直线l：mx+ny=1与圆O：x²+y²=1相交于不同的两点A、B，且△OAB的面积最大？若存在，求出点M的坐标及对应的△OAB的面积；若不存在，请说明理由．

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21. 设a＜1，集合A={x∈R|x＞0}，B={x∈R|2x²﹣3（1+a）x+6a＞0}，D=A∩B．

(1)、求集合D（用区间表示）；

(2)、求函数f（x）=2x³﹣3（1+a）x²+6ax在D内的极值点．

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