2012年高考理数真题试卷(福建卷)

试卷更新日期:2016-09-18 类型:高考真卷

一、选择题:在每小题给出分四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

  • 1. 若复数z满足zi=1﹣i,则z等于(   )
    A、﹣1﹣I B、1﹣I C、﹣1+I D、1+i
  • 2. 等差数列{an}中,a1+a5=10,a4=7,则数列{an}的公差为(   )
    A、1 B、2 C、3 D、4
  • 3. 下列命题中,真命题是(   )
    A、∃x0∈R, ex0 ≤0 B、∀x∈R,2x>x2 C、a+b=0的充要条件是 ab =﹣1 D、a>1,b>1是ab>1的充分条件
  • 4. 一个几何体的三视图形状都相同,大小均相等,那么这个几何体不可以是(   )
    A、 B、三棱锥 C、正方体 D、圆柱
  • 5. 下列不等式一定成立的是(   )
    A、lg(x2+ 14 )>lgx(x>0) B、sinx+ 1sinx ≥2(x≠kx,k∈Z) C、x2+1≥2|x|(x∈R) D、1x2+11 (x∈R)
  • 6. 如图所示,在边长为1的正方形OABC中任取一点P,则点P恰好取自阴影部分的概率为(   )

    A、14 B、15 C、16 D、17
  • 7. 设函数 D(x)={1,x0x ,则下列结论错误的是(   )
    A、D(x)的值域为{0,1} B、D(x)是偶函数 C、D(x)不是周期函数 D、D(x)不是单调函数
  • 8. 已知双曲线 x24y2b2 =1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合,则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于(   )
    A、5 B、42 C、3 D、5
  • 9. 若函数y=2x图象上存在点(x,y)满足约束条件 {x+y30x2y30xm ,则实数m的最大值为(   )
    A、12 B、1 C、32 D、2
  • 10. 函数f(x)在[a,b]上有定义,若对任意x1 , x2∈[a,b],有 f(x1+x22)12[f(x1)+f(x2)] 则称f(x)在[a,b]上具有性质P.设f(x)在[1,3]上具有性质P,现给出如下命题:

    ①f(x)在[1,3]上的图象是连续不断的;

    ②f(x2)在[1, 3 ]上具有性质P;

    ③若f(x)在x=2处取得最大值1,则f(x)=1,x∈[1,3];

    ④对任意x1 , x2 , x3 , x4∈[1,3],有 f(x1+x2+x3+x44)14  [f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)]

    其中真命题的序号是(    )

    A、①② B、①③ C、②④ D、③④

二、填空题:把答案填在答题卡的相应位置.

  • 11. (a+x)4的展开式中x3的系数等于8,则实数a=

  • 12. 阅读图所示的程序框图,运行相应地程序,输出的s值等于

  • 13. 已知△ABC得三边长成公比为 2 的等比数列,则其最大角的余弦值为
  • 14. 数列{an}的通项公式an=ncos nπ2 +1,前n项和为Sn , 则S2012=

  • 15. 对于实数a和b,定义运算“*”:a*b= {a2ababb2aba>b 设f(x)=(2x﹣1)*(x﹣1),且关于x的方程为f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根x1 , x2 , x3 , 则x1x2x3的取值范围是

三、解答题,解答题写出文字说明,证明过程或演算步骤.

  • 16. 受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业产生每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有关,某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为2年,现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机抽取50辆,统计数据如下:

    品牌

             甲

          乙

    首次出现故障时间x(年)

    0<x<1

    1<x≤2

    x>2

    0<x≤2

    x>2

    轿车数量(辆)

    2

    3

    45

    5

    45

    每辆利润(万元)

    1

    2

    3

    1.8

    2.9

    将频率视为概率,解答下列问题:

    (Ⅰ)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求首次出现故障发生在保修期内的概率;

    (Ⅱ)若该厂生产的轿车均能售出,记住生产一辆甲品牌轿车的利润为X1 , 生产一辆乙品牌轿车的利润为X2 , 分别求X1 , X2的分布列;

    (Ⅲ)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当,由于资金限制,只能生产其中一种品牌轿车,若从经济效益的角度考虑,你认为应该产生哪种品牌的轿车?说明理由.

  • 17. 某同学在一次研究性学习中发现,以下五个式子的值都等于同一个常数.

    1)sin213°+cos217°﹣sin13°cos17°

    2)sin215°+cos215°﹣sin15°cos15°

    3)sin218°+cos212°﹣sin18°cos12°

    4)sin2(﹣18°)+cos248°﹣sin2(﹣18°)cos48°

    5)sin2(﹣25°)+cos255°﹣sin2(﹣25°)cos55°

    (Ⅰ)试从上述五个式子中选择一个,求出这个常数;

    (Ⅱ)根据(Ⅰ)的计算结果,将该同学的发现推广为三角恒等式,并证明你的结论.

  • 18.

    如图,在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中AA1=AD=1,E为CD中点.

    (Ⅰ)求证:B1E⊥AD1

    (Ⅱ)在棱AA1上是否存在一点P,使得DP∥平面B1AE?若存在,求AP的长;若不存在,说明理由.

    (Ⅲ)若二面角A﹣B1E﹣A1的大小为30°,求AB的长.

  • 19. 如图,椭圆E: x2a2+y2b2=1(a>b>0) 的左焦点为F1 , 右焦点为F2 , 离心率e= 12 .过F1的直线交椭圆于A、B两点,且△ABF2的周长为8.

    (Ⅰ)求椭圆E的方程.

    (Ⅱ)设动直线l:y=kx+m与椭圆E有且只有一个公共点P,且与直线x=4相交于点Q.试探究:在坐标平面内是否存在定点M,使得以PQ为直径的圆恒过点M?若存在,求出点M的坐标;若不存在,说明理由.

  • 20. 已知函数f(x)=ex+ax2﹣ex,a∈R.

    (Ⅰ)若曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线平行于x轴,求函数f(x)的单调区间;

    (Ⅱ)试确定a的取值范围,使得曲线y=f(x)上存在唯一的点P,曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点P.

四、选考题

  • 21. (1)选修4﹣2:矩阵与变换

    设曲线2x2+2xy+y2=1在矩阵A= (a0b1) (a>0)对应的变换作用下得到的曲线为x2+y2=1.

    (Ⅰ)求实数a,b的值.

    (Ⅱ)求A2的逆矩阵.

  • 22. 选修4﹣4:坐标系与参数方程

    在平面直角坐标系中,以坐标原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线l上两点M,N的极坐标分别为(2,0),( 233π2 ),圆C的参数方程 {x=2+2cosθy=3+2sinθ (θ为参数).

    (Ⅰ)设P为线段MN的中点,求直线OP的平面直角坐标方程;

    (Ⅱ)判断直线l与圆C的位置关系.

  • 23. 已知函数f(x)=m﹣|x﹣2|,m∈R,且f(x+2)≥0的解集为[﹣1,1].

    (Ⅰ)求m的值;

    (Ⅱ)若a,b,c∈R,且 1a+12b+13c =m,求证:a+2b+3c≥9.