2012年高考理数真题试卷(安徽卷)

试卷更新日期：2016-09-18 类型：高考真卷

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一、单选题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的

1. 复数z满足（z﹣i）（2﹣i）=5．则z=（）

A、﹣2﹣2i B、﹣2+2i C、2﹣2i D、2+2i

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2. 下列函数中，不满足f（2x）=2f（x）的是（）

A、f（x）=|x| B、f （x）=x﹣|x| C、f（x）=x+1 D、f（x）=﹣x

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3. 如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（）

A、3 B、4 C、5 D、8

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4. 公比为 $\sqrt[3]{2}$ 的等比数列{a_n}的各项都是正数，且a₃a₁₁=16，则log₂a₁₆=（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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5. 甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶5次，两人成绩的条形统计图如图所示，则（）

A、甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 B、甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 C、甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 D、甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差

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6. 设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的（）

A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. （x²+2）（ $\frac{1}{x^{2}} - 1$ ）⁵的展开式的常数项是（）

A、﹣3 B、﹣2 C、2 D、3

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8. 在平面直角坐标系中，点0（0，0），P（6，8），将向量 $\vec{O P}$ 绕点O逆时针方向旋转 $\frac{3 π}{4}$ 后得向量 $\vec{O Q}$ ，则点Q的坐标是（）

A、（﹣7 $\sqrt{2}$ ，﹣ $\sqrt{2}$ ） B、（﹣7 $\sqrt{2}$ ， $\sqrt{2}$ ） C、（﹣4 $\sqrt{6}$ ，﹣2） D、（﹣4 $\sqrt{6}$ ，2）

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9. 过抛物线y²=4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点，O为坐标原点．若|AF|=3，则△AOB的面积为（）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ D、2 $\sqrt{2}$

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10. 6位同学在毕业聚会活动中进行纪念品的交换，任意两位同学之间最多交换一次，进行交换的两位同学互赠一份纪念品．已知6位同学之间共进行了13次交换，则收到4份纪念品的同学人数为（）

A、1或3 B、1或4 C、2或3 D、2或4

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二、填空题：把答案填在答题卡的相应位置．

11. 若x，y满足约束条件 ${\begin{matrix} x \geq 0 \\ x + 2 y \geq 3 \\ 2 x + y \leq 3 \end{matrix}$ ，则x﹣y的取值范围是．

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12. 某几何体的三视图如图所示，该几何体的表面积是．

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13. 在极坐标系中，圆ρ=4sinθ的圆心到直线θ= $\frac{π}{6}$ （ρ∈R）的距离是．

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14. 若平面向量 $\vec{a} ， \vec{b}$ 满足|2 $\vec{a} - \vec{b}$ |≤3，则 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 的最小值是
．

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15. 设△ABC的内角A，B，C所对边的长分别为a，b，c，则下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）．
①若ab＞c² ，则C＜ $\frac{π}{3}$
②若a+b＞2c，则C＜ $\frac{π}{3}$
③若a³+b³=c³ ，则C＜ $\frac{π}{2}$
④若（a+b）c≤2ab，则C＞ $\frac{π}{2}$
⑤若（a²+b²）c²≤2a²b² ，则C＞ $\frac{π}{3}$ ．

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三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．解答写在答题卡上的指定区域内．

16. 设函数f（x）= $\frac{\sqrt{2}}{2}$ cos（2x+ $\frac{π}{4}$ ）+sin²x
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）设函数g（x）对任意x∈R，有g（x+ $\frac{π}{2}$ ）=g（x），且当x∈[0， $\frac{π}{2}$ ]时，g（x）= $\frac{1}{2}$ ﹣f（x），求g（x）在区间[﹣π，0]上的解析式．

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17. 某单位招聘面试，每次从试题库随机调用一道试题，若调用的是A类型试题，则使用后该试题回库，并增补一道A类试题和一道B类型试题入库，此次调题工作结束；若调用的是B类型试题，则使用后该试题回库，此次调题工作结束．试题库中现共有n+m道试题，其中有n道A类型试题和m道B类型试题，以X表示两次调题工作完成后，试题库中A类试题的数量．
（Ⅰ）求X=n+2的概率；
（Ⅱ）设m=n，求X的分布列和均值（数学期望）

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18.
平面图形ABB₁A₁C₁C如图1所示，其中BB₁C₁C是矩形，BC=2，BB₁=4，AB=AC= $\sqrt{2}$ ，A₁B₁=A₁C₁= $\sqrt{5}$ ．现将该平面图形分别沿BC和B₁C₁折叠，使△ABC与△A₁B₁C₁所在平面都与平面BB₁C₁C垂直，再分别连接A₂A，A₂B，A₂C，得到如图2所示的空间图形，对此空间图形解答下列问题．
（Ⅰ）证明：AA₁⊥BC；
（Ⅱ）求AA₁的长；
（Ⅲ）求二面角A﹣BC﹣A₁的余弦值．

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19. 设函数f（x）=ae^x+ $\frac{1}{a e^{x}}$ +b（a＞0）．
（Ⅰ）求f（x）在[0，+∞）内的最小值；
（Ⅱ）设曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程为y= $\frac{3}{2} x$ ，求a，b的值．

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20. 如图，点F₁（﹣c，0），F₂（c，0）分别是椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞b＞0）的左右焦点，经过F₁做x轴的垂线交椭圆C的上半部分于点P，过点F₂作直线PF₂垂线交直线 $x = \frac{a^{2}}{c}$ 于点Q．
（Ⅰ）如果点Q的坐标是（4，4），求此时椭圆C的方程；
（Ⅱ）证明：直线PQ与椭圆C只有一个交点．

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21. 数列{x_n}满足x₁=0，x_n+1=﹣x²_n+x_n+c（n∈N^*）．
（Ⅰ）证明：{x_n}是递减数列的充分必要条件是c＜0；
（Ⅱ）求c的取值范围，使{x_n}是递增数列．

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