2015-2016学年甘肃省白银市会宁二中高二下学期期中数学试卷（理科）

试卷更新日期：2016-09-18 类型：期中考试

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一、选择题

1. 复数z= $\frac{- 3 + i}{2 + i}$ 的共轭复数是（）

A、2+I B、2﹣I C、﹣1+I D、﹣1﹣i

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2. 函数f（x）在x=x₀处导数存在，若p：f′（x₀）=0；q：x=x₀是f（x）的极值点，则p是q的（）

A、充分不必要条件 B、充要条件 C、必要不充条件 D、既非充分条件也非必要条件

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3. “三角函数是周期函数，y=tanx， $x \in (- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2})$ 是三角函数，所以y=tanx， $x \in (- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2})$ 是周期函数”．在以上演绎推理中，下列说法正确的是（）

A、推理完全正确 B、大前提不正确 C、小前提不正确 D、推理形式不正确

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4. 用反证法证明命题“若a²+b²=0，则a、b全为0（a、b∈R）”，其反设正确的是（）

A、a、b至少有一个不为0 B、a、b至少有一个为0 C、a、b全不为0 D、a、b中只有一个为0

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5. 观察（x²）′=2x，（x⁴）′=4x³ ，（cos x）′=﹣sin x，若定义在R上的函数f（x）满足f（﹣x）=f（x），f′（x）为f（x）的导函数，则f′（﹣x）=（）

A、f（x） B、﹣f（x） C、f′（x） D、﹣f′（x）

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6. 用数学归纳法证明 1+ $\frac{1}{2}$ + $\frac{1}{3}$ +…+ $\frac{1}{2^{n} - 1}$ ＜n（n∈N^* ， n＞1）时，第一步应验证不等式（）

A、 $1 + \frac{1}{2} ＜ 2$ B、 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} ＜ 2$ C、 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} ＜ 3$ D、 $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} ＜ 3$

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7. 当a＞b，且f（x）＞0，则 $\int_{a}^{b}$ f（x）dx的值（）

A、一定是正的 B、一定是负的 C、当a＞b＞0时是正的，当0＞a＞b时是负的 D、正、负都有可能

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8. 已知实数a，b，c，d成等比数列，且曲线y=3x﹣x³的极大值点坐标为（b，c）则ad等于（）

A、2 B、1 C、﹣1 D、﹣2

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9. 已知函数 $f (x) = f^{'} (\frac{π}{4}) \cos x + \sin x$ ，则 $f (\frac{π}{4})$ =（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{2} - 1$ C、1 D、0

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10. 由抛物线y=x²﹣x，直线x=﹣1及x轴围成的图形的面积为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、1 C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{5}{3}$

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11. 已知f（x）=sin（x+1） $\frac{π}{3}$ ﹣ $\sqrt{3}$ cos（x+1） $\frac{π}{3}$ ，则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2011）=（）

A、2 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{3}$ C、﹣ $\sqrt{3}$ D、0

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12. 设直线x=t与函数f（x）=x² ， g（x）=lnx的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为（）

A、1 B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$

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二、填空题

13. 复数 $\frac{1 + i}{1 - i}$ +i²⁰¹²对应的点位于复平面内的第象限．

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14. $\int_{0}^{^{\frac{π}{2}}} 2 \sin^{2} x d x$ ．

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15. 已知在等差数列{a_n}中， $\frac{a_{11} + a_{12} + \dots + a_{20}}{10} = \frac{a_{1} + a_{2} + \dots a_{30}}{30}$ ，则在等比数列{b_n}中，类似的结论为．

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16. 用数学归纳法证明 $\frac{1}{2^{2}}$ + $\frac{1}{3^{2}}$ +…+ $\frac{1}{{(n + 1)}^{2}}$ ＞ $\frac{1}{2}$ ﹣ $\frac{1}{n + 2}$ ，假设n=k时，不等式成立，则当n=k+1时，应推证的目标不等式是．

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三、解答题

17. 已知复数z满足|z|= $\sqrt{2}$ ，z²的虚部为2．

(1)、求z；

(2)、设z，z² ， z﹣z²在复平面对应的点分别为A，B，C，求△ABC的面积．

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18. 过曲线y=x²（x≥0）上某一点A作一切线l，使之与曲线以及x轴所围成的图形的面积为 $\frac{1}{12}$ ，试求：

(1)、切点A的坐标；

(2)、过切点A的切线l的方程．

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19. 已知函数f（x）=ax³+bx²的图象经过点M（1，4），曲线在点M处的切线恰好与直线x+9y=0垂直．

(1)、求实数a，b的值；

(2)、若函数f（x）在区间[m，m+1]上单调递增，求m的取值范围．

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20. 如图，在直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，E，F分别是A₁B，A₁C的中点，点D在B₁C₁上，A₁D⊥B₁C．求证：

(1)、EF∥平面ABC；

(2)、平面A₁FD⊥平面BB₁C₁C．

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21. 已知数列{a_n}的首项a₁= $\frac{2}{3}$ ，a_n+1= $\frac{2 a_{n}}{a_{n} + 1}$ ，n=1，2，3，…．

(1)、证明：数列{ $\frac{1}{a_{n}}$ ﹣1}是等比数列；

(2)、求数列{ $\frac{n}{a_{n}}$ }的前n项和S_n ．

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22. 设函数f（x）=e^x﹣ax﹣2．

(1)、求f（x）的单调区间；

(2)、若a=1，k为整数，且当x＞0时，（x﹣k）f′（x）+x+1＞0，求k的最大值．

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