备考2018年高考数学一轮基础复习：专题3 导数及其应用

试卷更新日期：2017-11-15 类型：一轮复习

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一、单选题

1. 函数f（x）=x²•cosx在 $[- \frac{π}{2} ， \frac{π}{2}]$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 已知e为自然对数的底数，函数y=xe^x的单调递增区间是（）

A、[﹣1，+∞） B、（﹣∞，﹣1] C、[1，+∞） D、（﹣∞，1]

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3. $\int^{} \begin{matrix} \frac{π}{4} \\ 0 \end{matrix} (s i n x - a c o s x) d x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则实数a等于（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、﹣1 D、 $- \sqrt{3}$

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4. 若曲线f（x）=x³﹣ax²+b在点（1，f（1））处切线的倾斜角为 $\frac{3 π}{4}$ ，则a等于（）

A、2 B、﹣2 C、3 D、﹣1

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5. 已知f（x）的定义域是（0，+∞），f'（x）为f（x）的导函数，且满足f（x）＜f'（x），则不等式 $e^{- x} f (x^{2} + x) > e^{x^{2} - 2}$ f（2）的解集是（）

A、（﹣∞，2）∪（1，+∞） B、（﹣2，1） C、（﹣∞，﹣1）∪（2，+∞） D、（﹣1，2）

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6. 若函数y=f（x）在R上可导且满足不等式xf′（x）+f（x）＞0恒成立，且常数a，b满足a＞b，则下列不等式一定成立的是（　　）

A、af（a）＞bf（b） B、af（b）＞bf（a） C、af（a）＜bf（b） D、af（b）＜bf（a）

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7. 已知二次函数f（x）=ax²+bx+c的导数f′（x），f′（0）＞0，且f（x）的值域为[0，+∞），则 $\frac{f (1)}{f^{'} (0)}$ 的最小值为（）

A、3 B、 $\frac{5}{2}$ C、2 D、 $\frac{3}{2}$

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8. 如图，是函数y=f（x）的导函数f′（x）的图象，则下面判断正确的是（）

A、在区间（﹣2，1）上f（x）是增函数 B、在（1，3）上f（x）是减函数 C、在（4，5）上f（x）是增函数 D、当x=4时，f（x）取极大值

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9. 已知函数f（x）的导函数为f′（x），且满足关系式f（x）=x²+3xf′（1），则f′（1）的值等于（　　）

A、 $\frac{1}{2}$ B、- $\frac{1}{2}$ C、1 D、-1

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10. 设f′（x）为函数f（x）的导函数，已知x²f′（x）+xf（x）=lnx，f（1）= $\frac{1}{2}$ ，则下列结论正确的是（　　）

A、xf（x）在（0，+∞）单调递增 B、xf（x）在（1，+∞）单调递减 C、xf（x）在（0，+∞）上有极大值 $\frac{1}{2}$ D、xf（x）在（0，+∞）上有极小值 $\frac{1}{2}$

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11. 若函数f（x）=x³﹣3ax+3a在区间（0，2）内有极小值，则a的取值范围是（　　）

A、a＞0 B、a＞2 C、0＜a＜2 D、0＜a＜4

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12. 若函数 $f (x) = x + \frac{b}{x} (b \in R)$ 的导函数在区间(1，2)上有零点，则f(x)在下列区间单调递增的是( )

A、(-2，0) B、(0，1) C、 $(1 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， - 2)$

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二、填空题

13. 函数f（x）=﹣ $\frac{4}{5}$ x﹣cosx在[0， $\frac{π}{4}$ ]上的最大值为．

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14. 已知a，b为正实数，直线y=x﹣a与曲线y=ln（x+b）相切，则 $\frac{a^{2}}{a + b}$ 的取值范围．

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15. 已知函数f（x）=a^x+x²﹣xlna，对∀x₁ ， x₂∈[0，1]不等式|f（x₁）﹣f（x₂）|≤a﹣1恒成立，则a的取值范围

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16. 已知函数f（x）=4lnx﹣x+ $\frac{3}{x}$ ， g（x）=2x²﹣bx+20，若对于任意x₁∈（0，2），都存在x₂∈[1，2]，使得f（x₁）≥g（x₂）成立，则实数b的取值范围是

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三、综合题

17. 已知函数f（x）=xe^x+ax²+2x+1在x=﹣1处取得极值．

(1)、求函数f（x）的单调区间；

(2)、若函数y=f（x）﹣m﹣1在[﹣2，2]上恰有两个不同的零点，求实数m的取值范围．

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18. 已知函数f（x）=ax³﹣bx+2（a＞0）

(1)、在x=1时有极值0，试求函数f（x）的解析式；

(2)、求f（x）在x=2处的切线方程．

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19. 已知函数f（x）=x+ $\frac{a}{x}$ +lnx，a∈R．
（Ⅰ）若f（x）在x=1处取得极值，求a的值；
（Ⅱ）若f（x）在区间（1，2）上单调递增，求a的取值范围；
（Ⅲ）讨论函数g（x）=f'（x）﹣x的零点个数．

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20. 已知函数f（x）=x﹣ $\frac{2 a - 1}{x}$ ﹣2alnx（a∈R）
（Ⅰ）若函数f（x）在x=2时取极值，求实数a的值；
（Ⅱ）若f（x）≥0对任意x∈[1，+∞）恒成立，求实数a的取值范围．

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{a x^{2} + b x + 1}$ ，其中a，b，c∈R．
（Ⅰ）若a=b=1，求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若a=0，且当x≥0时，f（x）≥1总成立，求实数b的取值范围；
（Ⅲ）若a＞0，b=0，若f（x）存在两个极值点x₁ ， x₂ ，求证；f（x₁）+f（x₂）＜e．

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22. 设函数f（x）=x³+bx²+cx（x∈R），已知g（x）=f（x）﹣f′（x）是奇函数．
（Ⅰ）求b，c的值．
（Ⅱ）求g（x）的单调区间与极值．

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