江苏省常州市田家炳高中2017-2018学年高三上学期数学开学考试试卷

试卷更新日期：2017-11-04 类型：开学考试

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一、填空题：本大题共14个小题，每小题5分，共70分，把答案填在答题纸的横线上.

1. 已知集合A={a，a²}，B={﹣1，2}，若A∩B={﹣1}，则A∪B= ．

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2. 设复数z满足：z（2﹣i）=4+3i（其中i为虚数单位），则z的模等于．

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3. 已知 $\vec{a}$ =（1，2）， $\vec{b}$ =（﹣2，log₂m），若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则正数m的值等于．

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4. 样本数据8，9，10，13，15的方差s²= ．

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5. 根据如图所示的伪代码，最后输出的i的值为．

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6. 在平面直角坐标系xOy中，双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - y^{2}$ =1与抛物线y²=﹣12x有相同的焦点，则双曲线的两条渐近线的方程为．

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7. 若将甲、乙、丙三个球随机放入编号为1，2两个盒子中，每个盒子的放球数量不限，则每个盒子中球数不小于其编号的概率是．

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8. 设棱长为a的正方体的体积和表面积分别为V₁ ， S₁ ，底面半径高均为r的圆锥的体积和侧面积分别为V₂ ， S₂ ，若 $\frac{V_{1}}{V_{2}}$ = $\frac{3}{π}$ ，则 $\frac{S_{1}}{S_{2}}$ 的值为．

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9. 在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x²+y²﹣4x=0．若直线y=k（x+1）上存在一点P，使过P所作的圆的两条切线相互垂直，则实数k的取值范围是．

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10. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (2 ω x - \frac{π}{4}) (ω > 0)$ 的最大值与最小正周期相同，则函数f（x）在[﹣1，1]上的单调增区间为．

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11. 设等比数列{a_n}的前n项和为S_n ，若S_k=33，S_k+1=﹣63，S_k+2=129，其中k∈N^* ，则k的值为．

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12. 已知ab= $\frac{1}{4}$ ，a，b∈（0，1），则 $\frac{1}{1 - a}$ + $\frac{2}{1 - b}$ 的最小值为．

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13. 在平面四边形ABCD中，已知AB=3，DC=2，点E，F分别在边AD，BC上，且 $\vec{A D}$ =3 $\vec{A E}$ ， $\vec{B C}$ =3 $\vec{B F}$ ．若向量 $\vec{A B}$ 与 $\vec{D C}$ 的夹角为60°，则 $\vec{A B}$ • $\vec{E F}$ 的值为．

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14. 设函数f（x）=x²+c，g（x）=ae^x的图象的一个公共点为P（2，t），且曲线y=f（x），y=g（x）在P点处有相同的切线，若函数f（x）﹣g（x）的负零点在区间（k，k+1）（k∈Z）内，则k= ．

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二、解答题

15. △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC（acosB+bcosA）=c．

(1)、求∠C；

(2)、若c= $\sqrt{7}$ ，△ABC的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ ，求△ABC的周长；

(3)、若c= $\sqrt{3}$ ，求△ABC的周长的取值范围．

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16. 如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，PC⊥AD．底面ABCD为梯形，AB∥DC，AB⊥BC，PA=AB=BC，点E在棱PB上，且PE=2EB．

(1)、求证：平面PAB⊥平面PCB；

(2)、求证：PD∥平面EAC．

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17. 已知数列{a_n}满足2a_n+1=a_n+a_n+2+k（n∈N^* ， k∈R），且a₁=2，a₃+a₅=﹣4．

(1)、若k=0，求数列{a_n}的前n项和S_n；

(2)、若a₄=﹣1，求数列{a_n}的通项公式a_n ．

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18. 在平面直角坐标系xOy中，椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，右焦点为F，且椭圆E上的点到点F的距离的最小值为2．

(1)、求a，b的值；

(2)、设椭圆E的左、右顶点分别为A，B，过点A的直线l与椭圆E及直线x=8分别相交于点M，N
①当过点A，F，N三点的圆半径最小时，求这个圆的方程；②若cos∠AMB= $\frac{\sqrt{65}}{65}$ ，求△ABM的面积．

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19. 我国西部某省4A级风景区内住着一个少数民族村，该村投资了800万元修复和加强民俗文化基础设施，据调查，修复好村民俗文化基础设施后，任何一个月内（每月按30天计算）每天的旅游人数f（x）与第x天近似地满足f（x）=8+ $\frac{8}{x}$ （千人），且参观民俗文化村的游客人均消费g（x）近似地满足g（x）=143﹣|x﹣22|（元）．

(1)、求该村的第x天的旅游收入p（x）（单位千元，1≤x≤30，x∈N^*）的函数关系；

(2)、若以最低日收入的20%作为每一天纯收入的计量依据，并以纯收入的5%的税率收回投资成本，试问该村在两年内能否收回全部投资成本？

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20. 已知函数f（x）=lnx﹣x， $h (x) = \frac{l n x}{x}$ ．

(1)、求h（x）的最大值；

(2)、若关于x的不等式xf（x）≥﹣2x²+ax﹣12对一切x∈（0，+∞）恒成立，求实数a的取值范围；

(3)、若关于x的方程f（x）﹣x³+2ex²﹣bx=0恰有一解，其中e是自然对数的底数，求实数b的值．

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