湖北省部分重点中学2017-2018学年高三上学期理数开学考试试卷

试卷更新日期：2017-10-30 类型：开学考试

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一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．）

1. 已知集合A={x|x²+4x+3≥0}，B={x|2^x＜1}，则A∩B=（　　）

A、[﹣3，﹣1] B、（﹣∞，﹣3]∪[﹣1，0） C、（﹣∞，﹣3）∪（﹣1，0] D、（﹣∞，0）

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2. 已知复数z满足 $\frac{1 + i}{1 - i}$ •z=3+4i，则|z|=（）

A、2 $\sqrt{6}$ B、 $\sqrt{7}$ C、5 $\sqrt{2}$ D、5

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3. 已知随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ²），若P（ξ＜2）=P（ξ＞6）=0.15，则P（2≤ξ＜4）等于（　　）

A、0.3 B、0.35 C、0.5 D、0.7

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4. 已知数列{a_n}为等差数列，其前n项和为S_n ， 2a₇﹣a₈=5，则S₁₁为（　　）

A、110 B、55 C、50 D、不能确定

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5. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积等于（）cm³ ．

A、4+ $\frac{2}{3} π$ B、4+ $\frac{3}{2}$ π C、6+ $\frac{2}{3} π$ D、6+ $\frac{3}{2}$ π

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6. 在△ABC中，“A＜B＜C”是“cos2A＞cos2B＞cos2C”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 美索不达米亚平原是人类文明的发祥地之一．美索不达米亚人善于计算，他们创造了优良的计数系统，其中开平方算法是最具有代表性的．程序框图如图所示，若输入a，n，ξ的值分别为8，2，0.5，（每次运算都精确到小数点后两位）则输出结果为（）

A、2.81 B、2.82 C、2.83 D、2.84

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8. 偶函数f（x）在（0，+∞）上递增，a=f（log₂ $\frac{1}{3}$ ）b=f（ $\frac{3}{2}$ ）c=f（log₃2），则下列关系式中正确的是（　　）

A、＜b＜c B、a＜c＜b C、c＜a＜b D、c＜b＜a

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9. 若x，y满足条件 ${\begin{matrix} x + y - 2 \geq 0 \\ x - 2 y + 6 \geq 0 \\ x \leq 2 \end{matrix}$ ，则目标函数z=x²+y²的最小值是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、4 D、 $\frac{68}{9}$

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10. 若点P（x，y）坐标满足ln| $\frac{1}{y}$ |=|x﹣1|，则点P的轨迹图象大致是（　　）

A、 B、 C、 D、

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11. 抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，过焦点F且倾斜角为 $\frac{π}{3}$ 的直线与抛物线相交于A，B两点，若|AB|=8，则抛物线的方程为（　　）

A、y²=4x B、y²=8x C、y²=3x D、y²=6x

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12. 已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜ $\frac{π}{2}$ ）的图象过点 $B (0 ， - \sqrt{3})$ ，且在（ $\frac{π}{18}$ ， $\frac{π}{3}$ ）上单调，同时f（x）的图象向左平移π个单位之后与原来的图象重合，当 $x_{1} ， x_{2} \in (- \frac{4}{3} π ， - \frac{2}{3} π)$ ，且x₁≠x₂时，f（x₁）=f（x₂），则f（x₁+x₂）=（　　）

A、﹣ $\sqrt{3}$ B、﹣1 C、1 D、 $\sqrt{3}$

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a} = (3 ， 4)$ ， $\vec{b} = (x ， 1)$ ，若 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{a}$ ，则实数x等于

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14. 设（x²﹣3x+2）⁵=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₀x¹⁰ ，则a₁等于．

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15. 已知等腰梯形ABCD中AB∥CD，AB=2CD=4，∠BAD=60°，双曲线以A，B为焦点，且与线段CD（包括端点C、D）有两个交点，则该双曲线的离心率的取值范围是．

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16. 若函数f（x）=x²（x﹣4）²﹣a|x﹣2|+2a有四个零点，则实数a的取值范围是．

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三、解答题

17. 等差数列{a_n}的前n项和为S_n ，数列{b_n}是等比数列，满足a₁=3，b₁=1，b₂+S₂=10，a₅﹣2b₂=a₃ ．

(1)、求数列{a_n}和{b_n}的通项公式；

(2)、令c_n=a_n•b_n ，设数列{c_n}的前n项和为T_n ，求T_n ．

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18. 在如图所示的多面体ABCDEF中，四边形ABCD为正方形，底面ABFE为直角梯形，∠ABF为直角， $A E ∥ B F ， A B = \frac{1}{2} B F = 1$ ，平面ABCD⊥平面ABFE．

(1)、求证：DB⊥EC；

(2)、若AE=AB，求二面角C﹣EF﹣B的余弦值．

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19. 随着网络营销和电子商务的兴起，人们的购物方式更具多样化，某调查机构随机抽取10名购物者进行采访，5名男性购物者中有3名倾向于选择网购，2名倾向于选择实体店，5名女性购物者中有2名倾向于选择网购，3名倾向于选择实体店．

(1)、若从10名购物者中随机抽取2名，其中男、女各一名，求至少1名倾向于选择实体店的概率；

(2)、若从这10名购物者中随机抽取3名，设X表示抽到倾向于选择网购的男性购物者的人数，求X的分布列和数学期望．

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20. 已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ，左焦点为F（﹣1，0），过点D（0，2）且斜率为k的直线l交椭圆于A，B两点．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、在y轴上，是否存在定点E，使 $\vec{A E} \cdot \vec{B E}$ 恒为定值？若存在，求出E点的坐标和这个定值；若不存在，说明理由．

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21. 设函数f（x）=aln（x+1），g（x）=e^x﹣1，其中a∈R，e=2.718…为自然对数的底数．
（Ⅰ）当x≥0时，f（x）≤g（x）恒成立，求a的取值范围；
（Ⅱ）求证： $\frac{1095}{1000}$ ＜ $\sqrt[10]{e}$ ＜ $\frac{2000}{1791}$ （参考数据：ln1.1≈0.095）．

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22. 已知f（x）=|2x+3|﹣|2x﹣1|．
（Ⅰ）求不等式f（x）＜2的解集；
（Ⅱ）若存在x∈R，使得f（x）＞|3a﹣2|成立，求实数a的取值范围．

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