2015-2016学年山东省潍坊市临朐县高三上学期12月统练数学试卷（理科）

试卷更新日期：2016-07-25 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 已知全集U=R，A={y|y=2^x+1}，B={x|lnx＜0}，则（∁_UA）∩B=（　　）

A、∅ B、{x| $\frac{1}{2}$ ＜x≤1} C、{x|x＜1} D、{x|0＜x＜1}

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2. 下列命题中正确的个数是
①若￢p是q的必要而不充分条件，则p是￢q的充分而不必要条件；
②命题“对任x∈R，都x²≥0”的否定为“存x₀∈R，使x₀²＜0”；
③若p∧q为假命题，则p与q均为假命题．（　　）

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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3. 把函数y=sin(x+ $\frac{π}{6}$ )图象上各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍（纵坐标不变），再将图象向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，那么所得图象的一条对称轴方程为（　　）

A、x=- $\frac{π}{2}$ B、x=- $\frac{π}{4}$ C、x= $\frac{π}{8}$ D、x= $\frac{π}{4}$

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4. 由曲线y=x² ， y=x³围成的封闭图形面积为（　　）

A、 $\frac{1}{12}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $\frac{7}{12}$

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5. 已知变量x，y满足约束条件 $\{\begin{matrix} x - y \geq 1 \\ x + y \geq 1 \\ 2 x - y \leq 4 \end{matrix}$ ，则z= $\frac{y}{x}$ 的最大值为（　　）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{2}{5}$

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6. 若α∈（ $\frac{π}{2}$ ， π），则3cos2α=sin（ $\frac{π}{4}$ ﹣α），则sin2α的值为（　　）

A、 $\frac{1}{18}$ B、- $\frac{1}{18}$ C、 $\frac{17}{18}$ D、- $\frac{17}{18}$

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7. 已知数{a_n}满a₁=0，a_n+1=a_n+2n，那a₂₀₁₆的值是（　　）

A、2014×2015 B、2015×2016 C、2014×2016 D、2015×2015

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8. 在锐角△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若sinA= $\frac{2 \sqrt{2}}{3}$ ， a=2， $S_{△ A B C} = \sqrt{2}$ ，则b的值为（　　）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ C、2 $\sqrt{2}$ D、2 $\sqrt{3}$

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9.
如图，设E，F分别是Rt△ABC的斜边BC上的两个三等分点，已知AB=3，AC=6，则 $\vec{A E}$ • $\vec{A F}$ =（　　）

A、8 B、10 C、11 D、12

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10. 已知函数f（x）对定义域R内的任意x都有f（x）=f（4﹣x），且当x≠2时其导函数f′（x）满足xf′（x）＞2f′（x），若2＜a＜4则（　　）

A、f（ $2^{a}$ ）＜f（3）＜f（ $\log_{2} a$ ） B、f（3）＜f（ $\log_{2} a$ ）＜f（ $2^{a}$ ） C、f（ $\log_{2} a$ ）＜f（3）＜f（ $2^{a}$ ） D、f（ $\log_{2} a$ ）＜f（ $2^{a}$ ）＜f（3）

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二、填空题

11. 已知 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为120°，若（ $\vec{a}$ + $\vec{b}$ ）⊥（ $\vec{a}$ ﹣ $\vec{b}$ ），且| $\vec{a}$ |=2，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的正射影的数量为

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12. 若存在x∈[2，3]，使不等式 $\frac{1 + a x}{x \cdot 2^{x}}$ ≥1成立，则实数a的最小值为

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13. 已知向量 $\vec{a}$ =（x﹣1，2）， $\vec{b}$ =（4，y），若 $\vec{a}$ ⊥ $\vec{b}$ ，则9^x+3^y的最小值为

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14.
根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第10个图中有个点．

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15. 已知函数f（x）= $\frac{1}{3}$ ax³+ax²﹣3ax+1的图象经过四个象限，则实数a的取值范围为

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三、解答题

16. 已知 $\vec{m}$ =（2﹣sin（2x+ $\frac{π}{6}$ ），﹣2）， $\vec{n}$ =（1，sin²x），f（x）= $\vec{m}$ • $\vec{n}$ ，（x∈[0， $\frac{π}{2}$ ]）
（1）求函数f（x）的值域；
（2）设△ABC的内角A，B，C的对边长分别为a，b，c，若f（ $\frac{B}{2}$ ）=1，b=1，c= $\sqrt{3}$ ，求a的值．

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17. 已知函数h（x）=x﹣（a+1）lnx﹣ $\frac{a}{x}$ ，求函数h（x）的单调递减区间．

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18.
如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，且PA=PD=DA=2，∠BAD=60°
（I）求证：PB⊥AD；
（II）若PB= $\sqrt{6}$ ，求二面角A﹣PD﹣C的余弦值．

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19.
设等差数列{a_n}的前n项和为S_n ，且a₂=8，S₄=40．数列{b_n}的前n项和为T_n ，且T_n﹣2b_n+3=0，n∈N^* ．
（Ⅰ）求数列{a_n}，{b_n}的通项公式；
（Ⅱ）设c_n= ，求数列{c_n}的前n项和P_n ．

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20. 某旅游景点预计2013年1月份起前x个月的旅游人数的和p（x）（单位：万人）与x的关系近似地满足p（x）= $\frac{1}{2}$ x（x+1）•（39﹣2x），（x∈N^* ，且x≤12）．已知第x月的人均消费额q（x）（单位：元）与x的近似关系是q（x）= $\{\begin{matrix} 35 - 2 x (x \in N^{*}, 1 ⩽ x ⩽ 6) \\ \frac{160}{x} (x \in N^{*}, 7 ⩽ x \leq 12) \end{matrix}$
（I）写出2013年第x月的旅游人数f（x）（单位：万人）与x的函数关系式；
（II）试问2013年第几月旅游消费总额最大，最大月旅游消费总额为多少元？

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21. 已知函数f（x）=lnx﹣ax²﹣x（a∈R）．
（1）当a=1时，求函数f（x）在（1，﹣2）处的切线方程；
（2）当a≤0时，分析函数f（x）在其定义域内的单调性；
（3）若函数y=g（x）的图象上存在一点P（x₀ ， y₀），使得以P为切点的切线m将图象分割为c₁ ， c₂两部分，且c₁ ， c₂分别完全位于切线m的两侧（除了P点外），则称点x₀为函数y=g（x）的“切割点“．问：函数f（x）是否存在满足上述条件的切割点．

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