2015-2016学年山东省德州市武城二中高二下学期3月月考数学试卷（理科）

试卷更新日期：2016-07-25 类型：月考试卷

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一、单选题

1. “所有金属都能导电，铁是金属，所以铁能导电，”此推理类型属于（）

A、演绎推理 B、类比推理 C、合情推理 D、归纳推理

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2. 下列求导运算正确的是（　　）

A、（x+ $\frac{1}{x}$ ）′=1+ $\frac{1}{x^{2}}$ B、（x²cosx）′=﹣2xsinx C、（3^x）′=3^xlog₃e D、（log₂x）′= $\frac{1}{x \ln 2}$

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3. 用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x³+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是（　　）

A、方程^{$x^{3}$}+ax+b=0没有实根 B、方程^{$x^{3}$}+ax+b=0至多有一个实根 C、方程^{$x^{3}$}+ax+b=0至多有两个实根 D、方程^{$x^{3}$}+ax+b=0恰好有两个实根

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4. 曲线y=e^2x在点（0，1）处的切线方程为（　　）

A、y= $\frac{1}{2}$ x+1 B、y=﹣2x+1 C、y=2x﹣1 D、y=2x+1

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5. 若f（x）= $\frac{\ln x}{x}$ ， e＜b＜a，则（　　）

A、f（a）＞f（b） B、f（a）=f（b） C、f（a）＜f（b） D、f（a）f（b）＞1

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6. 设a∈R，若函数y=e^x+2ax，x∈R有大于0的极值点，则（　　）

A、a＜﹣ $\frac{1}{e}$ B、a＞﹣ $\frac{1}{e}$ C、a＜﹣ $\frac{1}{2}$ D、a＞﹣ $\frac{1}{2}$

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7.
将正偶数按如图规律排列，第21行中，从左向右，第5个数是（　　）

A、806 B、808 C、810 D、812

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8. 已知f₁（x）=cosx，f₂（x）=f₁′（x），f₃（x）=f₂′（x），f₄（x）=f₃′（x），…，f_n（x）=f_n_﹣1′（x），则f₂₀₁₅（x）等于（　　）

A、sinx B、﹣sinx C、cosx D、﹣cosx

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9. 已知函数f（x）=﹣x³+ax²﹣x﹣1在（﹣∞，+∞）上是单调函数，则实数a的取值范围是（　　）

A、[﹣ $\sqrt{3}$ ， $\sqrt{3}$ ] B、（﹣ $\sqrt{3}$ ， $\sqrt{3}$ ） C、（﹣∞，﹣ $\sqrt{3}$ ）∪（ $\sqrt{3}$ ， +∞） D、（﹣∞，﹣ $\sqrt{3}$ ）∩（ $\sqrt{3}$ ， +∞）

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10. 已知定义在实数集R的函数f（x）满足f（1）=4，且f（x）导函数f′（x）＜3，则不等式f（lnx）＞3lnx+1的解集为（　　）

A、（1，+∞） B、（e，+∞） C、（0，1） D、（0，e）

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二、填空题

11. $\int_{0}^{1}$ $\sqrt{x}$ dx=

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12. 函数y= $\frac{1}{2} x^{2} - \ln x$ 的单调递减区间为

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13. 已知函数f（x）=f′（ $\frac{π}{4}$ ）cosx+sinx，则f（ $\frac{π}{4}$ ）的值为

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14.
已知函数f（x）=x³+ax²+bx（a，b∈R）的图象如图所示，它与直线y=0在原点处相切，此切线与函数图象所围区域（图中阴影部分）的面积为 $\frac{27}{4}$ ，则a的值为

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15. 已知函数f（x）=x³+2x²﹣ax+1在区间（﹣1，1）上恰有一个极值点，则实数a的取值范围是

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三、解答题

16. 求证： $\sqrt{a}$ - $\sqrt{a - 1}$ $<$ $\sqrt{a - 2}$ - $\sqrt{a - 3}$ $(a \geq 3)$

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17. 统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：y= $\frac{1}{128000} x^{3} - \frac{3}{80} x + 8$ （0＜x≤120）．已知甲、乙两地相距100千米．
（Ⅰ）当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？
（Ⅱ）当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升？

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18. 设a是实数，f（x）=x²+ax+a，求证：|f（1）|与|f（2）|中至少有一个不小于 $\frac{1}{2}$ ．

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19. 已知函数f（x）=x³+ax²+bx+c，曲线y=f（x）在点x=0处的切线为l：4x+y﹣5=0，若x=﹣2时，y=f（x）有极值．
（1）求a，b，c的值；
（2）求y=f（x）在[﹣3，1]上的最大值和最小值．

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20. 已知函数f（x）=e^x﹣ax﹣a（其中a∈R，e是自然对数的底数，e=2.71828…）．
（Ⅰ）当a=e时，求函数f（x）的极值；
（Ⅱ）若f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

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21. 已知函数f（x）=x﹣alnx（a∈R）．
（Ⅰ）当a=2时，求曲线f（x）在x=1处的切线方程；
（Ⅱ）设函数h（x）=f（x）+ $\frac{1 + a}{x}$ ，求函数h（x）的单调区间；
（Ⅲ）若g（x）=﹣ $\frac{1 + a}{x}$ ，在[1，e]（e=2.71828…）上存在一点x₀ ，使得f（x₀）≤g（x₀）成立，求a的取值范围．

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