浙江省台州市五校2019-2020学年高二下学期数学期中联考试卷

试卷更新日期：2021-04-02 类型：期中考试

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一、单选题

1. 已知全集 $U = R$ ，集合 $A = {x ∣ - 3 \leq x \leq 3}$ ， $B = {x ∣ x \geq \frac{1}{2}}$ ，则 $A \cap (∁_{U} B) =$ （）

A、 ${x ∣ x \leq 3}$ B、 ${x ∣ - 3 \leq x < \frac{1}{2}}$ C、 ${x ∣ x \geq - 3}$ D、 ${x ∣ \frac{1}{2} \leq x \leq 3}$

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2. 设复数 $z$ 满足 $(2 - i) \cdot z = 5 i$ ，则 $| z | =$ （）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{3}$ D、 $\sqrt{5}$

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3. 函数 $y = \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} + m x + 2$ 是 $R$ 上的单调函数，则 $m$ 的范围是（）

A、 $(- \infty ， 1)$ B、 $(- \infty ， 1]$ C、 $(1 ， + \infty)$ D、 $[1 ， + \infty)$

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4. 若 ${(1 + x)}^{3} {(1 - 2 x)}^{4} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + \cdot \cdot \cdot + a_{7} x^{7}$ ，则 $a_{0} + a_{2} + a_{4} + a_{6} =$ （）

A、3 B、4 C、5 D、6

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5. 已知 $a, b, c \in (- \infty, 0)$ ，则下列三个数 $a + \frac{1}{b}$ ， $b + \frac{4}{c}$ ， $c + \frac{9}{a}$ （）

A、都不大于-4 B、至少有一个不大于-4 C、都不小于-4 D、至少有一个不小于-4

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6. 函数 $f (x) = x^{2} - \ln (e^{3} x^{2})$ 的部分图像大致为（）

A、 B、 C、 D、

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7. 疫情期间，上海某医院安排5名专家到3个不同的区级医院支援，每名专家只去一个区级医院，每个区级医院至少安排一名专家，则不同的安排方法共有（）

A、60种 B、90种 C、150种 D、240种

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8. $f (x)$ 是定义在 $(0 ， + \infty)$ 上的非负､可导函数，且满足 $x f^{'} (x) - f (x) \leq 0$ ，对任意正数 $a$ ， $b$ 若 $a \leq b$ ，则必有（）

A、 $a^{2} f (b) \leq b^{2} f (a)$ B、 $a^{2} f (b) \geq b^{2} f (a)$ C、 $a^{2} f (a) \leq b^{2} f (b)$ D、 $a^{2} f (a) \geq b^{2} f (b)$

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9. 已知函数 $f (x) = \ln (x^{2} + 2) + 2^{x} + 2^{- x}$ ，则是不等式 $f (x + 1) < f (2 x)$ 成立的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, - \frac{1}{3}) \cup (1, + \infty)$ B、 $(1, + \infty)$ C、 $(- \infty, - 1) \cup (1, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 2) \cup (1, + \infty)$

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10. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} - x^{2} + x ， x \geq 0 \\ x^{2} - x ， x < 0 \end{array}$ ，若关于 $x$ 的不等式 ${[f (x)]}^{2} - a f (x) - b^{2} < 0$ 恰有一个整数解，则实数 $a$ 的最小值是（）

A、-9 B、-7 C、-6 D、-4

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二、填空题

11. 设函数 $f (x) = x^{3} + (a + 3) x^{2} + a x$ ，若 $f (x)$ 为奇函数，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, 0)$ 处的切线方程为；函数 $f (x)$ 的极大值点为.

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12. 在二项式 ${(x + \frac{1}{x})}^{n}$ 的展开式中第3项与第7项的二项式系数相等， $\frac{1}{x^{2}}$ 项的系数为；各项系数之和为.(用数字作答)

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13. 已知复数 $z = \lg (m^{2} - 2 m) + (m^{2} + 2 m - 3) i$ 若复数 $z$ 是实数，则实数 $m =$ ；若复数 $z$ 对应的点位于复平面的第二象限，则实数的取值范围为.

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14. 若随机变量 $X ~ B (5, p)$ ，且 $E (X) = \frac{10}{3}$ ，则 $D (2 X) =$ ； $P (\frac{1}{2} \leq X \leq \frac{5}{2}) =$ .

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15. 用数学归纳法证明： $(n + 2) (n + 3) \cdot \cdot \cdot (2 n + 2) = 2^{n + 1} \times 1 \times 3 \times \cdot \cdot \cdot \times (2 n + 1), (n \in N_{\div})$ 时，从“ $n = k$ 到 $n = k + 1$ ”时，左边应增添的代数式为.

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16. 在一个正六边形的六个区域涂色(如图)，要求同一区域同一种颜色，相邻的两块区域(有公共边)涂不同的颜色.现有5种不同的颜色可供选择，则有种涂色方案.

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17. 已知方程 $4 x^{2} + (2 - a) x - 6 = 0$ 的两实根为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，方程 $2 x^{2} - 2 x - a = 0$ 的两实根为 $x_{3}$ ， $x_{4}$ ，且 $x_{3} < x_{1} < x_{2} < x_{4}$ ，则实数 $a$ 的取值范围为.

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三、解答题

18. 已知函数 $f (x) = x^{2} - 2^{\frac{n + 2}{2}} x + 3^{n}$ ，(其中 $n \in N^{*}$ ).

(1)、求 $f (x)$ 的最小值 $g (n)$ ；

(2)、当 $n \geq 4$ ， $n \in N^{*}$ 时，试比较 $g (n)$ 与 $(n - 2) \cdot 2^{n} + 2 n^{2}$ 的大小，并证明你的结论.

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19. 已知 ${(x + \frac{2}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式中只有第五项的二项式系数最大.

(1)、求该展开式中有理项的项数；

(2)、求该展开式中系数最大的项.

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20. 2020年五一期间，银泰百货举办了一次有奖促销活动，消费每超过600元(含600元)，均可抽奖一次，抽奖方案有两种，顾客只能选择其中的一种.方案一：从装有10个形状､大小完全相同的小球(其中红球2个，白球1个，黑球7个)的抽奖盒中，一次性摸出3个球其中奖规则为：若摸到2个红球和1个白球，享受免单优惠；若摸出2个红球和1个黑球则打5折；若摸出1个白球2个黑球，则打7折；其余情况不打折.方案二：从装有10个形状､大小完全相同的小球(其中红球3个，黑球7个)的抽奖盒中，有放回每次摸取1球，连摸3次，每摸到1次红球，立减200元.

(1)、若两个顾客均分别消费了600元，且均选择抽奖方案一，试求两位顾客均享受免单优惠的概率；

(2)、若某顾客消费恰好满1000元，试从概率角度比较该顾客选择哪一种抽奖方案更合算？

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21. 设常数 $a \neq 0$ ，函数 $f (x) = \frac{e^{x} - a}{e^{x} + a}$ .

(1)、若 $f (x)$ 为奇函数，求 $a$ 的值，并说明理由；

(2)、若存在区间 $[m, n] (m < n)$ 使得 $f (x)$ 在 $[m, n]$ 上的值域为 $[e^{m}, e^{n}]$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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22. 设函数 $f (x) = e^{x} - a x - 2$ .
（Ⅰ）求 $f (x)$ 的单调区间；

（Ⅱ）若 $a = 1$ ， $k$ 为整数，且当 $x > 0$ 时， $(x - k) f' (x) + x + 1 > 0$ ，求 $k$ 的最大值．

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