江苏省扬州市江都区2021届九年级上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-04-02 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知 $α$ 为锐角，且 $\sin α = \frac{1}{2}$ ，则 $α$ 的值是（）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $75 °$

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2. 已知 $2 a = 3 b (a b \neq 0)$ ，下列变形正确的是（）

A、 $\frac{a}{b} = \frac{2}{3}$ B、 $\frac{a}{2} = \frac{b}{3}$ C、 $\frac{2}{b} = \frac{3}{a}$ D、 $\frac{b}{3} = \frac{2}{a}$

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3. 下列方程中，有两个不相等的实数根的是（）

A、 $x^{2} - x - 1 = 0$ B、 $x^{2} + x + 2 = 0$ C、 $x^{2} + 2 = 0$ D、 $x^{2} + 2 x + 1 = 0$

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4. 如图，添加下列一个条件后，仍无法判定 $△ A B C \sim △ A D E$ 的是（）

A、 $∠ C = ∠ A E D$ B、 $∠ B = ∠ A D E$ C、 $A E \cdot A B = A D \cdot A C$ D、 $A E \cdot A C = A D \cdot A B$

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5.
如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m² ．若设道路的宽为xm，则下面所列方程正确的是（）

A、（32﹣2x）（20﹣x）=570 B、32x+2×20x=32×20﹣570 C、（32﹣x）（20﹣x）=32×20﹣570 D、32x+2×20x﹣2x²=570

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6. 如图， $C D$ 是 $⊙ O$ 的直径，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， $∠ B D C = 20 °$ ，则 $∠ A$ 的度数是（）

A、 $100 °$ B、 $110 °$ C、 $120 °$ D、 $130 °$

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7. 若点 $A (- 4 ， y_{1})$ ， $B (- 3 ， y_{2})$ ， $C (1 ， y_{3})$ 在抛物线 $y = x^{2} + 4 x - m$ 上，则 $y_{1}$ ， $y_{2}$ ， $y_{3}$ 的大小关系是（）

A、 $y_{1} < y_{2} < y_{3}$ B、 $y_{2} < y_{1} < y_{3}$ C、 $y_{3} < y_{1} < y_{2}$ D、 $y_{1} < y_{3} < y_{2}$

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8. 已知关于 $x$ 的二次函数 $y = x^{2} - 2 m x + m^{2} + m + 1$ ，其中 $m$ 为实数，当 $- 2 \leq x \leq 0$ 时， $y$ 的最小值为 $5$ ，满足条件的 $m$ 的值为（）

A、 $- 5$ 或 $\frac{\sqrt{17} - 1}{2}$ B、 $- 5$ 或 $\frac{- \sqrt{17} - 1}{2}$ C、 $0$ 或 $\frac{\sqrt{17} - 1}{2}$ D、 $0$ 或 $\frac{- \sqrt{17} - 1}{2}$

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二、填空题

9. 一元二次方程 $3 x^{2} = x$ 的根是.

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10. 如果两个相似三角形的周长比为2：3，那么这两个相似三角形的面积比为.

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11. 已知圆锥的底面圆的半径为 $1$ ，母线长为 $3$ ，其侧面展开图的圆心角是.

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12. 一个小球在如图所示的方格地砖上任意滚动，并随机停留在某块地砖上.每块地砖的大小、质地完全相同，那么该小球停留在黑色区域的概率是.

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13. 如图是小孔成像原理的示意图，根据图中标注的尺寸，如果物体在暗盒中所成的像 $C D$ 的高度为 $4 c m$ ，那么物体 $A B$ 的高度应为 $m$ .

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14. 将抛物线 $y = x^{2}$ 先向下平移 $2$ 个单位长度，再向平移左 $3$ 个单位长度后得到的抛物线对应的函数表达式是.

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15. 如图是一块正多边形的碎瓷片，经测得 $∠ A C B = 30 °$ ，则这个正多边形的边数是.

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16. 道路的隔离栏通常会涂上醒目的颜色，呈抛物线形状（如图 $1$ ），图 $2$ 是一个长为 $2$ 米，宽为 $1$ 米的矩形隔离栏，中间被 $4$ 根栏杆五等分，每根栏杆的下面一部分涂上醒目的蓝色，颜色的分界处（点 $E$ ，点 $P$ ）以及点 $A$ ，点 $B$ 落在同一条抛物线上，若第 $1$ 根栏杆涂色部分（ $E F$ ）与第 $2$ 根栏杆未涂色部分（ $P Q$ ）长度相等，则 $E F$ 的长度是.

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17. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 4$ ， $B C = 6$ ，点 $E$ 是 $A D$ 上的动点（不与端点重合），在矩形 $A B C D$ 内找点 $F$ ，使得 $E F ⊥ A D$ ，且满足 $A F^{2} = A E \cdot A D$ ，则线段 $B F$ 的最小值是.

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18. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $A B = 2$ ， $B C = 1$ .将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 按逆时针方向旋转 $90 °$ 得到 $△ A B' C'$ ，连接 $B' C$ ，则 $\tan ∠ A C B' =$ .

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三、解答题

19.

(1)、计算： ${(\tan 60 ° + 1)}^{2} - 8 \sin 30 ° \cos 30 °$ .

(2)、解方程： $x^{2} - 4 x - 3 = 0$

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20. 甲、乙两班各选派

10

名学生参加“文明城市创建”知识问答.各参赛选手的成绩如下：

甲班： $93$ ， $98$ ， $89$ ， $93$ ， $95$ ， $96$ ， $93$ ， $96$ ， $98$ ， $99$ ；

乙班： $93$ ， $95$ ， $88$ ， $100$ ， $92$ ， $93$ ， $100$ ， $98$ ， $98$ ， $93$ ；

通过整理，得到数据分析表如下：

班级	最高分	平均分	中位数	众数	方差
甲班	$99$	$95$	$95 .5$	$a$	$b$
乙班	$100$	$95$	$c$	$93$	$13 .8$

(1)、填空：

a =

，

b =

，

c =

；

(2)、根据上述数据，你认为哪个班的成绩好一些？请简要说明理由.

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21. 从甲、乙、丙、丁4名同学中随机抽取环保志愿者.

(1)、若抽取1名，则恰巧是甲同学的概率是.

(2)、的若概抽率取是2名，求甲同学在其中的概率(用画树状图法或列表法求解).

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22. 如图，一天早上，明明正向着教学楼AB走去，他发现教学楼后面有一5G信号接收塔DC，可过了一会抬头一看：“怎么看不到接收塔了？”心里很是纳闷.经过了解，教学楼、接收塔的高分别是21.6m和31.6m，它们之间的距离为30m，明明的眼睛距地面1.6m.当明明刚发现接收塔的顶部D被教学楼的顶部A挡住时，他与教学楼之间的距离为多少米？

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23. 已知二次函数 $y = x^{2} - 4 x + 3$ .

(1)、直接写出这个函数的顶点坐标为，与 $x$ 轴的交点坐标为；

(2)、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，画出该函数的图象；

(3)、①写出一个此二次函数的性质；
②当 $0 \leq x \leq 3$ 时， $y$ 的取值范围是.

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24. 我们知道，全等是特殊的相似，相似与三角函数也有着密切的联系.某数学兴趣小组类比“斜边和直角边分别相等的两个直角三角形全等”，进而提出猜想“斜边和直角边成比例的两个直角三角形相似吗？”如图，在 $△ A B C$ 和 $△ A' B' C'$ 中， $∠ C = ∠ C' = 90 °$ ，且 $\frac{A B}{A' B'} = \frac{B C}{B' C'}$ ，则 $△ A B C$ 与 $△ A' B' C'$ 相似吗？并说明理由.

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25. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为 $2$ ，点 $P$ 是 $B C$ 边上的一个动点（点 $P$ 不与点 $B$ 、 $C$ 重合），连接 $A P$ ，过点 $P$ 作 $P Q ⊥ A P$ 交 $D C$ 于点 $Q$ .

(1)、求证： $A B \cdot C Q = P B \cdot P C$ ；

(2)、当 $C Q$ 最大时，求 $B P$ 的长.

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26. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $A C = 2$ ， $B C = 2 \sqrt{3}$ ， $C D$ 是斜边 $A B$ 上的中线，以 $C D$ 为直径的 $⊙ O$ 分别交 $A C$ 、 $B C$ 于点 $M$ 、 $N$ ，过点 $N$ 作 $N E ⊥ A B$ ，垂足为 $E$ .

(1)、求证： $N E$ 与 $⊙ O$ 相切；

(2)、求图中阴影部分的面积.

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27. 我们认为，顺次连接公共斜边的两个直角三角形的四个顶点所得的四边形叫做“规正四边形”.如图 $1$ ， $△ A B C$ 和 $△ D B C$ 都是直角三角形，且 $∠ B A C = ∠ B D C = 90 °$ ，则四边形 $A B C D$ 是规正四边形.在 $△ A B C$ 中，高线 $C E$ 和 $A D$ 相交于点 $H$ .

(1)、连接 $D E$ ，如图 $2$ .
①写出图中所有的规正四边形有；

②求证： $∠ C A D = ∠ D E C$ ；

(2)、连接 $B H$ 并延长交 $A C$ 于点 $F$ ，如图 $3$ .求证：四边形 $A E H F$ 是规正四边形.

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28. 春节前夕，某花店采购了一批鲜花礼盒，成本价为

30

元/件，物价局要求，销售该鲜花礼盒获得的利润率不得高于

120 %

.分析往年同期的鲜花礼盒销售情况，发现每天的销售量

y

（件）与销售单价

x

（元/件）近似的满足一次函数关系，数据如下表：

销售单价 $x$ （元/件）	$\cdot \cdot \cdot$	$40$	$50$	$60$	$\cdot \cdot \cdot$
每天销售量 $y$ （件）	$\cdot \cdot \cdot$	$300$	$250$	$200$	$\cdot \cdot \cdot$

(1)、直接写出

y

与

x

的函数关系式：；

(2)、试确定销售单价取何值时，花店销售该鲜花礼盒每天获得的利润最大？并求出最大利润；

(3)、为了确保今年每天销售此鲜花礼盒获得的利润不低于

5000

元，请预测今年销售单价的范围是多少？

(4)、花店承诺：今年每销售一件鲜花礼盒就捐赠

n

元（

n < 5

）给“爱心基金”.若扣除捐赠后的日利润随着日销量的减小而增大，则

n

的取值范围是多少？

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