湖南省益阳市赫山区2021届九年级上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-04-02 类型：期末考试

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一、单选题

1. 关于反比例函数 $y = - \frac{2}{x}$ 的图象，下列说法正确的是（）

A、必经过点 $(2, 2)$ B、两个分支分布在第一、三象限 C、两个分支关于 $x$ 轴成轴对称 D、两个分支关于原点成中心对称

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2. 2020年为阻击新冠疫情，某社区要了解每一栋楼的居民年龄情况，以便有针对性进行防疫.一志愿者得到某栋楼60岁以上人的年龄（单位：岁）数据如下：62，63，75，79，68，85，82，69，70.获得这组数据的方法是（）

A、直接观察 B、实验 C、调查 D、测量

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3. 泰勒斯是古希腊时期的思想家，科学家，哲学家，他最早提出了命题的证明．泰勒斯曾通过测量同一时刻标杆的影长，标杆的高度。金字塔的影长，推算出金字塔的高度。这种测量原理，就是我们所学的（）

A、图形的平移 B、图形的旋转 C、图形的轴对称 D、图形的相似

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4. 已知 $x = 1$ 是一元二次方程 $(m - 2) x^{2} + 4 x - m^{2} = 0$ 的一个根，则m的值为（）

A、-1或2 B、-1 C、2 D、0

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5. 若一次函数 $y = k x + b$ 与反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 的图象都经过点 $(- 2, 1)$ ，则 $b$ 的值是（）

A、3 B、-3 C、5 D、-5

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6. 2020年益阳始建高铁站，该站建设初期需要运送大量的土石方，某运输公司承担了运送总量为 $10^{6} m^{3}$ 土石方的任务，该运输公司平均运送土石方的速度 $v$ （单位： $m^{3}$ /天）与完成运送任务所需的时间 $t$ （单位：天）之间的函数关系式是（）

A、 $v = \frac{10^{6}}{t}$ B、 $v = 10^{6}$ C、 $v = \frac{1}{10^{6}} t^{2}$ D、 $v = 10^{6} t^{2}$

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7. 已知关于x的一元二次方程(m－1)x²＋2x＋1＝0有实数根，则m的取值范围是（）

A、m＜2 B、m≤2 C、m＜2且m≠1 D、m≤2且m≠1

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8. 如图，某停车场入口的栏杆AB，从水平位置绕点O旋转到A′B′的位置，已知AO的长为4米.若栏杆的旋转角∠AOA′＝α，则栏杆A端升高的高度为（）

A、 $\frac{4}{\sin α}$ 米 B、4sinα米 C、 $\frac{4}{\cos α}$ 米 D、4cosα米

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9. 如图，在▱ABCD中，E为AD的三等分点，AE= $\frac{2}{3}$ AD，连接BE交AC于点F，AC=12，则AF为（　　）

A、4 B、4.8 C、5.2 D、6

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10. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a$ ， $b$ ， $c$ 是常数 $a \neq 0$ ， $c > 1$ ）经过点 $(2, 0)$ ，其对称轴是直线 $x = \frac{1}{2}$ .有下列结论：① $a b c > 0$ ；②关于 $x$ 的方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 有两个不等的实数根；③ $a < - \frac{1}{2}$ .其中正确结论的个数是（）

A、0 B、1 C、2 D、3

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二、填空题

11. 抛物线 $y = 3 {(x - 1)}^{2} + 8$ 的顶点坐标为．

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12. 如图，若反比例函数y＝ $\frac{k}{x}$ （x＜0）的图象经过点A ， AB⊥x轴于B ，且△AOB的面积为6，则k＝．

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13. 生活中到处可见黄金分割的美.如图，在设计人体雕像时，使雕像的腰部以下 $a$ 与全身 $b$ 的高度比值接近0.618，可以增加视觉美感.若图中 $b$ 为2米，则 $a$ 约为.

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14. 在对一组样本数据进行分析时，小华列出了方差的计算公式： $S^{2} = \frac{{(2 - \bar{x})}^{2} + {(3 - \bar{x})}^{2} + {(3 - \bar{x})}^{2} + {(4 - \bar{x})}^{2}}{n}$ ，由公式提供的信息，①样本的容量是4，②样本的中位数是3，③样本的众数是3，④样本的平均数是3.5，则说法错误的是（填序号）

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15. 将一元二次方程 $x^{2} - 8 x - 5 = 0$ 化成 ${(x + a)}^{2} = b$ （ $a$ 、 $b$ 为常数）的形式，则 $a$ 、 $b$ 的值分别是.

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16. 在解一元二次方程x²+bx+c＝0时，小明看错了一次项系数b，得到的解为x₁＝2，x₂＝3；小刚看错了常数项c，得到的解为x₁＝1，x₂＝5.请你写出正确的一元二次方程.

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17. $△ A B C$ 中， $∠ B = 90 °$ ， $A C = \sqrt{5}$ ， $\tan C = \frac{1}{2}$ ，则 $B C$ 边的长为.

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18. 如图，D是 $△ A B C$ 的边BC上一点， $A B = 4$ ， $A D = 2$ ， $∠ D A C = ∠ B$ .如果 $△ A B D$ 的面积为15，那么 $△ A C D$ 的面积为.

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三、解答题

19. 解方程： $2 x^{2} - 3 x + 1 = 0$

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20. 计算： ${(\frac{1}{2})}^{- 1} - \cos^{2} 60 ° + {(\sqrt{3} - π)}^{0} - \sin 60 ° \tan 30 °$ .

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21. 如图，反比例函数y=﹣ $\frac{8}{x}$ 与一次函数y=﹣x+2的图象交于A、B两点.

(1)、求A、B两点的坐标；

(2)、求△AOB的面积.

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22.
某小区在绿化工程中有一块长为18m、宽为6m的矩形空地，计划在其中修建两块相同的矩形绿地，使它们的面积之和为60m² ，两块绿地之间及周边留有宽度相等的人行通道（如图所示），求人行通道的宽度．

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23. 为贯彻落实党中央关于全面建成小康社会的战略部署，某贫困地区的广大党员干部深入农村积极开展“精准扶贫”工作.经过多年的精心帮扶，截至2019年底，按照农民人均年纯收入3218元的脱贫标准，该地区只剩少量家庭尚未脱贫：现从这些尚未脱贫的家庭中随机抽取50户，统计其2019年的家庭人均年纯收入，得到如下图所示的条形图.

(1)、如果该地区尚未脱贫的家庭共有1000户，试估计其中家庭人均年纯收入低于2000元（不含2000元）的户数；

(2)、估计2019年该地区尚未脱贫的家庭人均年纯收入的平均值；

(3)、2020年初，由于新冠疫情，农民收入受到严重影响，上半年当地农民家庭人均月纯收入的最低值变化情况如上面的折线图所示.为确保当地农民在2020年全面脱贫，当地政府积极筹集资金，引进某科研机构的扶贫专项项目.据预测，随着该项目的实施，当地农民自2020年7月开始，以后每月家庭人均月纯收入都将比上一个月增加20元.已知2020年农村脱贫标准为农民人均年纯收入4000元，试根据以上信息预测该地区所有贫困家庭能否在2020年实现全面脱贫.

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24. 脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活.如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高 $A B$ 所在的直线.为了测量房屋的高度，在地面上C点测得屋顶 $A$ 的仰角为 $35 °$ ，此时地面上C点、屋檐上 $E$ 点、屋顶上A点三点恰好共线，继续向房屋方向走 $8 m$ 到达点D时，又测得屋檐 $E$ 点的仰角为 $60 °$ ，房屋的顶层横梁 $E F = 12 m$ ， $E F / / C B$ ， $A B$ 交 $E F$ 于点G（点C，D， $B$ 在同一水平线上）.（参考数据： $\sin 35 ° \approx 0.6$ ， $\cos 35 ° \approx 0.8$ ， $\tan 35 ° \approx 0.7$ ， $\sqrt{3} \approx 1.7$ ）

(1)、求屋顶到横梁的距离 $A G$ ；

(2)、求房屋的高 $A B$ （结果精确到 $1 m$ ）.

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25. 在平面直角坐标系中，抛物线 $y = \frac{1}{2} x^{2} + b x + c$ 经过点 $A (- 4 ， 0)$ ，点 $M$ 为抛物线的顶点，点 $B$ 在 $y$ 轴上，且 $O A = O B$ ，直线 $A B$ 与抛物线在第一象限交于点 $C (2 ， 6)$ ，如图.

(1)、求抛物线的解析式；

(2)、求直线 $A B$ 的函数解析式、点 $M$ 的坐标和 $∠ A B O$ 的余弦值.

(3)、连接 $O C$ ，若过点 $O$ 的直线交线段 $A C$ 于点 $P$ ，将 $△ A O C$ 的面积分成 $1 ： 2$ 的两部分，求点 $P$ 的坐标为.

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26.

(1)、（基础巩固）
如图1，在 $△ A B D$ 中， $D$ 为 $A B$ 上一点， $∠ A C D = ∠ B$ .求证： $A C^{2} = A D \cdot A B$ .

(2)、（尝试应用）
如图2，在 $▱ A B C D$ 中， $E$ 为 $B C$ 上一点， $F$ 为 $C D$ 延长线上一点， $∠ B F E = ∠ A$ ，若 $B F = 4$ ， $B E = 3$ ，求 $A D$ 的长.

(3)、（拓展提高）
如图3，在菱形 $A B C D$ 中， $E$ 是 $A B$ 上一点， $F$ 是 $△ A B C$ 内一点， $E F // A C$ ， $A C = 2 E F$ ， $∠ E D F \dot{=} \frac{1}{2} ∠ B A D$ ， $A E = 2$ ， $D F = 5$ ，求菱形 $A B C D$ 的边长.

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