河南省商丘市永城市2021届九年级上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-04-02 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若 $α = 60 °$ ，则 $2 \sin α$ 的值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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2. 下列图形中，是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 一元二次方程 $x^{2} = x$ 的解的情况是（）

A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、没有实数根 D、无法确定

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4. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B // D E$ ，若 $\frac{A E}{C E} = \frac{2}{3}$ ，则 $△ E C D$ 与 $△ A C B$ 的面积之比为（）

A、 $\frac{3}{5}$ B、 $\frac{9}{25}$ C、 $\frac{4}{5}$ D、 $\frac{16}{25}$

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5. 如图，桌上摆放着写有号码的“♥”卡片，它们的背面都完全相同，现将它们背面朝上，从中任意摸出一张，摸到“♥”卡片上写有数字5的概率是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{1}{8}$

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6. 一次函数y₁=k₁x+b和反比例函数y₂ $= \frac{k_{2}}{x}$ (k₁•k₂≠0)的图象如图所示，若y₁＞y₂ ，则x的取值范围是（）

A、﹣1＜x＜0或x＞4 B、﹣1＜x＜4 C、x＜﹣1或x＞4 D、x＜﹣1或0＜x＜4

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7. 下表是小亮填写的实践活动报告的部分内容：

题目	测量树顶到地面的距离
测量目标示意图
相关数据	$A B = 30$ 米， $∠ α = 28 °$ ， $∠ β = 45 °$

设树顶到地面的高度 $D C = x$ 米，根据以上条件，可以列出求树高的方程为（）

A、

x = (x - 30) \tan 28 °

B、

x = (30 + x) \tan 28 °

C、

x + 30 = x \tan 28 °

D、

x - 30 = x \tan 28 °

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8. 如图，点 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 均在以点 $O$ 为圆心的圆 $O$ 上，连接 $A B$ ， $A C$ 及顺次连接 $O$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 得到四边形 $O B C D$ ，若 $O D = B C$ ， $O B = C D$ ，则 $∠ A$ 的度数为（）

A、20° B、25° C、30° D、35°

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9. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，若方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的两个根为 $x_{1} = 1$ ， $x_{2} = - 5$ ，下列结论中：① $b c > 0$ ；② $b = 4 a$ ；③ $a - b + c > 0$ ；④ $5 b + 4 c = 0$ .其中所有正确的结论有（）

A、①② B、③④ C、②③④ D、②③

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10. 如图1，在矩形 $A B C D$ 中，动点 $E$ 从点 $A$ 出发，沿 $A \to B \to C$ 的路线运动，当点 $E$ 到达点 $C$ 时停止运动.若 $F E ⊥ A E$ ，交 $C D$ 于点 $F$ 设点 $E$ 运动的路程为 $x$ ， $F C = y$ ，已知 $y$ 关于 $x$ 的图象如图2所示，则 $m$ 的值为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、2 C、1 D、 $\frac{2}{3}$

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二、填空题

11. 已知 $2 x = 5 y (y \neq 0)$ ，则 $\frac{x}{y} =$ ．

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12. 某班同学毕业时都将自己的照片向全班其他同学各送一张表示留念，全班共送1056张照片，如果全班有 $x$ 名同学，根据题意，列出方程为.

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13. 如图， $C$ ， $D$ 两点在以 $A B$ 为直径的 $⊙ O$ 上，若 $A D = 3$ ， $⊙ O$ 的半径为2，则 $\tan ∠ A C D$ 的值为.

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14. 如图，在平面直角坐标系中， $R t △ A B C$ 的直角顶点 $B$ 的坐标为 $(1 ， 0)$ ，点 $A$ 在 $x$ 轴正半轴上， $A B = 2$ ，将 $△ A B C$ 绕着点 $B$ 逆时针旋转90°，得到 $△ D B O$ ，若抛物线 $y = x^{2} + b x + c$ 经过点 $A$ ， $D$ ，则 $b - c$ 的值为.

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15. 如图所示的是边长为4的正方形镖盘 $A B C D$ ，分别以正方形镖盘 $A B C D$ 的三边为直径在正方形内部作半圆，三个半圆交于点 $O$ ，乐乐随机地将一枚飞镖投掷到该镖盘上，飞镖落在阴影区域的概率为.

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三、解答题

16. 已知一元二次方程 $x^{2} - 2 x - 3 = 0$ 的正实数根也是一元二次方程 $x^{2} - (k - 2) x + 3 = 0$ 的根，求 $k$ 的值.

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17. 明明是一个集邮爱好者，正值 $2021$ 年辛丑牛年来临之际，明明收集了自己感兴趣的 $4$ 张牛邮票（除正面内容不同外，其余均相同），现将这四张邮票背面朝上洗匀放好.

(1)、明明从中随机地抽取一张邮票是 $8$ 分的概率是；

(2)、明明从中随机抽取一张邮票（不放回），再从余下的邮票中随机抽取一张，请你用列表或画树状图的方法求抽到的两张邮票恰好是“ $4$ 分邮票”和“ $10$ 分邮票”的概率（这四张邮票分别用字母 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 表示）.

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18. 课堂上，老师在平面直角坐标系中画出了 $△ A B C$ ，且 $△ A B C$ 的三个顶点 $A$ ， $B$ ， $C$ 均在边长为1的正方形网格的格点上，如图所示.

请你按照老师的要求解答下列问题：

（ 1 ）作出 $△ A B C$ 绕点 $C$ 顺时针旋转90°后的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并直接写出点 $A_{1}$ 的坐标.

（ 2 ）作出以点 $C$ 为位似中心， $△ A B C$ 的位似图形 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，使 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ 与 $△ A B C$ 的位似比为 $1 ： 2$ ，且 $△ A B C$ 与 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ 位于点 $C$ 的两端.

（ 3 ）点 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 之间的距离为_▲_.

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19. 如图，直线 $y = x$ 和双曲线 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 交于 $A$ ， $B$ 两点， $A E ⊥ x$ 轴，垂足为 $E$ ，射线 $A C ⊥ A D$ ， $A C$ 交 $y$ 轴于点 $C$ ， $A D$ 交 $x$ 轴于点 $D$ ，且四边形 $A C O D$ 的面积为1.

(1)、求双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 的解析式.

(2)、求 $A$ ， $B$ 两点的坐标.

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20. 如图， $⊙ O$ 的直径 $A B = 10$ ， $A C = 6$ ， $D$ 为 $⊙ O$ 上一点，过点 $D$ 作 $D P ⊥ A C$ ，垂足为 $P$ ，且 $D P$ 为 $⊙ O$ 的切线.

(1)、求证： $A D$ 平分 $∠ P A B$ .

(2)、求 $△ A D P$ 的面积.

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21. 如图1所示的是某款手机的平板支架，它由托板、支撑板和底座构成，现将该款手机放置在托板上.如图2所示的是该款手机及平板支架的侧面结构示意图，现量得托板 $D E = 12 c m$ ，支撑板 $A C = 10 c m$ ，底座 $A B = 9 c m$ ，托板 $D E$ 固定在支撑板顶端点 $C$ 处，且 $C E = 7 c m$ ，托板 $D E$ 可以绕着点 $C$ 转动，支撑板 $A C$ 可以绕着点 $A$ 转动.

(1)、若 $∠ A C E = 55 °$ ， $∠ C A B = 60 °$ ，求点 $D$ 到 $A B$ 的距离.

(2)、为了观看舒适，在（1）的情况下，将 $D E$ 绕着点 $C$ 逆时针旋转35°后，再将 $A C$ 绕着点 $A$ 顺时针旋转，使得点 $E$ 落在直线 $A B$ 上，求 $A C$ 旋转的角度.（参考数据： $s i n 65 ° \approx 0.91$ ， $c o s 65 ° \approx 0.42$ ， $\tan 65 ° \approx 2.14$ ， $\sin 35 ° \approx 0.57$ ， $\cos 35 ° \approx 0.82$ ， $\tan 35 ° \approx 0.70$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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22. 如图，已知一次函数 $y = k x - 2$ 的图象与 $x$ 轴交于点 $A$ ，与 $y$ 轴交于点 $B$ ，二次函数 $y = x^{2} + b x + c$ 经过点 $B$ ，且与一次函数 $y = k x - 2$ 的图象交于点 $C (6 ， 4)$ .

(1)、求一次函数与二次函数的解析式.

(2)、在 $y$ 轴上是否存在点 $M$ ，使得以点 $B$ ， $M$ ， $C$ 为顶点的三角形与 $△ B A O$ 相似？若存在，请求出点 $M$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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23. 如图1，已知 $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A C = 4$ ， $B C = 3$ ，将 $△ A B C$ 绕点 $B$ 逆时针旋转一定的角度 $α$ 得到 $△ A_{1} B C_{1}$ .

(1)、若 $α = 90 °$ ，则 $A A_{1}$ 的长为.

(2)、如图2，若 $0 ° < a < 90 °$ ，直线 $A_{1} C_{1}$ 分别交 $A B$ ， $A C$ 于点 $G$ ， $H$ ，当 $△ A G H$ 为等腰三角形时，求 $C H$ 的长.

(3)、如图3，若 $0 ° < α < 360 °$ ， $M$ 为边 $A_{1} C_{1}$ 的中点， $N$ 为 $A M$ 的中点，请直接写出 $C N$ 的最大值.

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