浙江省绍兴市诸暨市2021届九年级上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-04-02 类型：期末考试

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一、单选题

1. 若 $\frac{y}{x} = \frac{3}{2}$ ，则 $\frac{x + y}{x}$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{2}$ B、 $5$ C、 $\frac{5}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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2. 在一个不透明的盒子中有 $1$ 个白球和 $3$ 个红球，它们除颜色外其余都相同，从盒子里任意摸出 $1$ 个球，摸到白球的概率是（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{5}$

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3. 将抛物线 $y = - x^{2}$ 向左平移 $3$ 个单位，再向上平移 $5$ 个单位，则平移后的抛物线解析式为（）

A、 $y = - {(x + 3)}^{2} + 5$ B、 $y = - {(x + 3)}^{2} - 5$ C、 $y = - {(x - 3)}^{2} + 5$ D、 $y = - {(x - 3)}^{2} - 5$

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4.
如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=6，DB=3，AE=4，则EC的长为（　　）

A、1 B、2 C、3 D、4

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5. 往直径为 $26 c m$ 的圆柱形容器内装入一些水以后，截面如图所示，若水的最大深度为 $8 c m$ ，则水面 $A B$ 的宽度为（）

A、 $12 c m$ B、 $18 c m$ C、 $20 c m$ D、 $24 c m$

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6. 如图，由边长为 $1$ 的小正方形构成的网格中，点 $A$ ， $B$ ， $C$ 都在格点上，以 $A B$ 为直径的圆经过点 $C$ ， $D$ ，则 $\tan ∠ A D C$ 的值为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{13}}{13}$ B、 $\frac{3 \sqrt{13}}{13}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{3}{2}$

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7. 如图，半径为 $10$ 的扇形 $A O B$ 中， $∠ A O B = 90 °$ ， $C$ 为弧 $A B$ 上一点， $C D ⊥ O A$ ， $C E ⊥ O B$ ，垂足分别为 $D$ ， $E$ .若图中阴影部分的面积为 $10 π$ ，则 $∠ C D E =$ （）

A、 $30 °$ B、 $36 °$ C、 $54 °$ D、 $45 °$

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8. 如图， $C D$ 是 $R t △ A B C$ 斜边 $A B$ 上的高， $A C = 8$ ， $B C = 6$ ，点 $O$ 是 $C D$ 上的动点，以 $O$ 为圆心作半径为 $1$ 的圆，若该圆与 $△ A B C$ 重叠部分的面积为 $π$ ，则 $O C$ 的最小值为（）

A、 $\frac{5}{4}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $\frac{7}{5}$ D、 $\frac{5}{3}$

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9. 已知 $△ A B C$ 为直角三角形，且 $∠ A = 30 °$ ，若 $△ A B C$ 的三个顶点均在双曲线 $y = \frac{k}{x} (k > 0)$ 上，斜边 $A B$ 经过坐标原点，且 $B$ 点的纵坐标比横坐标少 $3$ 个单位长度， $C$ 点的纵坐标与 $B$ 点横坐标相等，则 $k =$ （）

A、 $4$ B、 $\frac{9}{2}$ C、 $3 \sqrt{2}$ D、 $5$

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二、填空题

10. 正五边形每个内角的度数是.

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11. 在一个有 $10$ 万人的小镇随机调查了 $1000$ 人，其中有 $100$ 人看中央电视台的早间新闻.在该镇随便问一个人，他看早间新闻的概率大约是.

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12. 如图，已知⊙O上三点 $A$ ， $B$ ， $C$ ，切线 $P A$ 交 $O C$ 延长线于点 $P$ ，若 $O P = 2 O C$ ，则 $∠ A B C =$ .

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13. 如图所示，正方形的顶点 $A$ 在矩形 $D E F G$ 的边 $E F$ 上，矩形 $D E F G$ 的顶点 $G$ 在正方形的边 $B C$ 上.已知正方形的边长为 $4$ ， $D G$ 的长为 $6$ ，则 $D E$ 的长为.

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14. 如图，已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a < 0)$ 的图象与 $x$ 轴交于不同两点，与 $y$ 轴的交点在 $y$ 轴正半轴，它的对称轴为直线 $x = 1$ .有以下结论：① $a b c > 0$ ，② $a - c > 0$ ，③若点 $(- 1 ， y_{1})$ 和 $(2 ， y_{2})$ 在该图象上，则 $y_{1} < y_{2}$ ，④设 $x_{1}$ ， $x_{2}$ 是方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 的两根，若 $a m^{2} + b m + c = p$ ，则 $p (m - x_{1}) (m - x_{2}) \leq 0$ .其中正确的结论是（填入正确结论的序号）.

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15. 如图，直角 $△ A B C$ 的直角边长 $A B = B C = 4$ ， $D$ 是 $A B$ 中点，线段 $P Q$ 在边 $A C$ 上运动， $P Q = \frac{3}{2} \sqrt{2}$ ，则四边形 $P D B Q$ 面积的最大值为，周长的最小值为.

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三、解答题

16.

(1)、计算： $2 \sin 30 ° + {(2021 - π)}^{0} - \tan^{2} 60 °$ .

(2)、已知线段 $a = 4$ ， $b = 9$ ，求线段 $a$ ， $b$ 的比例中项.

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17. 在一个不透明的盒子中有 $3$ 个颜色、大小、形状完全相同的小球，小球上分别标有 $1$ ， $2$ ， $3$ 这 $3$ 个号码.

(1)、搅匀后从中随机抽出 $1$ 个小球，抽到 $1$ 号球的概率是.

(2)、搅匀后先从中随机抽出 $1$ 个小球（不放回），再从余下的 $2$ 个球中随机抽出 $1$ 个球，求抽到的 $2$ 个小球的号码的和为奇数的概率.

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18. 如图，某海防哨所（ $O$ ）发现在它的北偏西 $30 °$ ，距离哨所 $500 m$ 的 $A$ 处有一艘船，该船向正东方向航行，经过 $3$ 分钟到达哨所东北方向的 $B$ 处，求该船的航速.（精确到 $1 k m / h$ ）

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19. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ ， $E$ ， $F$ 分别在 $A B$ ， $B C$ ， $A C$ 边上， $D E / / A C$ ， $E F / / A B$ .

(1)、求证： $△ B D E \sim △ E F C$ .

(2)、若 $\frac{A F}{F C} = \frac{3}{5}$ ， $△ E F C$ 的面积是 $25$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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20. 某超市经销一种商品，每千克成本为 $50$ 元.试销发现该种商品每天销售量 $y$ （千克）与销售单价 $x$ （元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价、销售量的四组对应值如表所示：

销售单价 $x$ （元/千克）

$55$

$60$

$n$

$70$

销售量 $y$ （千克）

$70$

$m$

$50$

$40$

(1)、求 $y$ （千克）与 $x$ （元/千克）之间的函数表达式.

(2)、为保证某天获得 $600$ 元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？

(3)、当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？

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21. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $O$ 是 $B C$ 中点，以 $O$ 为圆心， $B C$ 为直径作圆刚好经过 $A$ 点，延长 $B C$ 于点 $D$ ，连接 $A D$ .已知 $∠ C A D = ∠ B$ .

(1)、求证：① $A D$ 是⊙O的切线；
② $△ A C D \sim △ B A D$ ；

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22. 定义：三角形一边上的点将该边分为两条线段，且这两条线段的积等于这个点到这边所对顶点连线的平方，则称这个点为三角形该边的“好点”.如图1， $△ A B C$ 中，点 $D$ 是 $B C$ 边上一点，连接 $A D$ ，若 $A D^{2} = B D \cdot C D$ ，则称点 $D$ 是 $△ A B C$ 中 $B C$ 边上的“好点”.

(1)、如图2， $△ A B C$ 的顶点是 $4 \times 3$ 网格图的格点，请仅用直尺画出（或在图中直接描出） $A B$ 边上的“好点”；

(2)、 $△ A B C$ 中， $B C = 14$ ， $\tan B = \frac{3}{4}$ ， $\tan C = 1$ ，点 $D$ 是 $B C$ 边上的“好点”，求线段 $B D$ 的长；

(3)、如图3， $△ A B C$ 是⊙O的内接三角形，点 $H$ 在 $A B$ 上，连结 $C H$ 并延长交⊙O于点 $D$ .若点 $H$ 是 $△ B C D$ 中 $C D$ 边上的“好点”.
①求证： $O H ⊥ A B$ ；

②若 $O H // B D$ ，⊙O的半径为 $r$ ，且 $r = 3 O H$ ，求 $\frac{C H}{D H}$ 的值.

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23. 如图，已知 $R t △ A B C$ 中， $∠ B A C = 30 °$ ， $∠ C = 90 °$ ， $A$ 点坐标为 $(- 1 ， 0)$ ， $B$ 点坐标为 $(3 ， 0)$ ，抛物线 $y_{1}$ 的顶点记为 $Q$ ，且经过 $△ A B C$ 的三个顶点 $A$ 、 $B$ 、 $C$ （点 $A$ 在点 $B$ 左侧，点 $C$ 在 $x$ 轴下方）.抛物线 $y_{2}$ 也交 $x$ 轴于点 $A$ 、 $B$ ，其顶点为 $P$ .

(1)、求 $C$ 点的坐标和抛物线 $y_{1}$ 的顶点 $Q$ 的坐标.

(2)、当 $A P + C P$ 的值最小时，求抛物线 $y_{2}$ 的解析式.

(3)、设点 $M$ 是抛物线 $y_{1}$ 上的一个动点，且位于其对称轴的右侧.若 $△ P Q M$ 是与 $△ A B C$ 相似的三角形，求抛物线 $y_{2}$ 的顶点 $P$ 的坐标.

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销售单价 $x$ （元/千克）	$55$	$60$	$n$	$70$
销售量 $y$ （千克）	$70$	$m$	$50$	$40$