四川省成都市郫都区2021届九年级上学期数学期末考试试卷

试卷更新日期：2021-04-02 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列方程是一元二次方程的是（）

A、 $x + y - 1 = 0$ B、 $x^{2} + \frac{1}{x} = 2$ C、 $x^{2} = 2 x + 3$ D、 $x y = - 6$

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2. 如图是由6个相同的小正方体组成的立体图形，这个立体图形的俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 若 $x = m$ 是方程 $x^{2} + x - 1 = 0$ 的根，则 $m^{2} + m + 2020$ 的值为（）

A、2022 B、2021 C、2019 D、2018

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4. 若 $y = (a - 2) x^{2} - 3 x + 4$ 是二次函数，则 $a$ 的取值范围是（）

A、 $a \neq 2$ B、 $a > 0$ C、 $a > 2$ D、 $a \neq 0$

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5. 如图，在正方形网格纸中， $△ A B C$ 的三个顶点都在格点上，则 $\tan ∠ B A C$ 的值是（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、 $\frac{3}{5}$

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6. 如图，晚上小明在路灯下沿路从 $A$ 处径直走到 $B$ 处，这一过程中他在地上的影子（）

A、一直都在变短 B、先变短后变长 C、一直都在变长 D、先变长后变短

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7. 如图，在 $△ A B C$ 中，点 $D$ 是 $A B$ 上一点， $D E // B C$ 交 $M C$ 于点 $E$ ， $A D = 3$ ， $B D = 2$ ，则 $A E$ 与 $E C$ 的比是（）

A、 $3 ： 2$ B、 $3 ： 5$ C、 $9 ： 16$ D、 $9 ： 4$

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8. 抛物线 $y = 2 (x - 3) (x + 4)$ 与 $x$ 轴交点的横坐标分别为（）

A、 $- 3$ ， $- 4$ B、3，4 C、 $- 3$ ，4 D、3， $- 4$

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9. 如图，过双曲线 $y = \frac{2}{x}$ 在第一象限上的一支上的点 $A$ 作 $A B ⊥ x$ 轴于点 $B$ ，连接 $A O$ ，则 $△ O A B$ 的面积为（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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10. 在利用正六面体骰子进行频率估计概率的实验中，小颖同学统计了某一结果出现的频率，绘出的统计图如图所示，则符合这一结果的试验可能是（）

A、朝上的点数是 5 的概率 B、朝上的点数是奇数的概率 C、朝上的点数是大于 2 的概率 D、朝上的点数是 3 的倍数的概率

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二、填空题

11. 若 $\frac{a}{b} = \frac{1}{5}$ ，则 $\frac{a}{a + b}$ 的值为.

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12. 反比例函数y= $\frac{m - 3}{x}$ ，在每一象限内，y随x的增大而减小，则m的取值范围.

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13. 如图， $△ O A B$ 与 $△ O D C$ 是以点 $O$ 为位似中心的位似图形，相似比为 $1 ： 2$ ，若点 $B$ 的坐标为 $(- 2 ， 1)$ ，则点 $C$ 的坐标为：.

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14. 如图，桥洞的拱形是抛物线，当水面宽 $A B$ 为 $12 m$ 时，桥洞顶部离水面 $4 m$ .若选取拱形顶点 $C$ 为坐标原点，以水平方向为 $x$ 轴，建立平面直角坐标系，此时该抛物线解析式为.

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15. 在比例尺 $1 : 200000$ 的地图上， $A$ 、 $B$ 两地间的距离为 $4 c m$ .若还是用 $c m$ 单位，则 $A$ 、 $B$ 两地的实际距离用科学记数法表示应为.

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16. 在长度分别为3、4、7、9的四条线段中，任意选取三条，端点顺次连接，能组成三角形的概率为.

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17. 设 $a$ ， $b$ 分别是方程 $x^{2} + x - 2022 = 0$ 的两个实数根，则 $a^{2} + 2 a + b$ 的值是.

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18. 如图，点 $C$ 在线段 $A B$ 上，等腰 $△ A D C$ 的顶角 $∠ A D C = 120 °$ ，点 $M$ 是矩形 $C D E F$ 的对角线 $D F$ 的中点，连接 $M B$ ，若 $A B = 6 \sqrt{3}$ ， $A C = 6$ ，则 $M B$ 的最小值为为.

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19. 如图，每个台阶的高和宽分别是1和2，台阶凸出的角的顶点记作 $T_{m}$ （其中 $m$ 为1～8的整数），函数 $y = k x^{- 1} (x < 0)$ 的图象为曲线 $L$ .若曲线 $L$ 使得 $T_{1} ~ T_{8}$ 这些点分布在它的两侧，每侧各4个点，则 $k$ 的取值范围为.

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三、解答题

20.

(1)、计算： $| 2 - \sqrt{3} | + \sqrt{8} + 2 \sin 60 ° - 2 \cos 45 °$ .

(2)、解方程： $x^{2} - x - 12 = 0$ .

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21. 已知关于 $x$ 的一元二次方程有 $(k - 1) x^{2} - 2 x + 1 = 0$ 两个不相等的实数根，求k的取值范围.

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22. 如图，航拍无人机在 $C$ 处测得正前方某建筑物顶部处 $A$ 的仰角为45°，测得底部 $B$ 的俯角为31°.此时航拍无人机距地面 $C D$ 的高度为12米，求该建筑物的高度 $A B$ （结果保留整数）.（参考数据： $\tan 31 ° \approx 0.60$ .）

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23. 对垃圾进行分类投放，能提高垃圾处理和再利用的效率，减少污染，保护环境.为了检查垃圾分类的落实情况，某居委会成立了甲、乙两个检查组，采取随机抽查的方式分别对辖区内的A，B，C，D四个小区进行检查，并且每个小区不重复检查.

(1)、甲组抽到A小区的概率是多少

(2)、请用列表或画树状图的方法求甲组抽到A小区，同时乙组抽到C小区的概率.

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24. 如图，直线 $y = x + b$ 与双曲线 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点，且点 $A$ 的坐标为 $(2 ， 3)$ .

(1)、求双曲线与直线的解析式；

(2)、求点 $B$ 的坐标；

(3)、若 $x + b > \frac{k}{x}$ ，直接写出 $x$ 的取值范围.

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25. 如图，矩形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 、 $B D$ 相交于点 $F$ ，延长 $B C$ 到点 $E$ ，使 $C E = B C$ ，连接 $D E$ ，连接 $A E$ 交 $B D$ 于点 $G$ ，交 $C D$ 于点 $H$ .

(1)、求证：四边形 $A C E D$ 是平行四边形；

(2)、求证： $D G^{2} = F G \cdot B G$ ；

(3)、若 $A B = 10$ ， $B C = 12$ ，求线段 $G H$ 的长度.

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26. 某商场销售一批名牌衬衫：平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售量，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价促销措施，经市场调查发现：如果每件衬衫降价1元，那么平均每天就可多售出2件.

(1)、求出商场盈利与每件衬衫降价之间的函数关系式；

(2)、若每天盈利达1200元，那么每件衬衫应降价多少元？

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27. 如图，以 $△ A B C$ 的两边 $A B$ 、 $A C$ 分别向外作等边 $△ A B D$ 和等边 $△ A C E$ ， $B E$ 与 $C D$ 交于点 $P$ ，已知 $P A = 3$ ， $P B = 4$ ， $P C = 5$ .

(1)、求证： $△ A D C ≅ △ A B E$ ；

(2)、求 $∠ D P B$ 的度数及 $B E$ 的长；

(3)、若点 $Q$ 、 $R$ 分别是等边 $△ A B D$ 和等边 $△ A C E$ 的重心（三边中线的交点），连接 $A Q$ 、 $A R$ 、 $Q R$ ，作出图象，求 $Q R$ 的长.

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28. 如图，在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + c$ 与 $x$ 轴交于 $A (- 3 ， 0)$ ， $B (1 ， 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C (0 ， 3)$ ，连接 $A C$ ，点 $P$ 为第二象限抛物线上的动点.

(1)、求 $a$ 、 $b$ 、 $c$ 的值；

(2)、连接 $P A$ 、 $P C$ 、 $A C$ ，求 $△ P A C$ 面积的最大值；

(3)、过 $P$ 作 $P Q ⊥ A C$ ，垂足为 $Q$ ，是否存在这样的点 $P$ 、 $Q$ ，使得 $△ C P Q \sim △ C B O$ ，若存在，请求出所有符合条件的点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由.

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