2015-2016学年四川省攀枝花十二中高一下学期3月调研数学试卷

试卷更新日期：2016-07-25 类型：月考试卷

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一、单选题

1. 计算sin43°cos13°﹣cos43°sin13°的结果等于（　　）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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2. 若向量 $\vec{a}$ =（3，m）， $\vec{b}$ =（2，﹣1）， $\vec{a}$ $\cdot$ $\vec{b}$ =0，则实数m的值为（　　）

A、- $\frac{3}{2}$ B、 $\frac{3}{2}$ C、2 D、6

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3. 在△ABC中，A=60°，B=75°，a=10，则c等于（　　）

A、5 $\sqrt{2}$ B、10 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{10 \sqrt{6}}{3}$ D、5 $\sqrt{6}$

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4. 已知sinα= $\frac{2}{3}$ ，则cos（π﹣2α）=（　　）

A、- $\frac{\sqrt{5}}{3}$ B、- $\frac{1}{9}$ C、 $\frac{1}{9}$ D、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$

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5. 已知△ABC和点M满足 $\vec{M A}$ + $\vec{M B}$ + $\vec{M C}$ = $\vec{0}$ ．若存在实数m使得 $\vec{A B}$ + $\vec{A C}$ =m $\vec{A M}$ 成立，则m=（　　）

A、2 B、3 C、4 D、5

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6. 已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为120°，| $\vec{a}$ |=3，| $\vec{a}$ + $\vec{b}$ |= $\sqrt{13}$ ，则| $\vec{b}$ |等于（　　）

A、5 B、4 C、3 D、1

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7. 下列区间是函数y=2|cosx|的单调递减区间的是（　　）

A、（0，π） B、（﹣ $\frac{π}{2}$ ， 0） C、（ $\frac{3 π}{2}$ ， 2π） D、（﹣π，﹣ $\frac{π}{2}$ ）

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8.
已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（x∈R，A＞0，ω＞0，|φ|＜ $\frac{π}{2}$ ）的部分图象如图所示，则f（x）的解析式是（　　）

A、 $f (x) = 2 \sin (π x + \frac{π}{6}) (x \in R)$ B、 $f (x) = 2 \sin (2 π x + \frac{π}{6}) (x \in R)$ C、 $f (x) = 2 \sin (π x + \frac{π}{3}) (x \in R)$ D、 $f (x) = 2 \sin (2 π x + \frac{π}{3}) (x \in R)$

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9. 已知a，b，c是△ABC三边之长，若满足等式（a+b﹣c）（ a+b+c）=ab，则∠C的大小为（　　）

A、60° B、90° C、120° D、150°

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10. 在△ABC中，如果lga﹣lgc=lgsinB=﹣lg $\sqrt{2}$ ，并且B为锐角，则△ABC的形状是（　　）

A、等边三角形 B、直角三角形 C、等腰三角形 D、等腰直角三角形

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11. △ABC中，AB= $\sqrt{3}$ ， AC=1，∠B=30°，则△ABC的面积等于（　　）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 或 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ 或 $\frac{\sqrt{3}}{4}$

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12. 已知a，b，c为△ABC的三个内角A，B，C的对边，向量 $\vec{m}$ =（ $\sqrt{3}$ ， ﹣1）， $\vec{n}$ =（cosA，sinA）．若 $\vec{m}$ ⊥ $\vec{n}$ ，且αcosB+bcosA=csinC，则角A，B的大小分别为（　　）

A、 $\frac{π}{6}$ , $\frac{π}{3}$ B、 $\frac{2 π}{3}$ , $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{3}$ , $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{π}{3}$ , $\frac{π}{3}$

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二、填空题

13. 已知点A（2，3），C（0，1），且 $\vec{A B}$ =-2 $\vec{B C}$ ，则点B的坐标为

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14. $\vec{a}$ =（2，3）， $\vec{b}$ =（﹣3，5），则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影为

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15. 定义：| $\vec{a}$ × $\vec{b}$ |=| $\vec{a}$ |•| $\vec{b}$ |•sin θ，其中θ为向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角，若| $\vec{a}$ |=2，| $\vec{b}$ |=5， $\vec{a}$ • $\vec{b}$ =﹣6，则| $\vec{a}$ × $\vec{b}$ |等于

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16. 在△ABC中，D为BC边上一点，BC=3BD，AD= $\sqrt{2}$ ， ∠ADB=135°．若AC= $\sqrt{2}$ AB，则BD=

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三、解答题

17. 设 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是两个不共线的向量， $\vec{A B}$ =2 $\vec{e_{1}}$ +k $\vec{e_{2}}$ ， $\vec{C B}$ = $\vec{e_{1}}$ +3 $\vec{e_{2}}$ ， $\vec{C D}$ =2 $\vec{e_{1}}$ - $\vec{e_{2}}$ ，若A、B、D三点共线，求k的值．

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18. 设 $\vec{a}$ =（1+cos x，1+sin x）， $\vec{b}$ =（1，0）， $\vec{c}$ =（1，2）．
（1）求证：（ $\vec{a}$ ﹣ $\vec{b}$ ）⊥（ $\vec{a}$ ﹣ $\vec{c}$ ）；
（2）求| $\vec{a}$ |的最大值，并求此时x的值．

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19. 已知A（3，0），B（0，3）C（cosα，sinα），O为原点．
（1）若 $\vec{O C}$ ∥ $\vec{A B}$ ，求tanα的值；
（2）若 $\vec{A C}$ $⊥$ $\vec{B C}$ ，求sin2α的值．

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20. 在△ABC中，设角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量 $\vec{m}$ =（cosA，sinA）， $\vec{n}$ =（ $\sqrt{2}$ ﹣sinA，cosA），若 $\vec{m}$ • $\vec{n}$ =1．
（1）求角A的大小；
（2）若b=4 $\sqrt{2}$ ，且c= $\sqrt{2}$ a，求△ABC的面积．

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21.
如图，在平面四边形ABCD中，△BCD是正三角形，AB=AD=1，∠BAD=θ．
（Ⅰ）将四边形ABCD的面积S表示成关于θ的函数；
（Ⅱ）求S的最大值及此时θ的值．

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22.
如图，A，B是海面上位于东西方向相距5（3+ $\sqrt{3}$ ）海里的两个观测点，现位于A点北偏东45°，B点北偏西60°的D点有一艘轮船发出求救信号，位于B点南偏西60°且与B点相距20 $\sqrt{3}$ 海里的C点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达D点需要多长时间？

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