初中数学苏科版八年级下册10.2 分式的基本性质同步训练

试卷更新日期：2021-04-02 类型：同步测试

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一、单选题

1. 下列分式中，最简分式是（）

A、 $\frac{x + 1}{x^{2} - 1}$ B、 $\frac{x^{2} - 1}{x^{2} + 1}$ C、 $\frac{x^{2} - 2 x y + y^{2}}{x^{2} - x y}$ D、 $\frac{x^{2} - 16}{2 x + 8}$

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2. 下列分式中，不是最简分式的是（）

A、 $\frac{x^{2}}{y^{2}}$ B、 $\frac{2 x + y}{2 x y + y^{2}}$ C、 $\frac{a + 2}{a + 1}$ D、 $\frac{x^{2} + y^{2}}{x^{2} - y^{2}}$

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3. 分式 $\frac{1}{3 - x}$ 可变形为（）

A、 $\frac{1}{x - 3}$ B、 $- \frac{1}{x - 3}$ C、 $- \frac{1}{x + 3}$ D、 $\frac{- 1}{x + 3}$

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4. 下列化简正确的是（）

A、 $\frac{m - n}{- m - n} = \frac{n - m}{m + n}$ B、 $\frac{a^{2} + b^{2}}{b^{2} + a b} = \frac{a}{b}$ C、 $\frac{- 14 m n^{2} k}{4 m^{2} n} = - \frac{7 k}{2}$ D、 $\frac{1 - x^{2}}{x^{2} - 2 x + 1} = \frac{x + 1}{x - 1}$

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5. 下列运算中正确的是（）

A、 $\frac{x^{6}}{x^{3}} = x^{2}$ B、 $\frac{- x + y}{x + y} = - 1$ C、 $\frac{a^{2} + 2 a b + b^{2}}{a^{2} - b^{2}} = \frac{a + b}{a - b}$ D、 $\frac{x + 1}{y + 1} = \frac{x}{y}$

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6. 给出下列4个关于分式的变形,其中正确的个数为（）
① $\frac{- 2 a}{- 3 b} = \frac{2 a}{3 b}$ ，② $\frac{- x}{y} = - \frac{x}{y}$ ，③ $\frac{n + 2}{m + 2} = \frac{n}{m}$ ，④ $\frac{x - y}{- x + y} = - 1$ .

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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7. 如果把分式 $\frac{x}{x + y}$ 中的 $x$ 和 $y$ 的值都扩大为原来的3倍，则分式的值（）.

A、扩大为原来的3倍 B、不变 C、缩小为原来的 $\frac{1}{3}$ D、缩小为原来的一半

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8. 已知b≠0，n≠0，下列各式中，不一定成立的是（）

A、 $\frac{a}{b}$ = $\frac{a^{2}}{b^{2}}$ B、 $\frac{a}{b}$ = $\frac{a \times n}{b \times n}$ C、 $\frac{a}{b} = \frac{a \div n}{b \div n}$ D、 $\frac{a}{b} = \frac{a + a n}{b + b n} (n \neq - 1)$

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9. 在等式 $\frac{a^{2} + 2 a + 1}{a^{2} + a} = \frac{a + 1}{M}$ 中，M为（）

A、 $a$ B、 $a + 1$ C、 $- a$ D、 $a^{2} - 1$

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10. 下列各式从左到右的变形，一定正确的是（）

A、 $\frac{- b + c}{a}$ ＝﹣ $\frac{b + c}{a}$ B、 $\frac{a - 0.3 b}{a + 0.2 b}$ ＝ $\frac{a - 3 b}{a + 2 b}$ C、 $\frac{b}{a}$ ＝ $\frac{b + 1}{a + 1}$ D、 $\frac{a^{2} - 9}{{(a + 3)}^{2}}$ ＝ $\frac{a - 3}{a + 3}$

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二、填空题

11. 化简： $\frac{5 x y}{20 x y^{2}} =$ ．

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12. 化简： $\frac{a^{2} + 2 a b + b^{2}}{a^{2} - b^{2}} =$ .

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13. 把一个分式的分子和分母的约去,这种变形称为分式的约分.其依据是;其目的是将分式转化成分子和分母没有,即将分式转化为最简分式.

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14. 给出下列3个分式：① $\frac{b}{2 a}$ ，② $\frac{a + b}{a^{2} + b^{2}}$ ，③ $\frac{m + 2 n}{m^{2} - 4 n^{2}}$ .其中的最简分式有（填写出所有符合要求的分式的序号）.

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15. ① $\frac{3 a}{5 x y} = \frac{()}{10 a x y} ， (a \neq 0)$ ② $\frac{a + 2}{a^{2} - 4} = \frac{1}{（）}$ .

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16. 不改变分式的值，使分子、分母各项的系数都化为整数，则 $\frac{0.5 x + 0.7 y}{2 x - 0.6 y} =$ .

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17. 不改变分式的值，使分子、分母的第一项系数都是正数，则 $\frac{- 2 x + y}{- x - 3 y}$ ＝．

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18. 不改变分式的值，将分式 $\frac{x + \frac{1}{3} y}{\frac{2}{5} x - \frac{1}{2} y}$ 的分子、分母的各项系数都化为整数．

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三、解答题

19. 不改变分式的值，使分式 $\frac{x - y^{2}}{x^{3} + y^{2}}$ 的分子与分母的最高次项的系数是正数．

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20. 不改变分式的值，使分式 $\frac{x - \frac{1}{5} y^{2}}{\frac{1}{2} x + y^{2}}$ 的分子与分母的最高次项的系数是整数

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21. 问题：当a为何值时，分式 $\frac{a^{2} + 6 a + 9}{a^{2} - 9}$ 无意义？
小明是这样解答的：解：因为 $\frac{a^{2} + 6 a + 9}{a^{2} - 9} = \frac{{(a + 3)}^{2}}{(a - 3) (a + 3)} = \frac{a + 3}{a - 3}$ ，由a﹣3=0，得a=3，所以当a=3时，分式无意义．
你认为小明的解答正确吗？如不正确，请说明错误的原因．

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22. 综合题

(1)、不改变分式的值，使分式 $\frac{x - \frac{1}{3} y^{2}}{\frac{1}{2} x + y^{2}}$ 的分子与分母的各项的系数是整数.

(2)、不改变分式的值，使分式 $\frac{x - y^{2}}{x^{2} + y^{2}}$ 的分子与分母的最高次项的系数是正数.

(3)、当x满足什么条件时，分式 $\frac{2 - 3 x}{4 x^{2} + 1}$ 的值，①等于0?②小于0?

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23. 如果一个分式的分子或分母可以因式分解，且这个分式不可约分，那么我们称这个分式为“和谐分式”．

(1)、下列分式： $① \frac{x - 1}{x^{2} + 1}$ ； $② \frac{a - 2 b}{a^{2} - b^{2}}$ ； $③ \frac{x + y}{x^{2} - y^{2}}$ ； $④ \frac{a^{2} - b^{2}}{{(a + b)}^{2}} .$ 其中是“和谐分式”是 $($ 填写序号即可 $)$ ；

(2)、若a为正整数，且 $\frac{x - 1}{x^{2} + a x + 4}$ 为“和谐分式”，请写出所有满足条件的a值；

(3)、在化简 $\frac{4 a^{2}}{a b^{2} - b^{3}} - \frac{a}{b} \div \frac{b}{4}$ 时，
小东和小强分别进行了如下三步变形：

小东： $原式 = \frac{4 a^{2}}{a b^{2} - b^{3}} - \frac{a}{b} \times \frac{4}{b} = \frac{4 a^{2}}{a b^{2} - b^{3}} - \frac{4 a}{b^{2}} = \frac{4 a^{2} b^{2} - 4 a (a b^{2} - b^{3})}{({ab}^{2} - b^{3}) b^{2}}$

小强： $原式 = \frac{4 a^{2}}{a b^{2} - b^{3}} - \frac{a}{b} \times \frac{4}{b} = \frac{4 a^{2}}{b^{2} (a - b)} - \frac{4 a}{b^{2}} = \frac{4 a^{2} - 4 a (a - b)}{(a - b) b^{2}}$

显然，小强利用了其中的和谐分式，第三步所得结果比小东的结果简单，原因是：，请你接着小强的方法完成化简．

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24. 我们知道，假分数可以化为整数与真分数的和的形式，例如： $\frac{3}{2} = 1 + \frac{1}{2}$ ，在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．
例如： $\frac{x + 1}{x - 2}$ ， $\frac{x^{2}}{x + 2} \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot$ 像这样的分式是假分式；像 $\frac{1}{x - 2}$ ， $\frac{x}{x^{2} - 1} \cdot \cdot \cdot \cdot \cdot$ 这样的分式是真分式，类似的，假分式也可以化为整式与真分式的和的形式．例如： $\frac{x + 1}{x - 2} = \frac{(x - 2) + 3}{x - 2} = 1 + \frac{3}{x - 2}$ ； $\frac{x^{2}}{x + 2} = \frac{(x + 2) (x - 2) + 4}{x + 2} = x - 2 + \frac{4}{x + 2}$ ，解决下列问题：

(1)、将分式 $\frac{x - 2}{x + 3}$ 化为整式与真分式的和的形式为：（直接写出结果即可）

(2)、如果分式 $\frac{x^{2} + 2 x}{x + 3}$ 的值为整数，求 $x$ 的整数值

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二、填空题

三、解答题

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