上海市宝山区通河中学2019-2020学年高二下学期数学期中考试试卷

试卷更新日期：2021-04-01 类型：期中考试

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一、填空题

1. 已知虚数z满足 $2 z - \bar{z} = 1 + 6 i$ ，则|z|= ．

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2. 直线 $l_{1} ： (a + 3) x + y - 3 = 0$ 与直线 $l_{2} ： 5 x + (a - 3) y + 4 = 0$ ，若的方向向量是的法向量，则实数．

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3. 方程 $k x^{2} + 4 y^{2} = 4 k$ 表示焦点在 $x$ 轴上的椭圆，则实数 $k$ 的取值范围是．

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4. 已知直线 $l$ ： $y = a x + 2$ 和 $A (1 ， 4)$ 、 $B (3 ， 1)$ 两点，若直线 $l$ 与线段 $A B$ 相交，则实数 $a$ 的取值范围为.

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5. 过点 $A (- 2 ， \sqrt{3})$ 且与直线 $x - \sqrt{3} y + 5 = 0$ 成 $60 °$ 的直线方程的一般式是.

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6. 圆x²＋y²－2x－1＝0关于直线2x－y＋3＝0对称的圆的方程为．

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7. 设数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ，若 $a_{1} = - 1$ ， $S_{n} - \frac{1}{2} a_{n + 1} = 0 (n \in N^{*})$ ，则 ${a_{n}}$ 的通项公式为．

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8. 若直线 $l$ 过点 $P (1 ， 2)$ 且与点 $A (- 1 ， 2) ， B (3 ， 0)$ 两点距离相等，则直线l方程为．

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9. 若抛物线 $y^{2} = \frac{4 x}{\sqrt{m}} (m > 0)$ 的焦点在圆 $x^{2} + y^{2} = 1$ 外，则实数m的取值范围是．

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10. 设无穷等比数列 ${a_{n}}$ 的公比为q．若 $\lim_{n \to + \infty} (a_{2} + a_{4} + \dots + a_{2 n}) = a_{1}$ ，则 $q =$ ．

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11. 若 $z \in C$ 且 $| z + 3 + 4 i | \leq 2$ ，则 $| z |$ 的取值范围为．

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12. 已知平面向量 $\vec{O A}$ 、 $\vec{O B}$ 、 $\vec{O C}$ 满足 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = 0$ ，且 $| \vec{O A} | = | \vec{O C} | = 1$ ， $| \vec{O B} | = \sqrt{3}$ ，则 $\vec{C A} \cdot \vec{C B}$ 的最大值是.

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二、单选题

13. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{9} = 1$ 上的点M到该椭圆一个焦点F的距离为2，N是MF的中点，O为坐标原点，那么线段ON的长是（）

A、2 B、4 C、8 D、 $\frac{3}{2}$

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14. 设双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ (a>0，b>0)的虚轴长为2，焦距为2 $\sqrt{3}$ ，则双曲线的渐近线方程为（）

A、y＝± $\sqrt{2}$ x B、y＝±2x C、y＝± $\frac{\sqrt{2}}{2}$ x D、y＝± $\frac{1}{2}$ x

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15. 在 $Δ A B C$ 中，若M是线段BC的中点，点P在线段AM上，满足： $| A M | = 1 ， \overset{⇀}{P A} = - 2 \overset{⇀}{P M}$ ，则 $\overset{⇀}{P A} \cdot (\overset{⇀}{P B} + \overset{⇀}{P C})$ 等于（）.

A、 $\frac{4}{9}$ B、 $\frac{4}{3}$ C、 $- \frac{4}{3}$ D、 $- \frac{4}{9}$

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16. 点P是 $△ A B C$ 内一点且满足 $4 \vec{P A} + 3 \vec{P B} + 2 \vec{P C} = \vec{0}$ ，则 $△ P B C ， △ P A C ， △ P A B$ 的面积比为（）

A、 $4 ： 3 ： 2$ B、 $2 ： 3 ： 4$ C、 $1 ： 1 ： 1$ D、 $3 ： 4 ： 6$

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三、解答题

17. 已知 $| \vec{a} | = 1 ， \vec{a} \cdot \vec{b} = \frac{1}{2} ， (\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{a} - \vec{b}) = \frac{1}{2}$ ，求：

(1)、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角

(2)、 $\vec{a} + \vec{b}$ 与 $\vec{a} - \vec{b}$ 的夹角的余弦值．

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18.

(1)、求以 $(1 ， 2)$ 为圆心，且与直线 $4 x + 3 y - 35 = 0$ 相切的圆的方程．

(2)、经过直线 $2 x - y + 3 = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 4 y + 1 = 0$ 的两个交点，且面积最小的圆的方程．

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19. 已知直线 $y = k x + 1$ 与双曲线 $3 x^{2} - y^{2} = 1$ 有A､B两个不同的交点．

(1)、如果以 $A B$ 为直径的圆恰好过原点O，试求k的值.

(2)、是否存在k，使得两个不同的交点A､B关于直线 $y = 2 x$ 对称?试述理由．

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20. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点P到两点 $(0 ， - \sqrt{3})$ ， $(0 ， \sqrt{3})$ 的距离之和等于4，设点P的轨迹为 $C$ ．
（Ⅰ）写出C的方程；

（Ⅱ）设直线 $y = k x + 1$ 与C交于A，B两点．k为何值时 $\vec{O A}$ $⊥$ $\vec{O B}$ ？此时 $| \vec{A B} |$ 的值是多少？

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21. 如图，在y轴的正半轴上依次有点 $A_{1} ， A_{2} ， \dots A_{n} ， \dots$ ，其中点 $A_{1} (0 ， 1)$ ､ $A_{2} (0 ， 10)$ 且 $| A_{n}_{- 1} A_{n} | = 3 | A_{n} A_{n}_{+ 1} | (n = 2 ， 3 ， 4 ， \dots)$ ，在射线 $y = x (x \geq 0)$ 上一次有点 $B_{1} ， B_{2} ， \dots B_{n} ， \dots$ ，点 $B_{1} (3 ， 3)$ ，且 $| O B_{n} | = | O B_{n - 1} | + 2 \sqrt{2} (n = 2 ， 3 ， 4 ， \dots)$ ．

(1)、求点 $A_{n}$ ､ $B_{n}$ 的坐标（用含n的式子表示）．

(2)、设四边形 $A_{n} B_{n} B_{n}_{+ 1} A_{n}_{+ 1}$ 的面积为 $S_{n}$ ，解答下列问题：
①求数列 ${S_{n}}$ 的通项公式

②问 ${S_{n}}$ 中是否存在连续的三项 $S_{n} ， S_{n}_{+ 1} ， S_{n}_{+ 2} (n \in N *)$ 恰好成等差数列?若存在，求出所有这样的三项；若不存在，请说明理由．

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