山西省2019-2020学年高二下学期理数期中联考试卷

试卷更新日期：2021-04-01 类型：期中考试

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一、单选题

1. 设集合 $A = {x | y = \sqrt{x^{2} - 9}}$ ， $B = {x | x^{2} - 3 x - 10 < 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[3 ， 5)$ B、 $(- 5 ， 3]$ C、 $(3 ， 5]$ D、 $(- 5 ， - 3)$

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2. 已知复数 $z$ 满足 $(2 - 3 i) z = - 3 + 11 i$ ，则 $z$ 在复平面内对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 已知实数 $a$ ， $b$ ， $c$ 满足 $a + b + c < 0$ ，则 $a$ ， $b$ ， $c$ 三个数一定（）

A、都小于0 B、都不大于0 C、至少有1个小于0 D、至多有1个小于0

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4. 二项式 ${(\sqrt[3]{x} - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式中第13项是常数项，则 $n =$ （）

A、18 B、21 C、20 D、30

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5. 运行如图所示的程序框图，若输出 $S$ 的值为129，则判断框内可填入的条件是（）

A、 $k < 4 ?$ B、 $k < 5 ?$ C、 $k < 6 ?$ D、 $k < 7 ?$

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6. 若球 $O$ 是圆锥 $M$ 的内切球，且圆锥 $M$ 的轴截面是一个边长为2的正三角形，则球 $O$ 的体积为（）

A、 $\frac{4}{3} π$ B、 $\frac{4 \sqrt{3}}{27} π$ C、 $\frac{4 \sqrt{3}}{9} π$ D、 $\frac{4}{9} π$

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7. 函数 $f (x) = 4 \cos^{2} (ω x - φ) - 2 ω (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的最小正周期为 $π$ ，则“ $φ = \frac{π}{4}$ ”是“ $f (x)$ 为奇函数”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8. 《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事：“田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.”若双方各自拥有上、中、下等马各1匹，从中随机选1匹进行1场比赛，则齐王的马获胜的概率为（）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{5}{6}$

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9. 人的正常体温在 $36.3 ° C$ 至 $37.2 ° C$ 之间，下图是一位病人在治疗期间的体温变化图.

现有下述四个结论：

①此病人已明显好转；②治疗期间的体温极差小于 $3 ° C$ ；③从每8小时的变化来看，25日0时~8时体温最稳定；④从3月22日8时开始，每8小时量一次体温，若体温不低于 $38.5 ° C$ 就服用退烧药，根据图中信息可知该病人服用了3次退烧药.

其中所有正确结论的编号是（）

A、③④ B、②③ C、①②④ D、①②③

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10. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{3} = 3$ ， $S_{9} = 39$ ，则 $S_{6} =$ （）

A、24或-16 B、18或-3 C、12或-9 D、36或-12

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11. 已知双曲线 $C$ ： $\frac{y^{2}}{a^{2}} - \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，过其焦点 $F$ 的直线与该双曲线的两条渐近线的交点分别为 $A$ ， $B$ ，以 $O B$ 为直径的圆过 $A$ 点，且 $△ O A B$ 的内切圆半径为 $\frac{2 b}{3}$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{7}}{2}$

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12. 已知 $f' (x)$ 是函数 $f (x)$ 的导函数，对任意的实数 $x$ 都有 $f' (x) + f (x) = - \frac{2}{e^{x}}$ ，且 $f (\frac{3}{2}) = 0$ ，若函数 $y = f (x) - a$ 有两个零点，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $(- 2 e^{- \frac{2}{5}} ， + \infty)$ B、 $(- 2 e^{\frac{2}{5}} ， 0)$ C、 $(- 2 e^{- \frac{5}{2}} ， + \infty)$ D、 $(- 2 e^{- \frac{5}{2}} ， 0)$

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二、填空题

13. 若复数 $\frac{3 - a i}{1 - 2 i} (a \in R)$ 是纯虚数，则 $| 2 a + i | =$ .

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14. 已知数列 ${a_{n}}$ 为等差数列， $a_{7} - a_{5} = 6$ ， $a_{11} = 24$ ，若 $S_{m} = 75$ ，则 $m =$ .

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15. 设 $A (x_{1} ， y_{1})$ 、 $B (x_{2} ， y_{2})$ 是抛物线 $C ： x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 上不同的两点，线段 $A B$ 的垂直平分线为 $y = x + b$ ，若 $x_{1} + x_{2} = - \frac{1}{2}$ ，则 $p =$ .

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16. 某市抽调两个县各四名医生组成两个医疗队分别去两个乡镇开展医疗工作，每队不超过五个人，同一个县的医生不能全在同一个队，且同县的张医生和李医生必须在同一个队，则不同的安排方案有种.

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中， $a$ ， $b$ ， $c$ 分别是角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边，已知 $\vec{m} = (3 a - c ， b)$ ， $\vec{n} = (\cos B ， - \cos C)$ ，且 $\vec{m} ⊥ \vec{n}$ .

(1)、求 $\sin B$ 的值；

(2)、若 $b = 2$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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18. 已知函数 $f (x) = x^{3} + b x^{2} + c x - 1$ 的图象在 $(1 ， f (1))$ 处的切线经过点 $(2 ， 4)$ ，且 $f (x)$ 的一个极值点为-1.

(1)、求 $f (x)$ 的极值；

(2)、已知方程 $f (x) - m = 0$ 在 $[- 2 ， 2]$ 上恰有一个实数根，求 $m$ 的取值范围.

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19. 如图，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 为菱形， $∠ A D C = 120 °$ ， $M$ 是 $A D$ 的中点.

(1)、证明： $B M ⊥$ 平面 $A D D_{1} A_{1}$ ；

(2)、若 $A B = 2$ ， $A A_{1} = 3$ ，求二面角 $C_{1} - B M - A_{1}$ 的正弦值.

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20. 已知 $x > 0$ ， $y > 0$ ，且 $\ln (x + y) - \ln 2 x - \ln y = 0$ .

(1)、证明： $12 x + 3 y \geq \frac{27}{2}$ .

(2)、证明： $\frac{(x^{2} + 1) (y^{2} + 1)}{x + y} \geq 2$ .

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21. 设点 $M$ 和 $N$ 分别是椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + y^{2} = 1 (a > 0)$ 上不同的两点，线段 $M N$ 最长为4.

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若直线 $M N$ 过点 $Q (0 ， 2)$ ，且 $\vec{O M} \cdot \vec{O N} > 0$ ，线段 $M N$ 的中点为 $P$ ，求直线 $O P$ 的斜率的取值范围.

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22. 已知函数 $f (x) = x^{2} + m \ln x (m \in R)$ .

(1)、当 $m = - 1$ 时，求 $f (x)$ 的最值；

(2)、当 $m = 2$ 时，记函数 $g (x) = f (x) - a x (a \geq 5)$ 的两个极值点为 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，且 $x_{1} < x_{2}$ ，求 $g (x_{2}) - g (x_{1})$ 的最大值.

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