高中数学人教A版（2019）必修二第六章 6.4 平面向量的应用（正弦、余弦定理的应用）

试卷更新日期：2021-04-01 类型：同步测试

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一、单选题

1. 2020年5月，《东莞市生活垃圾分类三年行动方案》出台.根据该方案，小明家所在小区设置了两个垃圾回收点A，B，他从自家楼下出发，向正北方向走80米，到达回收点A，再向南偏东60°方向走30米，到达回收点B，则他从回收点B回到自家楼下至少还需走（）

A、50米 B、57米 C、64米 D、70米

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2. 某公园有一个边长为 $2 m$ 的等边三角形花圃，现要在花圃中修一条篱笆，将花圃分成面积相等的两部分，则篱笆的最短长度为（）

A、 $\sqrt{3} m$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2} m$ C、 $1 m$ D、 $\sqrt{2} m$

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3. 一辆汽车在一水平的公路上由北向南行驶，在公路右侧有一高山．汽车行驶到A处测得高山在南偏西15°方向上，山顶处的仰角为60°，继续向南行驶 $300m$ 到B处测得高山在南偏西75°方向上，则山高为（）

A、 $150 (\sqrt{3} + \sqrt{2}) m$ B、 $100 (\sqrt{3} + \sqrt{2}) m$ C、 $150 (\sqrt{6} + \sqrt{2}) m$ D、 $100 (\sqrt{6} + \sqrt{2}) m$

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4. 如图所示， $A ， B$ 两地之间有一座山，汽车原来从 $A$ 地到 $B$ 地需经 $C$ 地沿折线 $A - C - B$ 行驶，现开通隧道后，汽车可直接沿直线 $A B$ 行驶，已知 $A C = 10 km$ ， $A = 30^{°}$ ， $B = 45^{°}$ ，则隧道开通后，汽车从 $A$ 地到 $B$ 地比原来少走（结果精确到 $0.1 km$ ；参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

A、 $3.4 km$ B、 $2.3 km$ C、 $5 km$ D、 $3.2 km$

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5. 如图所示，为了测量某一隧道两侧A、B两地间的距离，某同学首先选定了不在直线AB上的一点C（ $△ A B C$ 中∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c），然后确定测量方案并测出相关数据，进行计算．现给出如下四种测量方案；①测量∠A，∠C，b；②测量∠A，∠B，∠C；③测量a，b，∠C；④测量∠A，∠B，a，则一定能确定A、B间距离的所有方案的序号为（）

A、①③ B、①③④ C、②③④ D、①②④

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6. 某观察站 $C$ 与两灯塔 $A$ ， $B$ 的距离分别为3km和5km，测得灯塔 $A$ 在观察站 $C$ 北偏西50°，灯塔 $B$ 在观察站 $C$ 北偏东70°，则两灯塔 $A$ ， $B$ 间的距离为（）

A、7 B、8 C、 $\sqrt{34} - 15 \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{34} + 15 \sqrt{3}$

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7. 为了测量西藏被誉称为“阿里之巅”冈仁波齐山峰的高度，通常采用人工攀登的方式进行，测量人员从山脚开始，直到到达山顶分段测量，最后将所有的高度差累加，得到珠峰的高度，在测量过程中，已知竖立在 $B$ 点处的测量觇标高10米，攀登者们在 $A$ 处测得到觇标底点 $B$ 和顶点 $C$ 的仰角分别为 $70 °$ ， $80 °$ ，则 $A$ 、 $B$ 的高度差约为（）
(参考数据： $\sin 10 ° \approx 0.1736$ ， $\sin 70 ° \approx 0.9397$ ， $\sin 80 ° \approx 0.9848$ )

A、10米 B、9.66米 C、9.40米 D、8.66米

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8. 如图，在铁路建设中，需要确定隧道两端的距离（单位：百米）.已测得隧道两端点A，B到某一点C的距离分别为5和8， $∠ A C B = 60 °$ ，则A，B之间的距离为（）

A、7 B、 $10 \sqrt{129}$ C、6 D、8

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9. 某海域 $A$ 处的甲船获悉，在其正东方向相距 $50 \sqrt{3} n mile$ 的 $B$ 处有一艘渔船遇险后抛锚等待营救.甲船立即前往救援，同时把信息通知在 $A$ 南偏东30°，且与 $A$ 处相距 $25 \sqrt{3} n mile$ 的 $C$ 处的乙船.那么乙船前往营救遇险渔船时的目标方向线（由观测点看目标的视线）的方向是北偏东多少度？（）

A、30° B、45° C、90° D、60°

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二、填空题

10. 如图，测量河对岸的塔高 $A B$ 时，可以选与塔底B在同一水平面内的两个观测点 $C ， D$ ，测得 $∠ B C D = 15^{°}$ ， $∠ C B D = 30^{°}$ ， $C D = 15 \sqrt{2} m$ ，并在C处测得塔顶A的仰角为 $45^{°}$ ，则塔高 $A B =$ $m$ ．

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11. 为了响应曲沃中学第三届文化艺术节，了解更多曲沃文化，在申园太子湖西岸测量位于湖中的萱楼的高度 $A B$ ，可以选与萱楼底在同一水平面内的两个点C与D．如图所示，现测得 $∠ B C D = α ， ∠ B D C = β ， C D = m$ 并在点C测得楼顶的仰角为 $θ$ ，则萱楼的高度 $A B =$ 米．

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12. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ．若 $b (\sin A - \sin B) = a \sin A - c \sin C$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{12} c^{2}$ ，则 $\frac{b}{a} + \frac{a}{b}$ 的值为．

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13. $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，已知 A=60°，b=2， $S_{△ A B C} = 2 \sqrt{3}$ ，则 $\frac{a + b + c}{\sin A + \sin B + \sin C} =$ .

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14. 在 $Δ A B C$ 中，已知 $\sin A : \sin B : \sin C = 5 : 7 : 8$ ，则角B= ．

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三、解答题

15. $△ A B C$ 中内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ， $a \cos (B - C) + a \cos A = 2 \sqrt{3} b \sin C \cos A$ .

(1)、求角 $A$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的周长为 $4 \sqrt{3} + 3$ ，外接圆半径为 $\sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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16. 如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径．一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C．现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min．在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从B匀速步行到C．假设缆车匀速直线运行的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量， $\cos A = \frac{12}{13} ， \cos C = \frac{3}{5}$ ．

(1)、求索道AB的长；

(2)、问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？

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17. 如图所示，基站 $A$ 处获悉：在其正东方向的 $B$ 处有一艘渔船遇险等待救援，基站 $A$ 处的相关人员把消息告知在 $A$ 处的南偏西 $30 °$ 的 $C$ 处的乙船，请乙船前往救援.

(1)、若 $A 、 C$ 两地相距10海里，乙船朝北偏东 $75 °$ 的方向沿直线前往 $B$ 处救援，问 $A 、 B$ 两地相距多少海里？

(2)、若乙船在海上从 $C$ 航行到某一点 $D$ ，请借助两个观察点 $C 、 D$ ，画出草图，为乙船上的技术人员设计一种能测量 $A 、 B$ 两地距离的方法.

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18. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $c \sin 2 B = \sqrt{3} b \sin C$ .

(1)、若 $\cos 2 A + 3 \cos A - 2 \sin B = 0$ ，求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $a = 2 \sqrt{3}$ ， $b = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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19. 小明在东方明珠广播电视塔底端的正东方向上的 $C$ 处，沿着与电视塔( $A B$ )垂直的水平马路 $C D$ 驾驶机动车行驶，以南偏西60°的方向每小时60千米的速度开了15分钟以后，在点 $D$ 处望见电视塔的底端 $B$ 在东北方向上，设沿途 $E$ 处观察电视塔的仰角 $∠ A E B = α$ ， $α$ 的最大值为60°.

(1)、小明开车从 $C$ 处出发到 $D$ 处，几小时后其所在位置观察电视塔的仰角达到最大值60°，约为多少分钟？(分钟保留两位小数)

(2)、求东方明珠塔 $A B$ 的高度约为多少米.(保留两位小数)

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一、单选题

二、填空题

三、解答题

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