云南省昆明市官渡区2020-2021学年九年级上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2021-04-01 类型：期末考试

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一、填空题

1. 若方程 $a x^{2} + 2 x - 1 = 0$ 是关于 $x$ 的一元二次方程，则 $a$ 的取值范围是．

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2. 若点 $(- 1, m)$ 在二次函数 $y = x^{2} + 3$ 的图象上，则 $m =$ ．

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3. 为了解今年从西伯利亚飞到昆明过冬的红嘴鸥的数量，某研究团队给200只红嘴鸥做上标记，经过一段时间，当带有标记的红嘴鸥和其它不带标记的红嘴鸥完全混合后，再次观察发现416只红嘴鸥中有2只带有标记，那么由此可以估计今年飞到昆明过冬的红嘴鸥大约有只．

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4. 如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形，若圆锥的底面圆的半径r=3cm，扇形的圆心角θ=120°，则该圆锥的母线长 $l$ 为cm．

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5. 如图，在平面直角坐标系中，正六边形 $O A B C D E$ 的边长是2，则它的外接圆圆心 $P$ 的坐标是．

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6. 如图， $P A$ ， $P B$ 分别与 $⊙ O$ 相切于点 $A$ ，点 $B$ ， $∠ P = 58 °$ ， $C$ 是 $⊙ O$ 上异于 $A$ ， $B$ 的点，则 $∠ A C B$ 的度数为．

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二、单选题

7. 下面的图形是用数学家名字命名的，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A、赵爽弦图 B、笛卡尔心形线 C、科克曲线 D、斐波那契螺旋线

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8. 关于 $x$ 的方程 $x^{2} - m x - 3 = 0$ 的一个根是 $x_{1} = 3$ ，则它的另一个根 $x_{2}$ 是（）

A、0 B、1 C、-1 D、2

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9. 下列说法错误的是（）

A、“三角形任意两边之和小于第三边”是不可能事件 B、“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件 C、某种彩票的中奖率是 $\frac{1}{100}$ ，说明每买100张彩票，一定有1张中奖 D、“在同一年出生的367人中，至少有两人的生日相同”是必然事件

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10. 下列一元二次方程没有实数根的是（）

A、 $x^{2} - 1 = 0$ B、 $x (x + 5) = 0$ C、 $x^{2} - 3 x + 2 = 0$ D、 $x^{2} - 2 x + 3 = 0$

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11. 抛物线 $y = - 3 x^{2}$ 经过平移得到抛物线 $y = - 3 {(x + 1)}^{2} - 2$ ，平移的方法是（）

A、向左平移1个单位，再向下平移2个单位 B、向右平移1个单位，再向下平移2个单位 C、向左平移1个单位，再向上平移2个单位 D、向右平移1个单位，再向上平移2个单位

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12. 《生物多祥性公约》第十五次缔约方大会（COP15）将于2021年5月17日至30日在云南省昆明市举办、昆明某景观园林公司为迎接大会召开，计划在一个长为 $32 m$ ，塞为 $20m$ 的矩形场地 $A B C D$ （如图所示）上修建三条同样宽的道路，使其中两条与 $A B$ 平行、另一条与 $A D$ 平行，其余部分种草坪，若使每一块草坪的面积为 $95 m^{2}$ ，求道路的宽度、若设道路的宽度为 $x m$ ，则 $x$ 满足的方程为（）

A、 $(32 - x) (20 - x) = 95$ B、 $(32 - 2 x) (20 - x) = 95$ C、 $(32 - x) (20 - x) = 95 \times 6$ D、 $(32 - 2 x) (20 - x) = 95 \times 6$

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13. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c (a \neq 0)$ 的图象如图所示，对称轴是直线 $x = 1$ ，下列结论：① $a b c > 0$ ；② $2 a + b > 0$ ；③ $b^{2} - 4 a c > 0$ ；④ $a - b + c < 0$ ，其中正确的个数是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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14. 如图，抛物线 $y = \frac{1}{4} x^{2} - 4$ 与 $x$ 轴交于 $A$ ， $B$ 两点， $P$ 是以点 $C (0 ， 3)$ 为圆心， $\sqrt{3}$ 为半径的圆上的动点， $Q$ 是线段 $P A$ 的中点，连结 $O Q$ 、则线段 $O Q$ 的最大值是（）

A、 $\frac{5 - \sqrt{3}}{2}$ B、3 C、 $\frac{5 + \sqrt{3}}{2}$ D、 $\frac{5 + 2 \sqrt{3}}{2}$

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三、解答题

15. 用适当的方法解方程

(1)、 $x^{2} - 2 x = 1$

(2)、 ${(2 x + 1)}^{2} = 3 (2 x + 1)$

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16. 如图， $△ A B C$ 三个顶点坐标分别为 $A (3 ， 4)$ ， $B (1 ， 2)$ ， $C (4 ， 1)$ ．

(1)、请画出 $△ A B C$ 关于原点 $O$ 中心对称的图形 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ ，并直接写出点 $A_{1}$ 的坐标：

(2)、请画出 $△ A B C$ 绕原点 $O$ 逆时针旋转90°的图形 $△ A_{2} B_{2} C_{2}$ ，并直接写出点 $A_{2}$ 的坐标：

(3)、求在（2）的旋转过程中，点 $A$ 旋转到 $A_{2}$ 所经过的路径长（结果保留 $π$ ）

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17. 2020年3月，新冠肺炎疫情在中国已经得到有效控制，但在全球却开始持续蔓延，这是对人类的考验，将对全球造成巨大影响．新冠肺炎具有人传人的特性，若一人携带病毒，未进行有效隔离，经过两轮传染后共有169人患新冠肺炎（假设每轮传染的人数相同）．求：

(1)、每轮传染中平均每个人传染了几个人？

(2)、如果这些病毒携带者，未进行有效隔离，按照这样的传染速度，第三轮传染后，共有多少人患病？

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = B C$ ， $∠ A B C = 90 °$ ，点 $D$ 在 $A C$ 上，将 $△ A D B$ 绕点 $B$ 顺时针方向旋转90°后，得到 $△ C E B$ ．

(1)、求 $∠ D C E$ 的度数；

(2)、若 $A B = 8$ ， $A D = \frac{1}{3} C D$ ，求 $D E$ 的长．

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19. 如图， $△ A B C$ 内接于 $⊙ O$ ， $D$ 是 $⊙ O$ 上的一点，连接 $A D$ ， $B D$ ， $A D = B C$ ．

(1)、求证： $A C = B D$

(2)、若 $A B = 2$ ， $∠ D = 60 °$ ，求 $⊙ O$ 的半径．

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20. 为了让广大学子通过身边的故事，深刻感受伟大祖国“十三五”时期的发展建设成就，畅想未来美好蓝图，由教育部组织的“我和我的学校”网络微视频接力活动于近期启动，活动分为两个阶段，第一阶段以“记住这些年”为主题，第二阶段以“追梦2035”为主题．昆明某校学生准备从4个不同的素材 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 中选取一个参加第一阶段的主题活动，从3个不同的素材 $E$ ， $F$ ， $G$ 中选取一个参加第二阶段的主题活动．现将这两个阶段的7个素材分别写在形状大小质地都相同的卡片上．

(1)、如果把所有卡片混在一起，张月同学一次抽中第二阶段活动素材的概率是．

(2)、李华同学对第一阶段的素材 $A$ ， $B$ 和第二阶段的素材 $E$ ， $F$ 准备得较好，如果第一次抽签确定第一阶段活动内容，第二次抽签确定第二阶段活动内容．请用列表或画树状图的方法，求他抽到的两个素材都准备得较好的概率．

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21. 昆明斗南花卉市场是全国鲜花市场的心脏，也是亚洲最大的鲜花交易市场之一．斗南某兰花专卖店专门销售某种品牌的兰花，已知这种兰花的成本价为60元/盆．市场管理部门规定：每盆兰花的销售价格不低于成本价，又不高于成本价的2倍．经过市场调查发现，该店某天的销售数量 $y$ （盆）与销售单价 $x$ （元/盆）之间的函数关系如图所示：

(1)、求 $y$ 与 $x$ 之间的函数关系式，并写出自变量 $x$ 的取值范围：

(2)、在销售过程中，该店每天还要支付其他费用200元，求这一天销售兰花获得的利润 $w$ （元）的最大值．

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22. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 和点 $D$ 是 $⊙ O$ 上的两点，连接 $C B$ ， $C D$ ， $B D$ ，过点 $C$ 作射线交 $A B$ 的延长线于点 $E$ ，使 $∠ B C E = ∠ B D C$ ．

(1)、求证： $C E$ 是 $⊙ O$ 的切线：

(2)、若 $B C = B E = 2$ ，求阴影部分的面积．

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23. 如图①，抛物线 $y = a x^{2} + b x - 3$ 与 $x$ 轴交于 $A (- 1 ， 0)$ ， $B (3 ， 0)$ 两点，与 $y$ 轴交于点 $C$ ．

(1)、求抛物线 $y = a x^{2} + b x - 3$ 的解析式；

(2)、如图②，连接 $B C$ ，点 $E$ 是第三象限内抛物线上的动点，过点 $E$ 作 $E F ⊥ B C$ 于点 $F$ ， $E G // y$ 轴交 $B C$ 于点 $G$ ，求 $△ E F G$ 面积的最大值及此时点 $E$ 的坐标；

(3)、如图③，若抛物线的顶点坐标为点 $D$ ，点 $P$ 是抛物线对称轴上的动点，在坐标平面内是否存在点 $Q$ ，使得以 $B$ ， $D$ ， $P$ ， $Q$ 为顶点的四边形是菱形?若存在，求出点 $P$ 的坐标；若不存在，请说明理由．

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