山东省威海市文登区2020-2021学年九年级上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2021-04-01 类型：期末考试

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一、单选题

1. 函数 $y = \frac{x}{\sqrt{x - 2}}$ 的自变 $x$ 的取值范围是（）

A、 $x \neq 2$ B、 $x \geq 2$ C、 $x > 2$ D、 $x > 2$ 且 $x \neq 0$

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2. 矩形的正投影不可能是（）

A、线段 B、矩形 C、正方形 D、梯形

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3. 已知 $\sin α > \cos α$ ，那么锐角 $α$ 的取值范围是（）

A、 $30^{\circ} < α < 45^{\circ}$ B、 $0^{\circ} < α < 45^{\circ}$ C、 $45^{\circ} < α < 60^{\circ}$ D、 $45^{\circ} < α < 90^{\circ}$

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4. 将一枚飞镖投掷到如图所示的正六边形镖盘上，飞镖落在白色区域的概率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{2}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{2}{3}$

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5. 如图，在平地上种植树木时，要求株距（相邻两棵树之间的水平距离）为 $5 m$ ．若在坡比为 $i = 1 ： 2.5$ 的山坡树，也要求株距为 $5 m$ ，那么相邻两棵树间的坡面距离（）

A、 $2.5 m$ B、 $5 m$ C、 $\sqrt{29} m$ D、 $10 m$

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6. 已知一个二次函数的图象经过点（2，2），顶点为（ $- 1$ ， $- 1$ ），将该函数图象向右平移，当他再次经过点（2，2）时，所得抛物线表达式为（）

A、 $y = - \frac{1}{3} {(x - 5)}^{2} + 1$ B、 $y = \frac{1}{3} {(x - 5)}^{2} - 1$ C、 $y = - \frac{1}{3} {(x + 4)}^{2} - 10$ D、 $y = 3 {(x - 7)}^{2} - 1$

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7. 如图， $△ A B C$ 是 $⊙ O$ 的内接三角形， $B D$ 为 $⊙ O$ 的直径．若 $B D = 10$ ， $∠ A B D = 2 ∠ C$ ，则 $A B$ 的长度为（）

A、4 B、5 C、5.5 D、6

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8. 某商场经营一种小商品，已知进购时单价是20元．调查发现：当销售单价是30元时，月销售量为240件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件商品的售价不能高于40元．当月销售利润最大时，销售单价为（）

A、35元 B、36元 C、37元 D、36或37元

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9. 以坐标原点 $O$ 为圆心，1为半径作圆，直线 $y = - x + b$ 与 $⊙ O$ 相交，则 $b$ 的取值范围是（）

A、 $- 1 < b < 1$ B、 $- \sqrt{2} < b < \sqrt{2}$ C、 $- \sqrt{2} < b < 0$ D、 $0 < b < \sqrt{2}$

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10. 为预防新冠病毒，某学校每周末用药熏消毒法对教室进行消毒，已知药物释放过程中，教室内每立方米空气中含药量 $y (mg)$ 与时间 $t (h)$ 成正比例；药物释放完毕后， $y$ 与 $t$ 成反比例，如图所示．根据图象信息，下列选项错误的是（）

A、药物释放过程需要 $\frac{3}{2}$ 小时 B、药物释放过程中， $y$ 与 $t$ 的函数表达式是 $y = \frac{2}{3} t$ C、空气中含药量大于等于 $0.5 {mg/m}^{3}$ 的时间为 $\frac{9}{4} h$ D、若当空气中含药量降低到 $0.25 {mg/m}^{3}$ 以下时对身体无害，那么从消毒开始，至少需要经过4.5小时学生才能进入教室

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11. 如图，一副三角板 $A B C$ ， $D E F$ 如图摆放，使点 $D$ 与 $B C$ 的中点重合， $D F$ 经过点 $A$ ， $D E$ 交 $A B$ 与点 $G$ ．将三角板 $D E F$ 绕点 $D$ 顺时针旋转至 $△ D E^{'} F^{'}$ 处， $D E^{'}$ ， $D F^{'}$ 分别与 $A B$ ， $A C$ 交于点 $M$ ， $N$ ，则 $\frac{G M}{A N} =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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12. 如图，抛物线 $y = x^{2} - 2 x + m$ 交 $x$ 轴于点 $A (a ， 0)$ ， $B (b ， 0)$ ，交 $y$ 轴于点 $C$ ，抛物线的顶点为 $D$ ，下列四个结论：①无论 $m$ 取何值， $C D = \sqrt{2}$ 恒成立；②当 $m = 0$ 时， $△ A B D$ 是等腰直角三角形；③若 $a = - 2$ ，则 $b = 6$ ；④ $P (x_{1} ， y_{1})$ ， $Q (x_{2} ， y_{2})$ 是抛物线上的两点，若 $x_{1} < 1 < x_{2}$ ，且 $x_{1} + x_{2} > 2$ ，则 $y_{1} < y_{2}$ ．正确的有（）

A、①②③④ B、①②④ C、①② D、②③④

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二、填空题

13. 计算： ${(- \frac{1}{2})}^{- 2} - 3 \tan 30 ° + {(3 - π)}^{0} - | 1 - \sqrt{3} | =$ ．

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14. 疫情防控期间，各学校严格落实测体温进校园的防控要求，某学校开设了 $A$ ， $B$ ， $C$ 三个测温通道．某天早晨，小明和小红两位同学随机通过测温通道进入校园，则小明和小红从同一通道进入校园的概率为．

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15. 如图，是由一个大圆和四个相同的小圆组成的图案，若大圆的半径为2，则阴影部分的面积为．

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16. 如图，点 $A$ 在反比例函数 $y = \frac{5}{x}$ 图象上，且 $A$ （1， $m$ ）， $B$ 是第三象限内反比例函数 $y = \frac{5}{x}$ 的图象上一个动点．过点 $A$ 作 $A C ⊥ y$ 轴于点 $C$ ，过点 $B$ 作 $B D ⊥ x$ 轴于点 $D$ ，连接 $C D$ ．若四边形 $A B D C$ 的面积为6，则点 $B$ 的坐标为．

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17. 如图1， $A O$ ， $B C$ 是两根垂直于地面的立柱，且长度相等．在两根立柱之间悬挂着一根绳子，如图2建立坐标系，绳子形如抛物线 $y = \frac{1}{10} x^{2} - x + 4$ 的图象．因实际需要，在 $O A$ 与 $B C$ 间用一根高为 $2.5 m$ 的立柱 $M N$ 将绳子撑起，若立柱 $M N$ 到 $O A$ 的水平距离为 $3 m$ ， $M N$ 左侧抛物线的最低点 $D$ 与 $M N$ 的水平距离为 $1 m$ ，则点 $D$ 到地面的距离为．

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18. 如图，正方形 $A B C D$ ，对角线 $A C$ ， $B D$ 交于点 $O$ ，以 $O D$ ， $O C$ 为一组邻边做正方形 $D O C C_{1}$ ； $C D$ ， $O C_{1}$ 交于点 $O_{1}$ ，以 $O_{1} D$ ， $O_{1} C_{1}$ 为一组邻边做正方形 $D O_{1} C_{1} C_{2}$ ； $C_{1} D$ ， $O_{1} C_{2}$ 交于点 $O_{2}$ ，以 $O_{2} D$ ， $O_{2} C_{2}$ 为一组邻边做正方形 $D O_{2} C_{2} C_{3}$ ……．若 $A B = 1$ ，则 $S_{正方形 D O_{n} C_{n} C_{n + 1}}$ 的值为．

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三、解答题

19.

(1)、先化简，再求值： $(\frac{x + 2}{x^{2} - 2 x} - \frac{x - 1}{x^{2} - 4 x + 4}) \div \frac{x - 4}{x}$ ，其中 $x = \frac{1}{2}$ ．

(2)、解不等式组 ${\begin{array}{l} 3 x + 1 < 2 x + 3 \\ x > 1 - \frac{3 x - 1}{2} \end{array}$ ．

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20. 如图，一个零件形如一个圆柱体削去底面圆的四分之一部分的柱体，底面圆的半径为 $2 cm$ ．

(1)、请画出该零件的三视图；

(2)、若用该零件的俯视图围成一个圆锥，求这个圆锥的高．

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21. 如图，有四张背面完全相同的卡片 $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ ，其中正面分别写着四个不同的函数表达式，将四张卡片洗匀正面朝下随机放在桌面上．

(1)、从四张卡片中随机摸出一张，摸出的卡片上的函数 $y$ 随 $x$ 的增大而减小的概率是；

(2)、小亮和小强用这四张卡片做游戏，规则如下：两人同时从四张卡片中各随机抽出一张，若抽出的两张卡片上的函数增减性相同，则小亮胜；若抽出的两张卡片上的函数增减性不同，则小强胜．这个游戏公平吗？请说明理由．

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22. 已知反比例函数 $y = \frac{k}{x} (k \neq 0)$ 的图象经过点 $A$ （3，4）， $B$ （ $2 m$ ， $- 6$ ）， $C$ （ $- 6$ ， $2 m$ ） $B$ ， $C$ 在第三象限，顺次连接 $A$ ， $B$ ， $C$ ．

(1)、求 $B$ ， $C$ 的坐标；

(2)、求 $△ A B C$ 的面积；

(3)、若直线 $A B$ 的解析式为 $y = m x + n$ ，则关于 $x$ 的不等式 $m x + n > \frac{k}{x}$ 的解集为．

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23. 生活中，我们经常看到有的窗户上安装着遮阳蓬，如图1，现在要为一个面向正南方向的窗户安装一个矩形遮阳蓬．如图2， $A B$ 表示窗户的高， $C D$ 表示遮阳莲，且 $A B = 1.5 m$ ，遮阳莲与窗户所在平面的夹角 $∠ B C D$ 等于 $75 °$ ．已知该地区冬天正午太阳最低时，光线与水平线的夹角为 $30 °$ ；夏天正午太阳最高时，光线与水平线的夹角为 $60 °$ ，若使冬天正午阳光最低时光线最大限度的射入室内，而夏天正午阳光最高时光线刚好不射入室内，试求出遮阳蓬的宽度 $C D$ ．

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24. 如图1， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径， $A B ⊥ C D$ 于点 $M$ ，点 $E$ 为 $C M$ 上一点， $A E$ 的延长线交 $⊙ O$ 于点 $F$ ， $A E = D E$ ．点 $N$ 为 $A F$ 的中点，连接 $O N$ ．

(1)、判断 $△ A D F$ 的形状，并说明理由；

(2)、求证： $O M = O N$ ；

(3)、如图2，连接 $F B$ 并延长，过点 $D$ 做 $D G ⊥ F B$ ，交 $F B$ 的延长线于点 $G$ ，求证： $D G$ 是 $⊙ O$ 的切线．

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25. 如图1，抛物线 $y = a x^{2} + b x + 6$ 与 $x$ 轴交于点 $A$ （2，0） $B$ （6，0），与 $y$ 轴交于点 $C$ ，连接 $A C$ ， $B C$ ．

(1)、求抛物线的表达式；

(2)、求 $∠ A C B$ 的正切值；

(3)、如图2，过点 $C$ 的直线交抛物线于点 $D$ ，若 $∠ A C D = 45 °$ ，求点 $D$ 的坐标．

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