2015-2016学年陕西省西安七十中高二上学期期末数学试卷（理科）

试卷更新日期：2016-07-25 类型：期末考试

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一、单选题

1. “直线l与平面α内无数条直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的（　　）条件．

A、必要非充分 B、充分非必要 C、充要 D、既非充分又非必要

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2. 顶点在原点，且过点（﹣1，1）的抛物线的标准方程是（　　）

A、y²=﹣x B、x²=y C、y²=﹣x或x²=y D、y²=x或x²=﹣y

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3. 以下四组向量中，互相平行的有（　　）组．
（1） $\vec{a}$ =（1，2，1）， $\vec{b}$ =（1，﹣2，3）；
（2） $\vec{a}$ =（8，4，﹣6）， $\vec{b}$ =（4，2，﹣3）；
（3） $\vec{a}$ =（0，1，﹣1）， $\vec{b}$ =（0，﹣3，3）；
（4） $\vec{a}$ =（﹣3，2，0）， $\vec{b}$ =（4，﹣3，3）．

A、一 B、二 C、三 D、四

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4. 若平面α的法向量为 $\vec{n_{1}}$ =（3，2，1），平面β的法向量为 $\vec{n_{2}}$ =（2，0，﹣1），则平面α与β夹角的余弦是（　　）

A、 $\frac{\sqrt{70}}{14}$ B、 $\frac{\sqrt{70}}{10}$ C、- $\frac{\sqrt{70}}{14}$ D、- $\frac{\sqrt{70}}{10}$

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5. 已知两定点F₁（5，0），F₂（﹣5，0），曲线上的点P到F₁、F₂的距离之差的绝对值是6，则该曲线的方程为（　　）

A、 $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ B、 $\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{9} = 1$ C、 $\frac{x^{2}}{25} - \frac{y^{2}}{36} = 1$ D、 $\frac{y^{2}}{25} - \frac{x^{2}}{36} = 1$

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6. 命题“若a＜b，则a+c＜b+c”的逆否命题是（　　）

A、若a+c＜b+c，则a＞b B、若a+c＞b+c，则a＞b C、若a+c≥b+c，则a≥b D、若a+c＜b+c，则a≥b

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7. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{10 - m} + \frac{y^{2}}{m - 2} = 1$ ，长轴在y轴上，若焦距为4，则m等于（　　）

A、4 B、5 C、7 D、8

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8. 已知直线l过点P（1，0，﹣1），平行于向量 $\vec{a}$ =(2，1，1)，平面α过直线l与点M（1，2，3），则平面α的法向量不可能是（　　）

A、（1，﹣4，2） B、( $\frac{1}{4}$ ， -1， $\frac{1}{2}$ ) C、(- $\frac{1}{4}$ ， 1，- $\frac{1}{2}$ ) D、（0，﹣1，1）

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9. 以下有四种说法，其中正确说法的个数为（　　）
（1）“m是实数”是“m是有理数”的充分不必要条件；
（2）“a＞b”是“a²＞b²”的充要条件；
（3）“x=3”是“x²﹣2x﹣3=0”的必要不充分条件；
（4）“A∩B=B”是“A=∅”的必要不充分条件．

A、0个 B、1个 C、2个 D、3个

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10. 在正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，E是棱A₁B₁的中点，则A₁B与D₁E所成角的余弦值为（　　）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{10}$ B、 $\frac{\sqrt{10}}{10}$ C、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$

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11.
双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ （a＞0，b＞0）的左、右焦点分别是F₁ ， F₂ ，过F₁作倾斜角为30°的直线交双曲线右支于M点，若MF₂垂直于x轴，则双曲线的离心率为（　　）

A、 $\sqrt{6}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{2}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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12.
如图，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB⊥平面α，AB=2BC=2CD=4，点P为α内一动点，且∠APB=∠DPC，则P点的轨迹为（　　）

A、直线 B、圆 C、椭圆 D、双曲线

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二、填空题

13. 抛物线的方程为x=2y² ，则抛物线的焦点坐标为

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14. 若命题“∀x∈R，ax²﹣ax﹣2＜0”是真命题，则实数a的取值范围是

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15. 已知A、B、C三点不共线，若点M与A、B、C四点共面，对平面ABC外一点O，给出下列表达式： $\vec{O M}$ =x $\vec{O A}$ +y $\vec{O B}$ + $\frac{1}{3}$ $\vec{O C}$ ，其中x，y是实数，则x+y=　

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16. 以下三个关于圆锥曲线的命题中：
①设A、B为两个定点，K为非零常数，若|PA|﹣|PB|=K，则动点P的轨迹是双曲线．
②方程2x²﹣5x+2=0的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率.
③双曲线 $\frac{x^{2}}{25}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{9}$ =1与椭圆 $\frac{x^{2}}{35}$ +y²=1有相同的焦点．
④已知抛物线y²=2px，以过焦点的一条弦AB为直径作圆，则此圆与准线相切.
其中真命题为（写出所以真命题的序号）

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三、解答题

17. 写出命题若 $\sqrt{x - 2} + {(y + 1)}^{2} = 0$ ，则x=2且y=一1”的逆命题、否命题、逆否命题，并判断它们的真假．

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18. 有一智能机器人在平面上行进中始终保持与点F（1，0）的距离和到直线x=﹣1的距离相等，若机器人接触不到过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线，求k的取值范围．

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19.
在三棱锥P﹣ABC中，PB²=PC²+BC² ， PA⊥平面ABC．
求证：AC⊥BC

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20. 已知点（1，2）是函数f（x）=a^x（a＞0，且a≠1）的图象上一点，数列{a_n}的前n项和S_n=f（n）﹣1．
求数列{a_n}的通项公式.

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21.
在边长为2的正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，E是BC的中点，F是DD₁的中点，
（1）求点A到平面A₁DE的距离；
（2）求证：CF∥平面A₁DE；
（3）求二面角E﹣A₁D﹣A的平面角大小的余弦值．

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22.
如图，椭圆E： $\frac{x^{2}}{a^{2}}$ + $\frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）经过点A（0，﹣1），且离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ ．
求椭圆E的方程.

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