山东省泰安市肥城市2020-2021学年九年级上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2021-04-01 类型：期末考试

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一、单选题

1. 如图，在 $Rt △ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ， $A B = 10$ ， $A C = 6$ ，则 $\cos A$ 的值为（）

A、 $\frac{3}{4}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{4}{3}$

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2. 已知 $△ A B C ∽ △ A^{'} B^{'} C^{'}$ ， $\frac{B C}{A^{'} C^{'}} = \frac{2}{3}$ ， $\frac{A B}{A^{'} B^{'}} = \frac{3}{4}$ ，则 $△ A B C$ 与 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 的面积之比为（）

A、 $\frac{4}{9}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{9}{16}$ D、 $\frac{3}{4}$

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3. 已知反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ 经过点 $(2 ， - 3)$ ，则该函数图象必经过点（）

A、 $(2 ， 3)$ B、 $(- 1 ， 6)$ C、 $(- 2 ， - 3)$ D、 $(1 ， - \frac{3}{2})$

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4. 在一元二次方程 $- x^{2} - 4 x + 1 = 0$ 中，二次项系数和一次项系数分别是（）

A、－1，4 B、－1，－4 C、1，4 D、1，－4

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5. 如图，四边形 $A B C D$ 内接于 $⊙ O$ ， $A B$ 为 $⊙ O$ 的直径，点 $C$ 为劣弧 $B D$ 的中点，若 $∠ D A B = 40 °$ ，则 $∠ B C D$ 的度数是（）

A、70° B、40° C、140° D、50°

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6. 如图，推动个小球沿倾斜角为 $α$ 的斜坡向上行驶，若 $\sin α = \frac{5}{13}$ ，小球移动的水平距离 $A C = 12$ 米，那么小球上升的高度 $B C$ 是（）

A、5米 B、6米 C、6.5米 D、7米

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7. 二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 与一次函数 $y = a x + c$ 在同一坐标系内的图象可能是图（）

A、 B、 C、 D、

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8. 某商品的进价为每件60元，现在的售价为每件80元，每星期可卖出200件．市场调查反映：如调整价格，每涨价1元，每星期要少卖出10件．则每星期售出商品的利润 $y$ （单位：元）与每件涨价 $x$ （单位：元）之间的函数关系式是（）

A、 $y = 200 - 10 x$ B、 $y = (200 - 10 x) (80 - 60 - x)$ C、 $y = (200 + 10 x) (80 - 60 - x)$ D、 $y = (200 - 10 x) (80 - 60 + x)$

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9. 如图，在平面直角坐标系中，函数 $y = k x ， y = - \frac{2}{x}$ 的图像交于 $A ， B$ 两点，过 $A$ 作 $y$ 轴的垂线，交函数 $y = \frac{3}{x}$ 的图像于点 $C$ ，连接 $B C$ ，则 $Δ A B C$ 的面积为（）

A、2 B、3 C、5 D、6

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10. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $(m - 1) x^{2} - 2 (m - 1) x + 1 = 0$ 有两个相等的实数根，则 $m$ 的值是（）

A、－1或2 B、1 C、2 D、1或2

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11. 如图，矩形 $A B C D$ 的边长 $A B = 1$ ， $B C = 2$ ．把 $B C$ 绕 $B$ 逆时针旋转，使 $C$ 恰好落在 $A D$ 上的点 $E$ 处，线段 $B C$ 扫过部分为扇形 $B C E$ ．则扇形 $B C E$ 的面积是（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、1 C、 $\frac{2 π - 3}{3}$ D、 $1 + \frac{π}{12}$

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12. 如图，正方形 $A B C D$ 和正方形 $A E F G$ ， $F$ 点在边 $B C$ 上，边 $F G$ 与正方形 $A B C D$ 的对角线 $A C$ 相交于点 $H$ ，连接 $D G$ ．以下四个结论：① $∠ E A B = ∠ G A D$ ；② $△ A F C ∽ △ A G D$ ；③ $\sqrt{2} D G = F C$ ；④点 $G$ 到直线 $A D$ 和直线 $C D$ 的距离相等．其中正确的个数为（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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二、填空题

13. 若关于 $x$ 的一元二次方程 $x^{2} + 2 x - k = 0$ 的一个根为1，则另一个根为．

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14. 若二次函数 $y = - 3 {(x - m)}^{2} - 4$ 的对称轴是直线 $x = 1$ ，则反比例函数 $y = \frac{m}{x}$ 经过第象限．

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15. 如图，一块含30°角的直角三角板，将它的30°角顶点 $A$ 落在 $⊙ O$ 上，边 $A B$ 、 $A C$ 分别与 $⊙ O$ 交于点 $D$ 、 $E$ ，则劣弧 $D E$ 的度数为．

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16. 如图，在正方形网格中， $△ A B C$ 的顶点都在格点上，则 $\cos B + \sin B$ 的值为．

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17. 如图，在四边形 $A B C D$ 中， $A B / / C D$ ， $∠ B = ∠ C = 90 °$ ， $A B = 2$ ， $B C = 7$ ， $C D = 6$ ， $P$ 是线段 $B C$ 上的一点，若图中阴影部分的两个三角形相似，则 $P B$ 的值为．

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18. 已知二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ （ $a$ ， $b$ ， $c$ 是常数， $a \neq 0$ ）的 $y$ 与 $x$ 的部分对应值如下表：

$x$

－5

－4

－2

0

2

$y$

6

0

－6

－4

6

下列结论：

① $a > 0$

②当 $x < - 2$ 时， $y$ 的值随 $x$ 的增大而减小

③方程 $a x^{2} + b x + c = - 5$ 有两个不相等的实数根

④当 $x = - 2$ 时，函数有最小值－6

其中，正确结论的序号是（把所有正确结论的序号都填上）

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三、解答题

19. 用规定的方法解一元二次方程．

(1)、 $\frac{1}{2} x^{2} + 2 x - \frac{5}{2} = 0$ ．（配方法）；

(2)、 $3 {(y - 3)}^{2} = 2 (3 - y)$ （自己喜欢的方法）．

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20. 如图，在平行四边形ABCD中，点E是边BC上的点，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．

(1)、求证：△ADF∽△DEC；

(2)、若AB=8，AD=6 $\sqrt{3}$ ，AF=4 $\sqrt{3}$ ，求DE的长．

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21. 如表是小菲填写的实践活动报告的部分内容．

题目

测量铁塔顶端到地面的高度

测量目标

示意图

相关数据

CE＝25米，CD＝10米，∠FDG＝44°

求铁塔的高度FE ．（结果精确到1米）

（参考数据：sin44°＝0.69，cos44°＝0.72，tan44°＝0.97）

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22. 如图，平行于 $y$ 轴的直尺（一部分）与双曲线 $y = \frac{k}{x}$ （ $x > 0$ ）交于点 $A$ 和 $C$ ，与 $x$ 轴交于点 $B$ 和 $D$ ，点 $A$ 和 $B$ 的刻度分别为 $5 cm$ 和 $2 cm$ ，直尺的宽度为 $2 cm$ ， $O B = 2 cm$ （注：平面直角坐标系内一个单位长度为 $1 cm$ ）

(1)、求 $A$ 点的坐标；

(2)、求双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 的解析式；

(3)、若经过 $A$ ， $C$ 两点的直线解析式为 $y = m + b$ ，请直接写出关于 $x$ 的不等式 $m x + b - \frac{k}{x} \leq 0$ 解集．

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23. 如图，利用足够长的一段围墙，用篱笆围一个长方形的场地，中间用篱笆分割出2个小长方形，与墙平行的一边上各开一扇宽为1米的门，总共用去篱笆34米；

(1)、为了使这个长方形 $A B C D$ 的面积为96平方米，求边 $A B$ 为多少米？

(2)、用这些篱笆，能使围成的长方形 $A B C D$ 面积是110平方米吗？说明理由．

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24. 如图， $Δ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $D$ 为 $A B$ 上的一点，以 $C D$ 为直径的 $⊙ O$ 交 $A C$ 于 $E$ ，连接 $B E$ 交 $C D$ 于 $P$ ，交 $⊙ O$ 于 $F$ ，连接 $D F$ ， $∠ A B C = ∠ E F D$ ．

(1)、求证： $A B$ 与 $⊙ O$ 相切；

(2)、若 $A D = 2$ ， $B D = 3$ ，则 $⊙ O$ 的直径 $=$ ；

(3)、若 $P C = 2 P F$ ， $B F = a$ ，求 $C P$ （用 $a$ 的代数式表示）．

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25. 直线 $A C$ ： $y = - x + 3$ 与 $x$ 轴 $y$ 轴的交点分别为 $A$ ， $C$ ， $B$ 点坐标为 $(- 1 ， 0)$ ．

(1)、若二次函数 $y = a x^{2} + b x + c$ 的图像恰好过 $A$ 、 $C$ ， $B$ 三点，求二次函数的解析式；

(2)、 $P$ 为抛物线上一点，且 $∠ P C O = ∠ P O C$ ，求点 $P$ 的坐标

(3)、该二次函数图象上有一点 $D (x ， y)$ （其中 $x > 0$ ， $y > 0$ ）；
①作 $D E ⊥ A C$ ，垂足为点 $E$ ，若 $D E = C E$ ，求 $D$ 点坐标；

②线段 $D E$ 是否存在最大值，若存在，求出 $D$ 点坐标及这个最大值；若不存在，说明理由．

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26. 附加题：
如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $A D ⊥ B C$ ，垂足为 $D$ ， $E$ 、 $G$ 分别为 $A D$ 、 $A C$ 的中点， $D F ⊥ B E$ ，垂足为 $F$ ，求证： $F G = D G$ ．

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$x$	－5	－4	－2	0	2
$y$	6	0	－6	－4	6