山东省济宁市任城区2020-2021学年九年级上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2021-04-01 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列四幅图中，能表示两棵树在同一时刻太阳光下的影子的图是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 如图，在 $△ A B C$ 中，∠C＝90°，设∠A ， ∠B ， ∠C所对的边分别为a ， b ， c ，则（）

A、c＝bsinB B、b＝csinB C、a＝btanB D、b＝ctanB

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3. 如图， $A B$ 是⊙O的直径，点C、D在⊙O上， $∠ B D C = 20 °$ ，则 $∠ A O C$ 的大小为（）

A、 $40 °$ B、 $140 °$ C、 $160 °$ D、 $170 °$

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4. 如图所示的几何体是由四个完全相同的小正方体搭成的，它的俯视图是（）

A、 B、 C、 D、

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5. 为了解某地区九年级男生的身高情况，随机抽取了该地区1000名九年级男生的身高数据，统计结果如下.

身高 $x / cm$

$x < 160$

$160 \leq x < 170$

$170 \leq x < 180$

$x \geq 180$

人数

60

260

550

130

根据以上统计结果，随机抽取该地区一名九年级男生，估计他的身高不低于 $170 cm$ 的概率是（）

A、0.32 B、0.55 C、0.68 D、0.87

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6. 下列事件中，是必然事件的是（）

A、从一个只有白球的盒子里摸出一个球是白球 B、任意买一张电影票，座位号是3的倍数 C、掷一枚质地均匀的硬币，正面向上 D、汽车走过一个红绿灯路口时，前方正好是绿灯

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7. 如图所示，过y轴正半轴上的任意一点P ，作x轴的平行线，分别与反比例函数 $y = - \frac{6}{x}$ 和 $y = \frac{8}{x}$ 的图象交于点A和点B ，若点C是x轴上任意一点，连接 $A C ， B C$ ，则 $△ A B C$ 的面积为（）

A、6 B、7 C、8 D、14

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8. 如图，正方形 $A B C D$ 的边长为4，以点A为圆心， $A D$ 为半径画圆弧 $D E$ 得到扇形 $D A E$ （阴影部分，点E在对角线 $A C$ 上）.若扇形 $D A E$ 正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是（）

A、 $\sqrt{2}$ B、1 C、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ D、 $\frac{1}{2}$

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9. 如图，抛物线y＝ax²＋bx＋4交y轴于点A，交过点A且平行于x轴的直线于另一点B，交x轴于C，D两点（点C在点D右边），对称轴为直线x＝ $\frac{5}{2}$ ，连接AC，AD，BC.若点B关于直线AC的对称点恰好落在线段OC上，下列结论中错误的是（）

A、点B坐标为(5，4) B、AB＝AD C、a＝ $- \frac{1}{6}$ D、OC•OD＝16

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10. 如图， $A B$ 为半圆O的直径，M，C是半圆上的三等分点， $A B = 8$ ， $B D$ 与半圆O相切于点B．点P为 $\overset{⌢}{A M}$ 上一动点（不与点A，M重合），直线 $P C$ 交 $B D$ 于点D， $B E ⊥ O C$ 于点E，延长 $B E$ 交 $P C$ 于点F，则下列结论正确的个数有（）

① $P B = P D$ ；② $\overset{⌢}{B C}$ 的长为 $\frac{4}{3} π$ ；③ $∠ D B E = 45 °$ ；④ $△ B C F ∽ △ P C B$ ；⑤ $C F \cdot C P$ 为定值

A、2个 B、3个 C、4个 D、5个

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二、填空题

11. 一只蚂蚁在如图所示的树枝上寻觅食物，假定蚂蚁在岔路口随机选择一条路径，它获得食物的概率是。

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12. 如图，工人师傅用扳手拧形状为正六边形的螺帽，现测得扳手的开口宽度 $b = 3cm$ ，则螺帽边长 $a =$ cm.

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13. 如图是一个几何体的三视图，根据图中所示数据求得这个几何体的侧面积是（结果保留π）．

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14. 如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限， $⊙ P$ 与x轴、y轴都相切，且经过矩形 $A O B C$ 的顶点C，与 $B C$ 相交于点D．若 $⊙ P$ 的半径为5，点A的坐标是 $(0 ， 8)$ ．则点D的坐标是．

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15. 二次函数 $y = a x^{2} - 3 a x + 3$ 的图像过点 $A (6 ， 0)$ ，且与y轴交于点B，点M在该抛物线的对称轴上，若 $Δ A B M$ 是以 $A B$ 为直角边的直角三角形，则点M的坐标为.

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三、解答题

16. 已知抛物线 $y = a x^{2} + b x + 1$ 经过点(1，﹣2)，(﹣2，13)．

(1)、求a ， b的值；

(2)、若(5， $y_{1}$ )，(m ， $y_{2}$ )是抛物线上不同的两点，且 $y_{2} = 12 - y_{1}$ ，求m的值．

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17. 为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的步梯路段进行改造．已知四边形 $A B C D$ 为矩形， $D E = 10 m$ ，其坡度为 $i_{1} = 1 ： \sqrt{3}$ ，将步梯 $D E$ 改造为斜坡 $A F$ ，其坡度为 $i_{2} = 1 ： 4$ ，求斜坡 $A F$ 的长度．（结果精确到 $0.01 m$ ，参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.732$ ， $\sqrt{17} \approx 4.122$ ）

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18. 如图，在 $R t △ A B C$ 中， $∠ B C A = 90 °$ ， $∠ B A C = 30 °$ ， $A B = 6$ ．将 $△ A B C$ 以点B为中心，逆时针旋转，使 $B C$ 边落在 $A B$ 边延长线上．在图上画出直角边 $A C$ 扫过的图形（用阴影表示），并求出它的面积．

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19. 一个不透明的盒子里装有除颜色外其余均相同的2个黑球和n个白球，搅匀后从盒子里随机摸出一个球，摸到白球的概率为 $\frac{1}{3}$ ．

(1)、求n的值；

(2)、所有球放入盒中，搅匀后随机从中摸出1个球，放回搅匀，再随机摸出第2个球，求两次摸球摸到一个白球和一个黑球的概率，请用画树状图或列表的方法进行说明．

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20. 如图， $A B$ 为⊙O的直径， $C$ 为⊙O上一点， $A D ⊥ C E$ ，垂足为D， $A C$ 平分 $∠ D A B$ .

(1)、求证： $C E$ 是⊙O的切线；

(2)、若 $A D = 4$ ， $\cos ∠ C A B = \frac{4}{5}$ ，求 $A B$ 的长.

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21. 阅读以下材料，并解决相应问题：
小明在课外学习时遇到这样一个问题：

定义：如果二次函数 $y = a_{1} x^{2} + b_{1} x + c_{1}$ （ $a_{1} \neq 0$ ， $a_{1}$ $b_{1}$ ， $c_{1}$ 是常数）与 $y = a_{2} x^{2} + b_{2} x + c_{2}$ （ $a_{2} \neq 0$ ， $a_{2}$ ， $b_{2}$ ， $c_{2}$ 是常数）满足 $a_{1} + a_{2} = 0$ ， $b_{1} = b_{2}$ ， $c_{1} + c_{2} = 0$ ，则这两个函数互为“旋转函数”．求函数 $y = 2 x^{2} - 3 x + 1$ 的旋转函数．小明是这样思考的，由函数 $y = 2 x^{2} - 3 x + 1$ 可知， $a_{1} = 2$ ， $b_{1} = - 3$ ， $c_{1} = 1$ ，根据 $a_{1} + a_{2} = 0$ ， $b_{1} = b_{2}$ ， $c_{1} + c_{2} = 0$ ，求出 $a_{2}$ ， $b_{2}$ ， $c_{2}$ 就能确定这个函数的旋转函数．

请思考小明的方法解决下面问题：

(1)、写出函数 $y = x^{2} - 4 x + 3$ 的旋转函数

(2)、若函数 $y = 5 x^{2} + (m - 1) x + n$ 与 $y = - 5 x^{2} - n x - 3$ 互为旋转函数，求 ${(m + n)}^{2021}$ 的值．

(3)、已知函数 $y = 2 (x - 1) (x + 3)$ 的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，点A，B，C关于原点的对称点分别是 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $C_{1}$ ，试求证：经过点 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $C_{1}$ 的二次函数与 $y = 2 (x - 1) (x + 3)$ 互为“旋转函数”．

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22. 如图，已知 $∠ M O N = 90 °$ ， $O T$ 是 $∠ M O N$ 的平分线，A是射线 $O M$ 上一点， $O A = 8 cm$ ．动点P从点A出发，以 $1 cm/s$ 的速度沿 $A O$ 水平向左作匀速运动，与此同时，动点Q从点O出发，也以 $1 cm/s$ 的速度沿 $O N$ 竖直向上作匀速运动．连接 $P Q$ ，交 $O T$ 于点B．经过O，P，Q三点作圆，交 $O T$ 于点C，连接 $P C$ ， $Q C$ ．设运动时间为 $t (s)$ ，其中 $0 < t < 8$ ．

(1)、求 $O P + O Q$ 的值；

(2)、是否存在实数 $t$ ，使得线段 $O B$ 的长度最大？若存在，求出t的值；若不存在，说明理由．

(3)、在点P，Q运动过程中（ $0 < t < 8$ ），四边形 $O P C Q$ 的面积是否变化．如果面积变化，请说出四边形 $O P C Q$ 面积变化的趋势；如果四边形 $O P C Q$ 面积不变化，请求出它的面积．

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身高 $x / cm$	$x < 160$	$160 \leq x < 170$	$170 \leq x < 180$	$x \geq 180$
人数	60	260	550	130