江西省南昌市2020-2021学年九年级上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2021-04-01 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列函数中， $y$ 是 $x$ 的反比例函数的是（）

A、 $y = \frac{5}{x}$ B、 $y = 5 x$ C、 $x + y = 5$ D、 $y = \frac{x}{5}$

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2. 下列环保标志中，是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 下列方程中，没有实数根的是（）

A、 $x^{2} - x - 2 = 0$ B、 $x^{2} - x + 1 = 0$ C、 $x^{2} - 2 x + 1 = 0$ D、 $x^{2} = 4$

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4. 如图， $⊙ O$ 的弦 $A B$ 垂直平分半径 $O C$ ，若弦 $A B = 2 \sqrt{3}$ ，则 $⊙ O$ 的半径为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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5. 下列关于反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （ $k < 0$ ）的说法中，正确的是（）

A、双曲线在第一、第三象限 B、当 $x > 0$ 时，函数值 $y > 0$ C、当 $x > 0$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而增大 D、当 $x < 0$ 时， $y$ 随 $x$ 的增大而减小

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6. 如图，在矩形 $A B C D$ 中， $E$ ， $F$ 分别为 $B C$ ， $C D$ 的中点，线段 $A E$ ， $A F$ 与对角线 $B D$ 分别交于点 $G$ .设矩形 $A B C D$ 的面积为 $S$ ，则下列结论错误的是（）

A、 $A G ： G E = 2 ： 1$ B、 $B G ： G H ： H D = 1 ： 1 ： 1$ C、 $S_{1} + S_{2} + S_{3} = \frac{1}{3} S$ D、 $S_{2} ： S_{4} ： S_{6} = 1 ： 3 ： 4$

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二、填空题

7. 平面直角坐标系内，与点P（-1, 3）关于原点对称的点的坐标为.

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8. 若实数 $a$ 、 $b$ （a≠b）满足 $a^{2} - 8 a + 5 = 0$ ， $b^{2} - 8 b + 5 = 0$ ，则 $a + b$ 的值．

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9. 若正多边形的一个中心角为 $40 °$ ，则这个正多边形的一个内角等于 $°$ .

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10. 如图，正方形 $A B C D$ 和正方形 $E F O G$ 是位似图形，其中点 $A$ 与点 $E$ 对应，点 $A$ 的坐标为 $(- 4 ， 2)$ ，点 $E$ 的坐标为 $(- 1 ， 1)$ ，则这两个正方形位似中心的坐标为．

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11. 如图，反比例函数 $y = \frac{k}{x}$ （ $k \neq 0$ ）图象经过 $A$ 点， $A C ⊥ x$ 轴， $C O = B O$ ，若 $△ A C B$ 的面积为6，则 $k$ 的值为．

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12. 已知关于 $x$ 的函数 $y = x^{2} - 2 | x | - a^{2} - 2 a$ 的图象与 $x$ 轴只有两个公共点，则 $a$ 的取值范围是．

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三、解答题

13.

(1)、解方程： $x^{2} + 10 x + 16 = 0$ ．

(2)、已知 $y - 1$ 与 $x$ 成反比例，当 $x = 1$ 时， $y = - 5$ ，求 $y$ 与 $x$ 之间的函数解析式．

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14. 如图，点 $D$ 在 $△ A B C$ 的边 $A B$ 上， $A C^{2} = A D \cdot A B$ ，求证： $△ A C D ∽ △ A B C$ ．

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15. 如图，将弧长为 $6 π$ ，圆心角为120°的扇形纸片 $A O B$ 围成圆锥形纸帽，使扇形的两条半径 $O A$ 与 $O B$ 重合（接缝粘连部分忽略不计），求圆锥的底面圆半径及圆锥的侧面积．

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16. 如图，在正方形 $A B C D$ 中，请仅用无刻度直尺按下列要求作图（保留作图痕迹，不写作法）．

(1)、在图①中，将线段 $A B$ 绕点 $O$ 逆时针旋转一定角度，使点 $A$ 与点 $B$ 重合，点 $B$ 与点 $C$ 重合，作出点 $O$ 的位置．

(2)、在图②中， $E$ 为 $A B$ 的中点，将 $△ A B D$ 绕点 $D$ 逆时针旋转某个角度，得到 $△ C F D$ ，使 $D A$ 与 $D C$ 重合，作出 $△ C F D$ ．

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17. 某学校到红色景区开展红色研学活动，研学活动中有一个重温二苏大召开的场景活动，该活动需要派杨老师去领取四个灯笼，灯笼上分别写有“军”“民”“一”“家”（外观完全一样）．

(1)、杨老师从四个灯笼中任取一个，取到写有“一”的灯笼的概率是．

(2)、杨老师从四个灯笼中不放回地先后取出两个灯笼，请用列表或画树状图的方法求杨老师恰好取到写有“军”“民”的两个灯笼的概率．

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18. 李师傅驾驶出租车匀速地从南昌市送客到昌北国际机场，全程约 $30 km$ ，设小汽车的行驶时间为 $t$ （单位： $h$ ），行使速度为 $v$ （单位： $km/h$ ），且全程速度限定为不超过 $100 km/h$ ．

(1)、求 $v$ 关于 $t$ 的函数关系式；

(2)、李师傅上午7点驾驶出租车从南昌市出发，在20分钟后将乘客送到了昌北国际机场，求小汽车行驶速度 $v$ ．

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19. 我们知道当人们的视线与物体的表面互相垂直且视线恰好落在物体中心位置时的视觉效果最佳，如图是小然站在地面 $M N$ 欣赏悬挂在墙壁 $P M$ 上的油画 $A D$ （ $P M ⊥ M N$ ）的示意图，设油画 $A D$ 与墙壁的夹角 $∠ P A D = a$ ，此时小然的眼睛与油画底部 $A$ 处于同一水平线上，视线恰好落在油画的中心位置 $E$ 处，且与 $A D$ 垂直．已知油画的长度 $A D$ 为 $100 cm$ ．

(1)、视线 $∠ A B D$ 的度数为；（用含 $a$ 的式子表示）

(2)、当小然到墙壁 $P M$ 的距离 $A B = 250 cm$ 时，求油画顶部点 $D$ 到墙壁 $P M$ 的距离；

(3)、当油画底部 $A$ 处位置不变，油画 $A D$ 与墙壁的夹角逐渐减小时，小然为了保证欣赏油画的视觉效果最佳，他应该更靠近墙壁 $P M$ ，还是不动或者远离墙壁 $P M$ ？（直接回答即可）

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20. 如图，已知 $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $B C ⊥ A B$ ，连接 $O C$ ，弦 $A D // O C$ ，直线 $C D$ 交 $B A$ 的延长线于点 $E$ .

(1)、求证： $C D$ 是 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $D E = \sqrt{2} B C$ ， $⊙ O$ 的半径为2，求线段 $E A$ 的长．

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21. 如图，直线 $y_{1} = k_{1} x + b$ 与反比例函数 $y_{2} = \frac{k_{2}}{x}$ 的图象交于 $A$ 、 $B$ 两点，已知点 $A (m ， 4)$ ， $B (n ， 2)$ ， $A D ⊥ x$ 轴于点 $D$ ， $B C ⊥ x$ 轴于点 $C$ ， $D C = 3$ ．

(1)、求 $m$ ， $n$ 的值及反比例函数的解析式；

(2)、结合图象，当 $k_{1} x + b \leq \frac{k_{2}}{x}$ 时，直接写出自变量 $x$ 的取值范围；

(3)、若 $P$ 是 $x$ 轴上的一个动点，当 $△ A B P$ 的周长最小时，求点 $P$ 的坐标．

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，我们把函数图象上横坐标与纵坐标相等的点叫做这个图象上的“不动点”.已知抛物线 $y = x^{2} - 2 x$ ，记为 $x$ 轴的两交点中的右侧交点为 $M$ ．

(1)、抛物线 $y = x^{2} - 2 x$ 的“不动点”的坐标为；

(2)、平移抛物线 $y = x^{2} - 2 x$ ，使所得新抛物线的顶点是抛物线 $y = x^{2} - 2 x$ 的“不动点”，求新抛物线的解析式并说明具体的平移过程；

(3)、平移抛物线 $y = x^{2} - 2 x$ ，使所得新抛物线的顶点 $B$ 同时也是该新抛物线的“不动点”．若 $△ O B M$ 是以 $O B$ 为腰的等腰三角形，求 $△ O B M$ 的面积．

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23. 已知 $E F$ 为 $⊙ O$ 的一条弦， $O B ⊥ E F$ 交 $⊙ O$ 于点 $B$ ， $A$ 是弦 $E F$ 上一点（不与 $E$ ， $F$ 重合），连接 $B A$ 并延长交 $⊙ O$ 于点 $C$ ，过点 $C$ 作 $⊙ O$ 的切线交 $E F$ 的延长线于点 $D$ ．

(1)、如图1，若 $E F$ 在圆心 $O$ 的上方，且与 $O B$ 相交于点 $H$ ，求证： $△ A C D$ 是等腰三角形；

(2)、如图2，若 $E F$ 是 $⊙ O$ 的直径， $A B = 2 \sqrt{5}$ ， $⊙ O$ 的半径为4，求线段 $D C$ 的长；

(3)、如图3，若 $E F$ 在圆心 $O$ 的下方，且与 $B O$ 的延长线相交于点 $H$ ，试判断线段 $D A$ ， $D E$ ， $D F$ 之间的数量关系，并说明理由．

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