江西省景德镇市乐平市2020-2021学年九年级上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2021-04-01 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列一元二次方程中无实数根的是（）

A、 $x^{2} = 2 x$ B、 $(x + 1) (x + 3) = 0$ C、 ${(x - 2)}^{2} = 5$ D、 $x^{2} - x + 1 = 0$

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2. 如图所示的几何体的左视图是（）

A、 B、 C、 D、

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3. 如图，过反比例函数y= $\frac{k}{x}$ （x>0）的图象上一点A作AB⊥x轴于点B，连接AO，若S_△AOB=2，则k的值为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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4.
在小明住的小区有一条笔直的路，路中间有一盏路灯，一天晚上，他行走在这条路上，如图，当他从A点走到B点的过程，他在灯光照射下的影长l与所走路程s的变化关系图象大致是（　　）

A、 B、 C、 D、

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5. 如图， $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 和 $△ A B C$ 是位似三角形，位似中心为点 $O$ ， $A A^{'} = 2 A^{'} O$ ，则 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 和 $△ A B C$ 的位似比为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{1}{9}$

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6. 已知点 $(x_{1}, y_{1})$ ， $(x_{2}, y_{2})$ 是反比例函数 $y = \frac{1}{x}$ 图象上的两点，若 $x_{1} > 0 > x_{2}$ ，则下列不等式一定成立的是（）

A、 $y_{1} > y_{2} > 0$ B、 $y_{2} > 0 > y_{1}$ C、 $0 > y_{1} > y_{2}$ D、 $y_{1} > 0 > y_{2}$

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二、填空题

7. 在一个不透明口袋有四个完全相同的小球，把它们分别标号为 $1$ ， $2$ ， $3$ ， $4$ ．随机摸出一个球后不放回，再随机摸出一个，则两次摸出的小球标号之和为 $5$ 的概率为．

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8. 若x₁ ， x₂是一元二次方程 $x^{2} - 3 x + 1 = 0$ 的两个根，则 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} =$

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9. 小宇每天骑自行车上学，从家到学校所需时间 $t$ （分）与骑车速度 $v$ （千米/分）关系如图所示．一天早上，由于起床晚了，为了不迟到，需不超过 $15$ 分钟赶到学校，那么他骑车的速度至少是千米/分．

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10. 一个长方体主视图和俯视图如图所示，则这个长方体左视图的面积为 ${cm}^{2}$ ．

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11. 如图，在矩形 $A B C D$ 纸片中，点 $E$ 是 $B C$ 边的中点，沿直线 $A E$ 折叠，点 $B$ 落在矩形内部的点 $B^{'}$ 处，连接 $A B^{'}$ 并延长交 $C D$ 于点 $F$ ．已知 $C F = 4$ ， $D F = 5$ ，则 $A D$ 的长为．

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12. 如图，在平面直角坐标系中，点 $A (0 ， 6)$ ， $B (8 ， 0)$ ，点 $C$ 是线段 $A B$ 的中点，过点 $C$ 的直线 $l$ 将 $△ A O B$ 截成两部分，直线 $l$ 交折线 $A - O - B$ 于点 $P$ ．当截成两部分中有三角形与 $△ A O B$ 相似时，则点 $P$ 的坐标为．

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三、解答题

13. 如图，直线 $y = x + 1$ 与双曲线 $y = \frac{k}{x}$ 交于 $A (m ， 3)$ 、 $B (- 3 ， n)$ 两点．

(1)、点 $C$ 坐标为， $m =$ ， $n =$ ， $k =$ ．

(2)、直接写出关于 $x$ 的不等式 $a x + 1 < \frac{k}{x}$ 的解集．

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14. 在一次数学活动课上，王老师带领学生去测量教学楼的高度．在太阳光下，测得身高1.6米的小同学（用线段 $B C$ 表示）的影长 $B A$ 为1.1米，与此同时，测得教学楼（用线段 $D E$ 表示）的影长 $D F$ 为12.1米．

(1)、请你在图中画出影长 $D F$ ；

(2)、求教学楼 $D E$ 的高度．

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15. 如图是一个电路图，随机闭合 $k_{1}$ 、 $k_{2}$ 、 $k_{3}$ 、 $k_{4}$ 的两个开关用列表或画树状图的方法求灯泡 $S$ 能发光的概率．

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16. 已知矩形 $A B C D$ 中，点 $F$ 在 $A D$ 边上，四边形 $E D C F$ 是平行四边形，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图（保留画图痕迹，不必写画法）．

(1)、在图1画出 $△ B C D$ 中 $D C$ 边上的中线 $B G$ ；

(2)、在图2中画出线段 $A F$ 的垂直平分线．

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17. 如图是一个铁夹子的侧面示意图，点 $C$ 是连接夹面的轴上一点， $C D ⊥ O A$ 于点 $D$ ．这个侧面图是轴对称图形，直线 $O C$ 是它的对称轴．已知 $D A = 15 mm$ ， $D O = 24 mm$ ， $D C = 10 mm$ ．求点 $A$ 与点 $B$ 之间的距离．

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18. 已知关于 $x$ 的方程 $x^{2} + (2 k - 1) x + k^{2} - 1 = 0$ 有两个实根 $x_{1}, x_{2}$ ，

(1)、求实数 $k$ 的取值范围．

(2)、若 $x_{1}, x_{2}$ 满足 $x_{1}^{2} + x_{2}^{2} = 16 + x_{1} x_{2}$ ，求实数 $k$ 的值．

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19. 在正方形 $A B C D$ 中，点 $E$ 、 $F$ 分别在 $B C$ 边和 $C D$ 上，且满足 $△ A E F$ 是等边三角形，连接 $A C$ 交 $E F$ 于点 $G$ ．

(1)、求证： $C E = C F$ ；

(2)、若等边 $△ A E F$ 边长为2，求 $A C$ 的长．

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20. 如图 $1$ ，在等边ABC中，点D是BC边上的动点（不与点B、C重合），点E、F分别在AB和AC边上，且EDF=60．

(1)、求证： $△ B D E ∽ △ C F D$ ；

(2)、若点 $D$ 移至 $B C$ 的中点，如图2，求证： $F D$ 平分 $∠ E F C$ ．

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21. 电灭蚊器的电阻 $y (k Ω)$ 随温度 $x (℃)$ 变化的大致图象如图所示，通电后温度由室温 $10 ℃$ 上升到 $30 ℃$ 时，电阻与温度成反比例函数关系，且在温度达到 $30 ℃$ 时，电阻下降到最小值，随后电阻随温度升高而增加，温度每上升 $1 ℃$ ，电阻增加 $\frac{4}{15} k Ω$ ．

(1)、当 $10 \leq x \leq 30$ 时，求 $y$ 与 $x$ 的关系式；

(2)、当 $x = 30$ 时，求 $y$ 的值．并求 $x > 30$ 时， $y$ 与 $x$ 的关系式；

(3)、电灭蚊器在使用过程中，温度 $x$ 在什么范围内时，电阻不超过 $5 k Ω$ ？

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22. 如图1，在矩形 $A B C D$ 中， $A B = 8$ ， $A D = 6$ ，沿对角线 $A C$ 剪开，再把 $△ A C D$ 沿 $A B$ 方向平移得到图2，其中 $A^{'} D$ 交 $A C$ 于 $E$ ， $A^{'} C^{'}$ 交 $B C$ 于 $F$ ．

(1)、在图2中，除 $△ A B C$ 与 $△ C^{'} D A^{'}$ 外，指出图中全等三角形（不能添加辅助线和字母）并选择一对加以证明；

(2)、设 $A A^{'} = x$ ．
①当 $x$ 为何值时，四边形 $A^{'} E C F$ 是菱形？

②设四边形 $A^{'} E C F$ 的面积为 $y$ ，求 $y$ 与 $x$ 的关系式，并求出 $y$ 最大值．

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23. 如图 $1$ 将 $△ A B C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $α$ 角度后，与 $△ A D E$ 构成位似图形，则称 $△ A B C$ 与 $△ A D E$ 互为“旋转位似图形”．

(1)、知识理解：
①两个重合了一个顶点且边长不相等的等边三角形（填：是或不是）“旋转位似图形”．

如图 $1$ ， $△ A B C$ 与 $△ A D E$ 互为“旋转位似图形”

②若 $α = 26 °$ ， $∠ B = 100 °$ ， $∠ E = 29 °$ ，则 $∠ B A E$ 的度数为；

③若 $A D = 6$ ， $D E = 8$ ， $A B = 4$ ，则 $B C$ 的长度为；

(2)、知识运用：
如图 $2$ ，在四边形 $A B C D$ 中， $∠ A D C = ∠ A B C = 90 °$ ， $A E ⊥ B D$ 于 $E$ ， $∠ 1 = ∠ 2$ ．求证： $△ A C D$ 与 $△ A B E$ 互为“旋转位似图形”．

(3)、拓展提高：
如图 $3$ ， $△ A B C$ 为等腰直角三角形，点 $G$ 为斜边 $A C$ 的中点，点 $F$ 是 $A B$ 上一点， $D$ 是 $G F$ 延长上一点，点 $E$ 在线段 $G F$ 上，且 $△ A B D$ 与 $△ A G E$ 互为“旋转位似图形”，若 $A C = 6$ ， $A D = 2 \sqrt{3}$ ，求 $D E$ 和 $B D$ 的长．

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