江西省赣州市于都县2020-2021学年九年级上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2021-04-01 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列图标中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）

A、 B、 C、 D、

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2. 下列事件是必然事件的是（）

A、实心铁球放入贡江水中，会下沉 B、网上随机购一张电影票，座位号是奇数 C、打开电视机，正播放“农民丰收节”的新闻 D、任意画一个三角形，其内角和为360°

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3. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径， $C$ 为圆内一点，则下列说法中正确的是（）

A、 $A C$ 是 $⊙ O$ 的弦 B、 $∠ B O C$ 是圆心角 C、 $∠ C$ 是圆周角 D、 $A C + O C < A B$

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4. 如图，在 $Δ A B C$ 中， $A B = A C$ ， $∠ A P B \neq ∠ A P C$ ，求证： $P B \neq P C$ .当用反证法证明时，第一步应假设（）

A、 $A B \neq A C$ B、 $P B = P C$ C、 $∠ A P B = ∠ A P C$ D、 $∠ B \neq ∠ C$

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5. 受新冠肺炎疫情影响，某企业生产总值从六月份的500万元，连续两个月降至380万元，设平均下降率为x，则可列方程（）

A、 $500 (1 - x) = 380$ B、 $500 (1 - 2 x) = 380$ C、 $500 {(1 - x)}^{2} = 380$ D、 $500 {(1 + x)}^{2} = 380$

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6. 某数学兴趣小组对我县祁禄山的红军小道的长度进行 $n$ 次测量，得到 $n$ 个结果 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， $x_{3}$ ，…， $x_{n}$ （单位： $km$ ）．如果用 $x$ 作为这条路线长度的近似值，要使得 ${(x - x_{1})}^{2} + {(x - x_{2})}^{2} + \cdot \cdot \cdot + {(x - x_{n})}^{2}$ 的值最小， $x$ 应选取这 $n$ 次测量结果的（）

A、中位数 B、众数 C、平均数 D、最小值

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二、填空题

7. 在“大学习、大调研、大攻坚”九个汉字中，随机抽取一个汉字，抽到“大”字的概率为．

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8. 若关于 $x$ 的方程 $x^{2} - 5 x + a = 3$ 的一根为1，则方程的另一个根为．

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9. 在平面直角坐标系中，菱形 $A B C D$ 的对角线交于原点 $O$ ，点 $A$ 的坐标为 $(- 2 \sqrt{3}, 2)$ ，点 $B$ 的坐标为 $(- 1, - \sqrt{3})$ ，则点 $D$ 的坐标为．

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10. 如图，两个大小一样的传送轮连接着一条传送带，两个传动轮中心的距离是 $10 m$ ，求这条传送带的长米．

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11. 如图，正方形 $O A B C$ 的一个顶点与原点 $O$ 重合， $O C$ 与 $y$ 轴的正半轴的夹角为15°，点 $B$ 在抛物线 $y = \frac{1}{3} x^{2}$ 的图象上，则 $O A$ 的长为．

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12. 已知在 $△ A B C$ 中， $∠ A C B = 90 °$ ， $∠ A = 30 °$ ，若该三角形的一中线长为 $\sqrt{13}$ ，则 $B C$ 的长为．

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三、解答题

13.

(1)、解方程： $x (x - 2) + x - 2 = 0$ ；

(2)、如图， $⊙ O$ 中， $\overset{⌢}{A B} = \overset{⌢}{A C}$ ， $∠ C = 75 °$ ，求 $∠ A$ 度数．

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14. 若关于 $x$ 的方程 $(x - 3) (x - 2) = p$ 有两个不相等的实数根，求 $p$ 的取值范围．

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15. 一个二次函数的图象经过A（0，0），B（1，9），C（-1，-1），求这个二次函数的解析式．

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16. “赣江”是长江主要支流之一，江西省最大的河流．其东源出自石城县武夷山，称“绵水”，流经瑞金，在会昌县与“湘水”（江西）汇合，称“贡水”；其西源出自崇义县聂都山，称“章水”．“章水"与“贡水”在赣州市八镜台汇合，是为“赣江”．
小丽和小杰一起玩游戏：将“章水”、“贡水”、“绵水”、“湘水”分别写在四张完全相同的卡片正面，把四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上．小丽从中随机抽取一张卡片，小杰再从剩余的卡片中随机抽取一张卡片．

(1)、“赣江被抽中”是事件，“章水被抽中”是事件（填“不可能”或“必然”或“随机”）；

(2)、试用画树状图或列表的方法表示所有可能的结果，并求“两人抽取的河流能汇合”的概率．

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17. 如图， $A$ 、 $B$ 、 $C$ 均为 $⊙ O$ 上的点，且 $A B = B C$ ，请你用无刻度的直尺按下列要求作图．

(1)、在图1中，在圆上取点 $P$ ，使 $∠ P = ∠ A O B$ ；

(2)、在图2中，作出 $∠ A O B$ 的一个余角．

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18. 某数学兴趣小组在探究函数

y = x^{2} - 2 | x | + 3

的图象和性质时，经历了以下探究过程：

(1)、列表（完成下列表格）．

$x$	…	－3	－2	－1	$- \frac{1}{2}$	0	$\frac{1}{2}$	1	2	3	…
$y$	…	6	3	2	$m$	3	$\frac{9}{4}$	$n$	3	6	…

(2)、描点并在图中画出函数的大致图象；

(3)、根据函数图象，完成以下问题：

①当函数 $y = x^{2} - 2 | x | + 3$ 的图象向下平移个单位时，图象与 $x$ 轴有三个公共点；

②结合图象探究发现，当 $p$ 满足时，方程 $x^{2} - 2 | x | + 3 = p$ 有四个解．

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19. 如图， $△ A B C$ 中， $∠ C = 90 °$ ． $△ A B C$ 绕点 $B$ 逆时针旋转，旋转角为 $α$ ，点 $C^{'}$ 为点 $C$ 的对应点．

(1)、请用尺规作图法画出旋转后的 $△ A^{'} B C^{'}$ ；

(2)、若 $α = 90 °$ ， $B C = 3$ ， $A C = 4$ ．求 $A^{'} A$ 的长．

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20. 返校复学之际，育才学校为每个班级准备了免洗抑菌洗手液．去市场购买时发现当购买量不超过100瓶时，免洗抑菌洗手液的单价为8元；超过100瓶时，每增加10瓶，每瓶单价就降低0.2元，但最低价格不能低于每瓶5元，设学校共买了 $x$ 瓶免洗抑菌洗手液．

(1)、当 $x = 80$ 时，每瓶洗手液的价格是元；当 $x = 150$ 时，每瓶洗手液的价格是元；当 $x > 100$ 时，每瓶洗衣手液的价格为元（用含 $x$ 的式子表示）；

(2)、若学校一次性购买洗手液共花费1250元，问一共购买了多少瓶洗手液？

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21. 如图，半 $⊙ O$ 的直径 $A B = 10$ ， $C$ 为半圆一动点（不与 $A$ ， $B$ 重合）， $A C$ 的延长线与直线 $B P$ 相交于点 $P$ ，且 $∠ P = ∠ A B C$ ．

(1)、求证： $B P$ 为半 $⊙ O$ 的切线；

(2)、若 $C D$ 是 $∠ A C B$ 的平分线，且 $B D ⊥ C D$ 于 $D$ ，连接 $O D$ ．
①请判断线段 $O D$ 与 $B C$ 有什么位置关系，并说明理由；

②当 $O D = 1$ 时，则 $B C$ 的长为 ▲ ．

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22. 已知二次函数y＝ax²﹣2ax ．

(1)、二次函数图象的对称轴是直线x＝；

(2)、当0≤x≤3时，y的最大值与最小值的差为4，求该二次函数的表达式；

(3)、若a＜0，对于二次函数图象上的两点P（x₁ ， y₁），Q（x₂ ， y₂），当t≤x₁≤t+1，x₂≥3时，均满足y₁≥y₂ ，请结合函数图象，直接写出t的取值范围．

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23. （问题提出）如图1，在等边三角形 $A B C$ 内部有一点 $P$ ， $P A = 3$ ， $P B = 4$ ， $P C = 5$ ．求 $∠ A P B$ 的度数．
（数学思考）当图形中有一组邻边相等时，通过旋转可以将分散的条件集中起来解决问题．

(1)、（尝试解决）
将 $△ A P C$ 绕点 $A$ 逆时针旋转60°，得到 $△ A P^{'} B$ ，连接 $P P^{'}$ ，则 $△ A P P^{'}$ 为等边三角形．

$∵ P^{'} P = P A = 3$ ， $P B = 4$ ， $P^{'} B = P C = 5$ ，

$∴ P^{'} P^{2} + P B^{2} = P^{'} B^{2}$

$△ B P P^{'}$ 为三角形

$∴ ∠ A P B$ 的度数为．

(2)、（类比探究）
如图2，在等边三角形 $A B C$ 外部有一点 $P$ ，若 $∠ B P A = 30 °$ ，求证 $P A^{2} + P B^{2} = P C^{2}$ ．

(3)、（联想拓展）
如图3，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $A B = A C$ ．点 $P$ 在直线 $B C$ 上方且 $∠ A P B = 45 °$ ， $P C = B C = 2 \sqrt{5}$ ，求 $P A$ 的长．

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