2015-2016学年天津市六校联考高二上学期期末数学试卷（理科）

试卷更新日期：2016-07-25 类型：期末考试

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一、单选题

1. k＞9是方程 $\frac{x^{2}}{9 - k} + \frac{y^{2}}{k - 4} = 1$ 表示双曲线的( )

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分又不必要条件

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2. 设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则（　　）

A、若m∥α，n∥α，则m∥n B、若m∥α，m∥β，则α∥β C、若m∥n，n⊥α，则m⊥α D、若m∥α，α⊥β，则m⊥β

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3. 下列四个命题中的真命题为（　　）

A、∃x₀∈R，使得sin $x_{0}$ ﹣cos $x_{0}$ =﹣1.5 B、∀x∈R，总有 $x^{2}$ ﹣2x﹣3≥0 C、∀x∈R，∃y∈R，y²＜x D、∃x₀∈R，∀y∈R，y•x₀=y

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4. 已知F是抛物线y²=x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|+|BF|=3，则线段AB的中点到y轴的距离为（　　）

A、 $\frac{3}{4}$ B、1 C、 $\frac{5}{4}$ D、 $\frac{7}{4}$

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5. 设F₁ ， F₂是双曲线 $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ 的两个焦点，P在双曲线上，当△F₁PF₂的面积为2时， $\vec{P F_{1}}$ $\cdot$ $\vec{P F_{2}}$ 的值为（　　）

A、2 B、3 C、4 D、6

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6. 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积是（）

A、64 B、72 C、80 D、112

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7. 在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x²+y²﹣8x+15=0，若直线y=kx+2上至少存在一点，使得以该点为圆心，半径为1的圆与圆C有公共点，则k的最小值是（　　）

A、- $\frac{4}{3}$ B、- $\frac{5}{4}$ C、- $\frac{3}{5}$ D、- $\frac{5}{3}$

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8. 我们把焦点相同，且离心率互为倒数的椭圆和双曲线称为一对“相关曲线”．已知F₁、F₂是一对相关曲线的焦点，P是它们在第一象限的交点，当∠F₁PF₂=60°时，这一对相关曲线中双曲线的离心率是（　　）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、2

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二、填空题

9. 直线l₁：（3+a）x+4y=5﹣3a和直线l₂：2x+（5+a）y=8平行，则a=

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10. 双曲线8kx²﹣ky²=8的一个焦点为（0，3），则k的值为

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11. 用半径为6的半圆形铁皮卷成一个圆锥的侧面，则此圆锥的体积是

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12. 若点（3，1）是抛物线y²=2px的一条弦的中点，且这条弦所在直线的斜率为2，则p=

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13. 已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）上一点A关于原点O的对称点为B，F为其右焦点，若AF⊥BF，设∠ABF=α，且 $α \in [\frac{π}{12} ， \frac{π}{4}]$ ，则椭圆离心率的范围是

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14. 若曲线y= $\sqrt{|x^{2} - 9|}$ 与直线x+y﹣m=0有一个交点，则实数m的取值范围是

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三、解答题

15. 命题p：直线y=kx+3与圆x²+y²=1相交于A，B两点；命题q：曲线 $\frac{x^{2}}{k - 6}$ ﹣ $\frac{y^{2}}{k}$ =1表示焦点在y轴上的双曲线，若p∧q为真命题，求实数k的取值范围．

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16. 已知圆C：x²+y²+Dx+Ey+3=0，圆C关于直线x+y﹣1=0对称，圆心在第二象限，半径为 $\sqrt{2}$ ．
（1）求圆C的方程；
（2）已知不过原点的直线l与圆C相切，且与x轴、y轴上的截距相等，求直线l的方程．

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17.
如图，三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，CA=CB，AB=AA₁ ， ∠BAA₁=60°．

（Ⅰ）证明：AB⊥A₁C；
（Ⅱ）若平面ABC⊥平面AA₁B₁B，AB=CB，求直线A₁C与平面BB₁C₁C所成角的正弦值．

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18. 已知抛物线y²=4x的焦点为F，直线l过点M（4，0）．
若点F到直线l的距离为 $\sqrt{3}$ ，求直线l的斜率.

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19.
如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD为菱形，∠BAD=60°，Q为AD的中点．
若PA=PD，求证：平面PQB⊥平面PAD.

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