江西省赣州市寻乌县2020-2021学年八年级上学期数学期末试卷

试卷更新日期：2021-04-01 类型：期末考试

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一、单选题

1. 下列图标是生活垃圾分类标志，其中是轴对称图形的个数有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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2. 长度分别为1，6，x的三条线段能组成一个三角形，x的值可以是（）

A、4 B、5 C、6 D、7

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3. 下列计算正确的是（）

A、 $a^{2} \cdot a^{4} = a^{8}$ B、 ${(a^{2})}^{4} = a^{8}$ C、 ${(a b)}^{2} = a b^{2}$ D、 $a^{6} \div a^{2} = a^{3}$

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4. 已知一个多边形的每一个外角都相等，一个内角与一个外角的度数之比是 $4 ： 1$ ，这个多边形的边数是（）

A、6 B、8 C、9 D、10

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5. 寒假快到了，为了让同学们过一个充实而有意义的假期，老师推荐给大家一本好书．已知小明每天比小芳多看5页书，并且小明看90页书所用的天数与小芳看80页书所用的天数相等，若设小明每天看书x页，则根据题意可列出方程为（）

A、 $\frac{90}{x} = \frac{80}{x - 5}$ B、 $\frac{90}{x} = \frac{80}{x + 5}$ C、 $\frac{90}{x - 5} = \frac{80}{x}$ D、 $\frac{90}{x + 5} = \frac{80}{x}$

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6. 如图所示，在 $△ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 °$ ， $∠ A C B = 30 °$ ， $A D ⊥ B C$ 于D ， $B E$ 是 $∠ A B C$ 的平分线，且交 $A D$ 于P ，如果 $A P = 1$ ，则AC的长为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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二、填空题

7. 使分式 $\frac{1}{4 - 2 x}$ 有意义的x的取值范围是．

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8. 在实数范围内分解因式： $2 x^{2} y - 2 y =$ ．

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9. 如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 40 ° ， ∠ A B C = 70 ° ， B D$ 平分 $∠ A B C$ ，则 $∠ B D C$ 的度数是度．

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10. 如图， $A C$ 与 $B D$ 相交于点O ， $∠ D = ∠ C$ ，添加条件（写一个）后，能使 $△ A D O ≌ △ B C O$ ．

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11. 对于任意非零实数a ， b ，定义运算“※”如下：“ $a ※ b$ ” $= \frac{a - b}{a b}$ ，则 $1 ※ 2 + 2 ※ 3 + 3 ※ 4 + \dots + 2020 ※ 2021$ 的值为．

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12. 如图， $∠ A O B = 50 °$ ， $O C$ 平分 $∠ A O B$ ，如果射线 $O A$ 上的点E满足 $△ O C E$ 是等腰三角形，那么 $∠ O E C$ 的度数为．

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三、解答题

13. 计算：

(1)、 $(10 a^{3} + 8 a^{2} - 4 a) \div 2 a$ ；

(2)、 ${(- 2 a b^{- 2})}^{2} \cdot {(a^{- 2} b)}^{2}$ ．

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14. 解方程： $\frac{1}{x - 3} - 2 = \frac{3}{3 - x}$ ．

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15. 当 ${(x - 1)}^{2} + \sqrt{y - 2} = 0$ 时，求代数式 $\frac{1}{x + y} \div \frac{x - y}{x^{2} + 2 x y + y^{2}} - \frac{x + y - 1}{x - y}$ 的值．

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16. 如图， $A E ⊥ D B ， C F ⊥ D B$ ，垂足分别是点E ， F ， $B F = D E ， A E = C F$ ，求证： $∠ B = ∠ D$ ．

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17. 如图，平面直角坐标系中， $△ A B C$ 的三个顶点坐标分别为 $A (2 ， 4) ， B (- 3 ， - 2) ， C (3 ， 1)$ ．

(1)、在图中画出 $△ A B C$ 关于x轴对称的 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ （不写画法），并写出点 $A_{1}$ ， $B_{1}$ ， $C_{1}$ 的坐标；

(2)、求 $△ A_{1} B_{1} C_{1}$ 的面积．

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中，已知 $A B = A C ， A B$ 的垂直平分线交 $A B$ 于点N ，交 $A C$ 于点M ，连接 $B M$ ．

(1)、若 $∠ A B C = 65 °$ ，求 $∠ A M N$ 的度数．

(2)、若 $A B = 6 c m$ ， $△ M B C$ 的周长是 $11 c m$ ．
①求 $B C$ 的长度；

②若点P为直线 $M N$ 上一点，请你求出 $△ P B C$ 周长的最小值．

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19. 列方程解应用题：
为了创建全国卫生城市，某社区要清理一个卫生死角内的垃圾，租用甲､乙两车运送，两车各运6趟可完成，需支付运费3000元．已知单独分别租用甲､乙两车运完此堆垃圾，乙车所运趟数是甲车的1.5倍，且乙车每趟运费比甲车少100元．

(1)、求甲､乙两车单独运完此堆垃圾各需运多少趟？

(2)、若单独租用一台车，租用哪台车合算？还是两车的运费一样？

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20. 阅读材料：
我们定义：如果一个数的平方等于-1，记作 $i^{2} = - 1$ ，那么这个i就叫做虚数单位．虚数与我们学过的实数合在一起叫做复数．一个复数可以表示为 $a + b i$ （a ， b均为实数）的形式，其中a叫做它的实部，b叫做它的虚部．

复数的加､减､乘的运算与我们学过的整式加､减､乘的运算类似．

例如计算： $(6 + i) + (2 - 3 i) = (6 + 2) + (i - 3 i) = 8 - 2 i$ ．

根据上述材料，解决下列问题：

(1)、填空： $i^{3} =$ ， $i^{6} =$ ；

(2)、计算： ${(3 + 2 i)}^{2}$ ；

(3)、将 $\frac{3 + i}{2 - i}$ 化为 $a + b i$ （a ， b均为实数）的形式（即化为分母中不含i的形式）．

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21. 如图，已知 $△ A B C$ 中 $A B = A C ， B D ， C D$ 分别平分 $∠ A B E ， ∠ A C E ， B D$ 交 $A C$ 于F ，连接 $A D$ ．

(1)、当 $∠ B A C = 40 °$ 时，求 $∠ B D C$ 的度数；

(2)、请直接写出 $∠ B A C$ 与 $∠ B D C$ 的数量关系；

(3)、求证： $A D // B E$ ．

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22. 如图

(1)、问题背景：如图①，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D ， ∠ B A D = 120 ° ， ∠ B = ∠ A D C = 90 °$ ．E ， F分别是 $B C ， C D$ 上的点，且 $∠ E A F = 60 °$ ，请探究图中线段 $B E ， E F ， D F$ 之间的数量关系．小明同学探究此问题的方法是：延长 $F D$ 到点G ，使 $D G = B E$ ．连接 $A G$ ，先证明 $△ A B E ≌ △ A D G$ ，得 $A E = A G$ ；再由条件可得 $∠ E A F = ∠ G A F$ ，证明 $△ A E F ≌ △ A G F$ ，进而可得线段 $B E ， E F ， D F$ 之间的数量关系是．

(2)、探索延伸：如图②，在四边形 $A B C D$ 中， $A B = A D ， ∠ B + ∠ D = 180 °$ ．E ， F分别是 $B C$ ， $C D$ 上的点，且 $∠ E A F = \frac{1}{2} ∠ B A D$ ．问（1）中的线段 $B E ， E F ， D F$ 之间的数量关系是否还成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．

(3)、实际应用：如图③，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（O处）北偏西 $20 °$ 的A处，舰艇乙在指挥中心南偏东 $80 °$ 的B处，并且两舰艇到指挥中心的距离相等，接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以50海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东 $30 °$ 的方向以60海里/小时的速度前进.2小时后，甲､乙两舰艇分别到达E ， F处，此时在指挥中心观测到两舰艇之间的夹角为 $60 °$ ，试求此时两舰艇之间的距离．

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23. 在等腰 $Rt △ A B C$ 中， $∠ B A C = 90 ° ， A B = A C$ ，点A､点B分别是y轴，x轴上两个动点，直角边 $A C$ 交x轴于点D ，斜边 $B C$ 交y轴于点E ．

(1)、如图①，已知C点的横坐标为 $- 2$ ，直接写出点A的坐标；

(2)、如图②，当等腰 $Rt △ A B C$ 运动到使点D恰为 $A C$ 中点时，连接 $D E$ ，求证： $∠ A D B = ∠ C D E$ ；

(3)、如图③，若点A在x轴上，且 $A (- 6 ， 0)$ ，点B在y轴的正半轴上运动时，分别以 $O B$ ､ $A B$ 为直角边在第一､二象限作等腰直角 $△ B O D$ 和等腰直角 $△ A B C$ ，连接 $C D$ 交y轴于点P ，问当点B在y轴的正半轴上运动时， $B P$ 的长度是否变化？若变化请说明理由；若不变化，请求出 $B P$ 的长度．

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