初中数学苏科版九年级下册7.6 用锐角三角函数解决问题同步训练

试卷更新日期：2021-04-01 类型：同步测试

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一、单选题

1. 已知一堤坝的坡度 $i = 1 : \sqrt{3}$ ，堤坝的高度为 $10$ 米，则堤坝的斜坡长为（）

A、 $10$ 米 B、 $10 \sqrt{3}$ 米 C、 $20$ 米 D、 $20 \sqrt{3}$ 米

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2. 斜坡的倾斜角为α，一辆汽车沿这个斜坡前进了500米，则它上升的高度是（）

A、500sinα米 B、 $\frac{500}{\sin a}$ 米 C、500cosα米 D、 $\frac{500}{\cos a}$ 米

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3. 如图，在山坡上种树，坡度i＝1：2，AB＝5m，则相邻两树的水平距离AC为（）

A、5m B、 $\sqrt{5}$ m C、2 $\sqrt{5}$ m D、10m

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4. 如图，在莲花山滑雪场滑雪，需从山脚下乘缆车上山，缆车索道与水平线所成的角为32°，缆车速度为每分钟50米，从山脚下A到达山顶B缆车需要16分钟，则山的高度BC为（）

A、 $800 \cdot \sin 32^{\circ}$ B、 $\frac{800}{\tan 32^{\circ}}$ C、 $800 \cdot \tan 32^{\circ}$ D、 $\frac{800}{\sin 32^{\circ}}$

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5. 如图，小明想要测量学校操场上旗杆 $A B$ 的高度，他作了如下操作：（1）在点C处放置测角仪，测得旗杆顶的仰角 $∠ A C E = α$ ；（2）量得测角仪的高度 $C D = a$ ；（3）量得测角仪到旗杆的水平距离 $D B = b$ .利用锐角三角函数解直角三角形的知识，旗杆的高度可表示为（）

A、 $a + b \tan α$ B、 $a + b \sin α$ C、 $a + \frac{b}{\tan α}$ D、 $a + \frac{b}{\sin α}$

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6. 如图，在离铁塔150米的A处，用测倾仪测得塔顶的仰角为α，测倾仪高AD为1.5米，则铁塔的高BC为（）

A、(1.5+150tanα) 米 B、(1.5+ $\frac{150}{\tan α}$ )米 C、(1.5+150sinα)米 D、(1.5+ $\frac{150}{\sin α}$ )米

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7. 如图，从A处观测铁塔顶部的仰角是30°，向前走30米到达B处，观测铁塔的顶部的仰角是45°，则铁塔高度是（）米

A、 $15 \sqrt{3} + 1$ B、 $\frac{30 \sqrt{3} + 1}{2}$ C、 $\frac{30 \sqrt{3} - 1}{2}$ D、 $15 \sqrt{3} + 15$

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8. 某同学利用数学知识测量建筑物DEFG的高度.他从点 $A$ 出发沿着坡度为 $i = 1 ： 2.4$ 的斜坡AB步行26米到达点B处，用测角仪测得建筑物顶端 $D$ 的仰角为37°，建筑物底端 $E$ 的俯角为30°，若AF为水平的地面，侧角仪竖直放置，其高度BC=1.6米，则此建筑物的高度DE约为(精确到0.1米，参考数据： $\sqrt{3} \approx 1.73 ， s i n 37 ° \approx 0.60$ ， $c o s 37 ° \approx 0.80 ， t a n 37 ° \approx 0.75$ )（）

A、23.0米 B、23.6米 C、26.7米 D、28.9米

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9. 某货站用传送带传送货物，为了提高传送过程的安全性，工人师傅将原坡角45°的传送带AB，调整为坡度i＝1： $\sqrt{3}$ 的新传送带AC（如图所示）．已知原传送带AB的长是4 $\sqrt{2}$ 米，那么新传送带AC的长是（）

A、8米 B、4米 C、6米 D、3米

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10. 如图，小明站在某广场一看台C处，从眼睛D处测得广场中心F的俯角为21°，若CD=1.6米，BC=1.5米，BC平行于地面FA，台阶AB的坡度为i=3：4，坡长AB=10米，则看台底端A点距离广场中心F点的距离约为(参考数据：sin21°≈0.36，cos21°≈0.93，tan21°≈0.38)（）

A、8.8米 B、9.5米 C、10.5米 D、12米

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二、填空题

11. 已知甲、乙两楼相距 $30$ 米，如果从甲楼底看乙楼顶，测得仰角为 $45 °$ ，从乙楼顶看甲楼顶，测得俯角为 $30 °$ ，那么甲楼高是米．

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12. 小明为了测量一个小湖泊两岸的两棵树A、B之间的距离，在垂直AB的方向BC上确定点C，测得BC＝45m，∠C＝40°，从而计算出AB之间的距离．则AB＝．（精确到0.1m）（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84，sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）

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13. 如图，坡面CD的坡度为1： $\sqrt{3}$ ，坡顶的平地BC上有一棵小树AB，当太阳光线与水平线夹角成60°时，测得小树在坡顶平地上的树影BC=3米，斜坡上的树影CD= $\sqrt{3}$ 米，则小树AB的高是。

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14. 如图，在一笔直的海岸线 $l$ 上有相距 $4 k m$ 的 $A ， B$ 两个观测站，B站在A站的正东方向上，从A站测得船C在北偏东 $60 °$ 的方向上，从B站测得船C在北偏东 $30 °$ 的方向上，则船C到海岸线 $l$ 的距离是 $k m$ .

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15. 如图所示，小华同学在距离某建筑物6m的点A处测得广告牌点B、C的仰角分别为52°和35°，则广告牌的高度BC为m.(精确到0.1m，sin35°≈0.57，cos35°≈0 tan35°≈0.70；sin52°≈0.79，cos52°≈0.62，tan52°≈1.28）

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16. 如图，测角仪CD竖直放在距建筑物AB底部5m的位置，在D处测得建筑物顶端A的仰角为50°.若测角仪的高度是1.5m，则建筑物AB的高度约为m.（结果保留小数点后一位，参考数据：sin50°≈0.77，cos50°≈0.64，tan50°≈1.19）

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17. 无人机于空中A处测得某建筑顶部B处的仰角为45°，测得该建筑底部C处的俯角为17°．若无人机的飞行高度AD为62m，则该建筑的高度BC为m．
（参考数据：sin17°≈0.29，cos17°≈0.96，tan17°≈0.31）

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18. 图1是一张可以折叠的小床展开后支撑起来放在地面的示意图，此时点A、B、C在同一直线上，且∠ACD=90°，图2是小床支撑脚CD折叠的示意图，在折叠过程中，△ACD变形为四边形ABC'D'，最后折叠形成一条线段BD”。某家装厂设计的折叠床是AB=8cm，BC=16cm，①此时CD应该是多长。②折叠时，当AB⊥BC'时，sinD'=。

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三、解答题

19. 数学实践课上，同学们分组测量教学楼前国旗杆的高度．小明同学所在的组先设计了测量方案，然后开始测量了．他们全组分成两个测量队，分别负责室内测量和室外测量（如图）．室内测量组来到教室内窗台旁，在点 $E$ 处测得旗杆顶部 $A$ 的仰角 $α$ 为45°，旗杆底部 $B$ 的俯角 $β$ 为60°．室外测量组测得 $B F$ 的长度为5米，求旗杆 $A B$ 的高度．

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20. 在“综合与实践”活动中，某校九年级数学小组采用无人机辅助的方法测量一座桥的长度．如图，桥 $A B$ 是水平并且笔直的，测量过程中，小组成员遥控无人机飞到桥 $A B$ 的上方 $90m$ 的点 $C$ 处悬停，此时测得桥两端 $A$ ， $B$ 两点的俯角分别为 $30 °$ 和 $45 °$ ，求桥 $A B$ 的长度．（结果精确到 $1m$ ．参考数据： $\sqrt{2} \approx 1.41$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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21. 如图，甲、乙两栋大楼相距78米，一测量人员从甲楼AC的顶部看乙楼BD的顶部其仰角为27°.如果甲楼的高为34米，求乙楼的高度是多少米？（结果精确到0.1米）
【参考数据：sin27°＝0.45，cos27°＝0.89，tan27°＝0.51】

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22. 如图，小王在长江边某瞭望台D处，测得江面上的渔船A的俯角为40°，若DE＝3米，CE＝2米，CE平行于江面AB，DE⊥CE，迎水坡BC的坡度i＝1：0.75，坡长BC＝10米，求此时AB的长．（小数点后面保留一位，参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）

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23. 为加强对市内道路交通安全的监督，王警官利用无人机进行检测．某高架路有一段限速每小时 $60$ 千米的道路 $A B$ （如图所示），当无人机在限速道路的正上方 $C$ 处时，测得限速道路的起点 $A$ 的俯角是 $37 °$ ，无人机继续向右水平飞行 $220$ 米到达 $D$ 处，此时又测得起点 $A$ 的俯角是 $30 °$ ，同时测得限速道路终点 $B$ 的俯角是 $45 °$ （注：即四边形 $A B D C$ 是梯形）．

(1)、求限速道路 $A B$ 的长（精确到 $1$ 米）；

(2)、如果李师傅在道路 $A B$ 上行驶的时间是 $1$ 分 $20$ 秒，请判断他是否超速？并说明理由．（参考数据： $\sin 37 ° \approx 0.60$ ， $\cos 37 ° \approx 0.80$ ， $\tan 37 ° \approx 0.75$ ， $\sqrt{3} \approx 1.73$ ）

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24. 已知：如图，斜坡 $A P$ 的坡度为1∶2.4，坡长 $A P$ 为260米，在坡顶A处的同一水平面有一座古塔 $B C$ ，在斜坡底P处测得该塔的塔顶的仰角为 $45 °$ ，在坡顶A处测得该塔的塔顶的仰角为 $76 °$ .

求：

(1)、坡顶到地面 $P O$ 的距离；

(2)、古塔 $B C$ 的高度（结果精确到1米）.
（参考数据 $\sin 76 ° \approx 0.97 ， \cos 76 ° \approx 0.24 ， \tan 76 ° \approx 4.01$ ）

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25. 如图，某数学活动小组为测量一棵大树 $B H$ 和教学楼 $C G$ 的高，测角仪高 $A F = 1 m$ ，先在 $A$ 处测得大树顶端 $H$ 的仰角 $∠ H F E$ 为 $45 °$ ，此时教学楼顶端 $G$ 恰好在视线 $F H$ 上，再向前走 $10 m$ 到达 $B$ 处 $(A B = 10 m)$ ，又测得教学楼顶端 $G$ 的仰角 $∠ G E D$ 为 $60 °$ ，点 $A$ ， $B$ ， $C$ 三点在同一水平线上．

(1)、求大树 $B H$ 的高；

(2)、求教学楼 $C G$ 的高（结果保留根号）．

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26. 如图，某大楼的顶部树有一块广告牌CD，小李在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为60°．沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i=1： $\sqrt{3}$ ，AB=10米，AE=15米．（i=1： $\sqrt{3}$ 是指坡面的铅直高度BH与水平宽度AH的比）

(1)、求点B距水平面AE的高度BH；

(2)、求广告牌CD的高度．
（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米．参考数据： $\sqrt{2} \approx$ 1.414， 1.732）

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27. 刘同学在课外活动中观察吊车的工作过程，绘制了如图所示的平面图形.已知吊车吊臂的支点O距离地面的高 $O O^{'} = 2$ 米. $O A = 10$ 米，当吊臂顶端由A点抬升至 $A^{'}$ 点（吊臂长度不变时），地面 $B$ 处的重物（大小忽略不计）被吊至 $B'$ 处，紧绷着的吊缆 $A^{'} B^{'} = A B$ .且 $c o s A = \frac{3}{5} ， \sin A' = \frac{1}{2}$ .

(1)、求此重物在水平方向移动的距离及在竖直方向移动的距离；

(2)、若这台吊车工作时吊杆最大水平旋转角度为 $120 °$ ，吊杆与水平线的倾角可以从 $30 °$ 转到 $60 °$ ，求吊车工作时，工作人员不能站立的区域的面积.

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28. 筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写道：“水能利物，轮乃曲成”.如图，半径为 $3 m$ 的筒车 $⊙ O$ 按逆时针方向每分钟转 $\frac{5}{6}$ 圈，筒车与水面分别交于点A、B，筒车的轴心 $O$ 距离水面的高度 $O C$ 长为 $2.2 m$ ，简车上均匀分布着若干个盛水筒.若以某个盛水筒 $P$ 刚浮出水面时开始计算时间.

(1)、经过多长时间，盛水筒 $P$ 首次到达最高点？

(2)、浮出水面3.4秒后，盛水筒P距离水面多高？

(3)、若接水槽 $M N$ 所在直线是 $⊙ O$ 的切线，且与直线 $A B$ 交于点M， $M O = 8 m$ .求盛水筒P从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线 $M N$ 上.（参考数据： $\cos 43^{°} = \sin 47^{°} \approx \frac{11}{15}$ ， $\sin 16^{°} = \cos 74^{°} \approx \frac{11}{40}$ ， $\sin 22^{°} = \cos 68^{°} \approx \frac{3}{8}$ ）

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一、单选题

二、填空题

三、解答题

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