2015-2016学年湖南省常德一中高一上学期期末数学试卷

试卷更新日期：2016-07-25 类型：期末考试

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一、单选题

1. 已知集合M={x|﹣3＜x≤5}，N={x|﹣5＜x＜5}，则M∩N=（　　）

A、{x|﹣5＜x＜5} B、{x|﹣3＜x＜5} C、{x|﹣5＜x≤5} D、{x|﹣3＜x≤5}

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2. 已知过点A（﹣2，m）和B（m，4）的直线与直线2x+y﹣1=0平行，则m的值为（　　）

A、0 B、-8 C、2 D、10

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3. 下列四个结论：
（1）两条直线都和同一个平面平行，则这两条直线平行；
（2）两条直线没有公共点，则这两条直线平行；
（3）两条直线都和第三条直线垂直，则这两条直线平行；
（4）一条直线和一个平面内无数条直线没有公共点，则这条直线和这个平面平行．
其中正确的个数为（　　）

A、0 B、1 C、2 D、3

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4. 如果函数f（x）=x²+2（a﹣1）x+2在区间[4，+∞）上是递增的，那么实数a的取值范围是（　　）

A、a≤3 B、a≥﹣3 C、a≤5 D、a≥5

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5. 一个正方体的顶点都在球面上，它的棱长为2cm，则球的表面积是（　　）

A、8πcm² B、12πcm² C、16πcm² D、20πcm²

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6. 若两个平面互相平行，则分别在这两个平行平面内的两条直线（　　）

A、平行 B、异面 C、相交 D、平行或异面

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7. 点P（2，﹣1）为圆（x﹣1）²+y²=25的弦AB的中点，则直线AB的方程为（　　）

A、x+y﹣1=0 B、2x+y﹣3=0 C、x﹣y﹣3=0 D、2x﹣y﹣5=0

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8. 函数 $(x) = \{\begin{matrix} 3^{x - 2} ， x < 2 \\ \log_{3} (x^{2} - 1) ， x \geq 2 \end{matrix}$ ，若f（a）=1，则a的值是（　　）

A、2 B、1 C、1或2 D、1或﹣2

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9. 圆A：x²+y²+4x+2y+1=0与圆B：x²+y²﹣2x﹣6y+1=0的位置关系是（　　）

A、相交 B、相离 C、相切 D、内含

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10. 已知函数f（x）= $\frac{k x + 7}{k x^{2} + 4 k x + 3}$ ，若∀x∈R，则k的取值范围是（　　）

A、0≤k＜ $\frac{3}{4}$ B、0＜k＜ $\frac{3}{4}$ C、k＜0或k＞ $\frac{3}{4}$ D、0＜k≤ $\frac{3}{4}$

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11. 把正方形ABCD沿对角线AC折起，当以A、B、C、D四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线BD和平面ABC所成的角的大小为（　　）

A、90° B、60° C、45° D、30°

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12. 定义区间（a，b）、[a，b）、（a，b]、[a，b]的长度均为d=b﹣a，用[x]表示不超过x的最大整数，例如[3.2]=3，[﹣2.3]=﹣3．记{x}=x﹣[x]，设f（x）=[x]•{x}，g（x）=x﹣1，若用d表示不等式f（x）＜g（x）解集区间长度，则当0≤x≤3时有（　　）

A、d=1 B、d=2 C、d=3 D、d=4

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二、填空题

13. 空间两点P₁（2，3，5），P₂（3，1，4）间的距离|P₁P₂|=

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14. 若圆（x﹣1）²+（y﹣2）²=1关于直线y=x+b对称，则实数b=

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15.
直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，AC=AB=AA₁ ，且异面直线AC₁与A₁B所成的角为60°，则∠CAB等于

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16. 设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x² ，若对任意x∈[a，a+2]，不等式f（x+a）≥f（3x+1）恒成立，则实数a的取值范围是

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三、解答题

17. 设全集U=R，集合A={x|﹣1≤x＜3}，B={x|2x﹣4≥x﹣2}．
（1）求∁_U（A∩B）；
（2）若集合C={x|2x+a＞0}，满足B∪C=C，求实数a的取值范围．

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18.
如图，在正方体ABCD﹣A₁B₁C₁D₁中，
（1）求证：AD₁⊥平面CDA₁B₁；
（2）求直线AD₁与直线BD所成的角．

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19. 已知圆Cx²+y²+2x﹣4y+3=0
（1）已知不过原点的直线l与圆C相切，且在x轴，y轴上的截距相等，求直线l的方程；
（2）求经过原点且被圆C截得的线段长为2的直线方程．

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20.
某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿场售价与上市时间的关系如图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系如图二的抛物线段表示．
（1）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式p=f（t）；写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g（t）；
（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？（注：市场售价各种植成本的单位：元/10²㎏，时间单位：天）

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21.
如图所示，正四棱锥P﹣ABCD中，侧棱PA与底面ABCD所成的角的正切值为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ ．
（1）求侧面PAD与底面ABCD所成的二面角的大小；
（2）若E是PB的中点，求异面直线PD与AE所成角的正切值；
（3）问在棱AD上是否存在一点F，使EF⊥侧面PBC，若存在，试确定点F的位置；若不存在，说明理由．

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22. 已知圆C：x²+y²﹣2x+4my+4m²=0，圆C₁：x²+y²=25，以及直线l：3x﹣4y﹣15=0．
（1）求圆C₁：x²+y²=25被直线l截得的弦长；
（2）当m为何值时，圆C与圆C₁的公共弦平行于直线l；
（3）是否存在m，使得圆C被直线l所截的弦AB中点到点P（2，0）距离等于弦AB长度的一半？若存在，求圆C的方程；若不存在，请说明理由．

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