河北省邯郸市2017-2018学年高三上学期理数摸底考试试卷

试卷更新日期：2017-10-28 类型：高考模拟

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一、选择题.

1. 已知集合A={x|x²﹣x﹣2＞0}，B={x|x＞0}，则A∩B=（　　）

A、（1，2） B、（0，2） C、（2，+∞） D、（1，+∞）

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2. 若复数z满足（1﹣i）z=2+3i，则复数z的实部与虚部之和为（　　）

A、﹣2 B、2 C、﹣4 D、4

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3. 在△ABC中，若 $\vec{A B} + \vec{A C}$ =4 $\vec{A P}$ ，则 $\vec{P B}$ =（　　）

A、 $\frac{3}{4} \vec{A B} - \frac{1}{4} \vec{A C}$ B、﹣ $\frac{3}{4} \vec{A B} + \frac{1}{4} \vec{A C}$ C、﹣ $\frac{1}{4} \vec{A B} + \frac{3}{4} \vec{A C}$ D、 $\frac{1}{4} \vec{A B} - \frac{3}{4} \vec{A C}$

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4. F₁ ， F₂分别是双曲线C： $\frac{x^{2}}{9} - \frac{y^{2}}{7}$ =1的左、右焦点，P为双曲线C右支上一点，且|PF₁|=8，则△PF₁F₂的周长为（　　）

A、15 B、16 C、17 D、18

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5. 用电脑每次可以从区间（0，1）内自动生成一个实数，且每次生成每个实数都是等可能性的，若用该电脑连续生成3个实数，则这3个实数都大于 $\frac{1}{3}$ 的概率为（　　）

A、 $\frac{1}{27}$ B、 $\frac{2}{3}$ C、 $\frac{8}{27}$ D、 $\frac{4}{9}$

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6. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，已知该几何体的各个面中有n个面是矩形，体积为V，则（　　）

A、n=4，V=10 B、n=5，V=12 C、n=4，V=12 D、n=5，V=10

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7. 若sin（ $α + \frac{π}{4}$ ）= $\sqrt{2}$ （sinα+2cosα），则sin2α=（　　）

A、﹣ $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{4}{5}$ C、﹣ $\frac{3}{5}$ D、 $\frac{3}{5}$

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8. 设函数f（x）的导函数为f′（x），若f（x）为偶函数，且在（0，1）上存在极大值，则f′（x）的图象可能为（　　）

A、 B、 C、 D、

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9. 我国古代名著《庄子•天下篇》中有一句名言“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其意思为：一尺的木棍，每天截取一半，永远都截不完，现将该木棍依此规律截取，如图所示的程序框图的功能就是计算截取7天后所剩木棍的长度（单位：尺），则①②③处可分别填入的是（　　）

A、①i≤7？②s=s﹣ $\frac{1}{i}$ ③i=i+1 B、①i≤128？②s=s﹣ $\frac{1}{i}$ ③i=2i C、①i≤7？②s=s﹣ $\frac{1}{2 i}$ ③i=i+1 D、①i≤128？②s=s﹣ $\frac{1}{2 i}$ ③i=2i

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10. 已知函数f（x）=ax²﹣bx+1，点（a，b）是平面区域 ${\begin{matrix} x + y - 2 \leq 0 \\ x \geq m \\ y \geq - 1 \end{matrix}$ 内的任意一点，若f（2）﹣f（1）的最小值为﹣6，则m的值为（　　）

A、﹣1 B、0 C、1 D、2

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11. 若函数f（x）= ${\begin{matrix} s i n (2 x - \frac{π}{6}) ， - π \leq x < m \\ c o s (2 x - \frac{π}{6}) ， m \leq x \leq \frac{π}{2} \end{matrix}$ 恰有4个零点，则m的取值范围为（　　）

A、[﹣ $\frac{11 π}{12}$ ，﹣ $\frac{π}{6}$ ]∪（ $\frac{π}{12}$ ， $\frac{π}{3}$ ] B、（﹣ $\frac{11 π}{12}$ ，﹣ $\frac{2 π}{3}$ ]∪（﹣ $\frac{5 π}{12}$ ，﹣ $\frac{π}{6}$ ]∪（ $\frac{π}{12}$ ， $\frac{π}{3}$ ] C、[﹣ $\frac{11 π}{12}$ ，﹣ $\frac{π}{6}$ ）∪[ $\frac{π}{12}$ ， $\frac{π}{3}$ ） D、[﹣ $\frac{11 π}{12}$ ，﹣ $\frac{2 π}{3}$ ）∪[﹣ $\frac{5 π}{12}$ ，﹣ $\frac{π}{6}$ ）∪[ $\frac{π}{12}$ ， $\frac{π}{3}$ ）

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12. 直线y=x+a与抛物线y²=5ax（a＞0）相交于A，B两点，C（0，2a），给出下列4个命题：
p₁：△ABC的重心在定直线7x﹣3y=0上，p₂：|AB| $\sqrt{3 - a}$ 的最大值为2 $\sqrt{10}$ ；
p₃：△ABC的重心在定直线 3x﹣7y=0上；p₄：|AB| $\sqrt{3 - a}$ 的最大值为2 $\sqrt{5}$ ．
其中的真命题为（　　）

A、p₁ ， p₂ B、p₁ ， p₄ C、p₂ ， p₃ D、p₃ ， p₄

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二、填空题

13. 在△ABC中，若sinA：sinB：sinC=3：4：6，则cosB= ．

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14. 若log₂（log₃x）=log₃（log₂y）=2，则x+y= ．

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15. 若（x+a）（1+2x）⁵的展开式中x³的系数为20，则a= ．

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16. 已知一个四面体ABCD的每个顶点都在表面积为9π的球O的表面上，且AB=CD=a，AC=AD=BC=BD= $\sqrt{5}$ ，则a= ．

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三、解答题

17. 在等差数列{a_n}中，a₃+a₄=12，公差d=2，记数列{a_2n_﹣1}的前n项和为S_n ．

(1)、求S_n；

(2)、设数列{ $\frac{n}{a_{n + 1} S_{n}}$ }的前n项和为T_n ，若a₂ ， a₅ ， a_m成等比数列，求T_m ．

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18. 如图，在底面为矩形的四棱椎P﹣ABCD中，PB⊥AB．

(1)、证明：平面PBC⊥平面PCD；

(2)、若异面直线PC与BD所成角为60°，PB=AB，PB⊥BC，求二面角B﹣PD﹣C的大小．

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19. 共享单车是指企业在校园、地铁站点、公交站点、居民区、商业区、公共服务区等提供自行车单车共享服务，是共享经济的一种新形态．一个共享单车企业在某个城市就“一天中一辆单车的平均成本（单位：元）与租用单车的数量（单位：千辆）之间的关系”进行调查研究，在调查过程中进行了统计，得出相关数据见下表：

租用单车数量x（千辆）	2	3	4	5	8
每天一辆车平均成本y（元）	3.2	2.4	2	1.9	1.7

根据以上数据，研究人员分别借助甲、乙两种不同的回归模型，得到两个回归方程，方程甲： $\overset{\land}{y}$ ^（1）= $\frac{4}{x}$ +1.1，方程乙： $\overset{\land}{y}$ ^（2）= $\frac{6.4}{x^{2}}$ +1.6．

(1)、为了评价两种模型的拟合效果，完成以下任务：

①完成下表（计算结果精确到0.1）（备注： $\overset{\land}{e_{i}}$ =y_i﹣ $\overset{\land}{y_{i}}$ ， $\overset{\land}{e_{i}}$ 称为相应于点（x_i ， y_i）的残差（也叫随机误差）；

租用单车数量x（千辆）		2	3	4	5	8
每天一辆车平均成本y（元）		3.2	2.4	2	1.9	1.7
模型甲	估计值 $\overset{\land}{y_{i}}$ ^（1）		2.4	2.1		1.6
模型甲	残差 $\overset{\land}{e_{i}}$ ^（1）		0	﹣0.1		0.1
模型乙	估计值 $\overset{\land}{y_{i}}$ ^（2）		2.3	2	1.9
模型乙	残差 $\overset{\land}{e_{i}}$ ^（2）		0.1	0	0

②分别计算模型甲与模型乙的残差平方和Q₁及Q₂ ，并通过比较Q₁ ， Q₂的大小，判断哪个模型拟合效果更好．

(2)、这个公司在该城市投放共享单车后，受到广大市民的热烈欢迎，共享单车常常供不应求，于是该公司研究是否增加投放．根据市场调查，这个城市投放8千辆时，该公司平均一辆单车一天能收入10元，6元收入的概率分别为0.6，0.4；投放1万辆时，该公司平均一辆单车一天能收入10元，6元的概率分别为0.4，0.6．问该公司应该投放8千辆还是1万辆能获得更多利润？（按（1）中拟合效果较好的模型计算一天中一辆单车的平均成本，利润=收入﹣成本）．

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20. 如图，设椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}}$ =1（a＞b＞0）的离心率为 $\frac{1}{2}$ ，A，B分别为椭圆C的左、右顶点，F为右焦点．直线y=6x与C的交点到y轴的距离为 $\frac{2}{7}$ ，过点B作x轴的垂线l，D为l 上异于点B的一点，以BD为直径作圆E．

(1)、求C 的方程；

(2)、若直线AD与C的另一个交点为P，证明PF与圆E相切．

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21. 已知函数f（x）=lnx﹣ $\frac{1}{2}$ ax²+bx+1的图象在x=1处的切线l过点（ $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{2}$ ）．

(1)、若函数g（x）=f（x）﹣（a﹣1）x（a＞0），求g（x）最大值（用a表示）；

(2)、若a=﹣4，f（x₁）+f（x₂）+x₁+x₂+3x₁x₂=2，证明：x₁+x₂≥ $\frac{1}{2}$ ．

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22. 在极坐标系中，曲线C的极坐标方程为ρ=2cosθ+2sinθ（0≤θ＜2π），点M（1， $\frac{π}{2}$ ），以极点O为原点，以极轴为x轴的正半轴建立平面直角坐标系．已知直线l： ${\begin{matrix} x = \frac{\sqrt{2}}{2} t \\ y = 1 + \frac{\sqrt{2}}{2} t \end{matrix}$ （t为参数）与曲线C交于A，B两点，且|MA|＞|MB|．

(1)、若P（ρ，θ）为曲线C上任意一点，求ρ的最大值，并求此时点P的极坐标；

(2)、求 $\frac{| M A |}{| M B |}$ ．

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23. 已知函数f（x）=|x﹣2|．

(1)、求不等式f（x）≤5﹣|x﹣1|的解集；

(2)、若函数g（x）= $\frac{1}{x}$ ﹣f（2x）﹣a的图象在（ $\frac{1}{2}$ ，+∞）上与x轴有3个不同的交点，求a的取值范围．

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