高中数学人教A版（2019）必修二第六章 6.4 平面向量的应用（余弦定理）

试卷更新日期：2021-03-31 类型：同步测试

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一、单选题

1. 在 $△ A B C$ 中， $A = 120 °$ ， $B C = 6$ ，则 $△ A B C$ 的面积的最大值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ D、 $3 \sqrt{3}$

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2. 在 $Δ A B C$ 中，若 $\sqrt{3} \sin A + \cos A = 1$ ， $A B = 2$ ， $A C = 3$ ，则边 $B C$ 的长为（）

A、 $\sqrt{7}$ B、 $\sqrt{19}$ C、 $\sqrt{10}$ D、4

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3. $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，若 $b^{2} = a c$ ， $c = 2 a$ ，则 $\cos C =$ （）．

A、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{3}{4}$ C、 $- \frac{\sqrt{2}}{4}$ D、 $- \frac{3}{4}$

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4. 在 $△ A B C$ 中， $A = 60 ° A B = 2$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，则 $B C$ 的长为（）．

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、2 C、 $2 \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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5. $△ A B C$ 的三个内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别是 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，若 $△ A B C$ 的面积是 $6 \sqrt{3}$ ， $B = \frac{π}{3}$ ， $a = 2 c$ ，则 $b =$ （）

A、2 B、4 C、6 D、8

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6. 在△ABC中，已知a²＋b²－c²＝ab，则C＝（）

A、60° B、120° C、30° D、45°或135°

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7. 在 $△ A B C$ 中， $△ A B C$ 的面积为S， $4 S = \sqrt{3} (a^{2} + c^{2} - b^{2})$ ， $\vec{A B} \cdot \vec{B C} = - 2$ ，且满足 $sin A + sin C = 2sin B$ ，则该三角形的外接圆的半径R为（）

A、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

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8. $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $2 \cos B \sin A = \sin C$ ，则 $△ A B C$ 的形状为（）

A、直角三角形 B、等腰三角形 C、等边三角形 D、等腰直角三角形

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9. $△ A B C$ 的三边满足 $a^{2} + b^{2} = c^{2} - \sqrt{3} a b$ ，则 $△ A B C$ 的最大内角为（）

A、60° B、90° C、120° D、150°

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二、多选题

10. 在 $△ A B C$ 中， $A B = \sqrt{3}$ ， $A C = 1$ ， $B = \frac{π}{6}$ ，则角A的可能取值为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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11. 在 $△ A B C$ 中，D在线段 $A B$ 上，且 $A D = 5, B D = 3$ 若 $C B = 2 C D, \cos ∠ C D B = - \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，则（）

A、 $\sin ∠ C D B = \frac{3}{10}$ B、 $△ A B C$ 的面积为8 C、 $△ A B C$ 的周长为 $8 + 4 \sqrt{5}$ D、 $△ A B C$ 为钝角三角形

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三、填空题

12. 在 $△ A B C$ 中，三个内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别是 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，若 $a = 2$ ， $b = 3$ ， $c = 4$ ，则 $\cos A =$ .

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13. 已知 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为 $△ A B C$ 的三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边， $a = c = 5$ ，且 $a^{2} - b^{2} + b c \cos A = - \frac{7}{25} a c$ ， $G$ 为 $△ A B C$ 的重心，则 $| G A | =$

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14. 已知△ $A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ， $c = 4$ ， $A = \frac{π}{3}$ ，且△ $A B C$ 的面积为 $\sqrt{3}$ ，则 $b =$ ； $\cos C =$ .

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15. 在 $△ A B C$ 中. $A C = \sqrt{7} ， B C = 2 ， B = 60 °$ .则 $△ A B C$ 的面积等于．

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16. 在 $△ A B C$ 中内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，面积为 $S$ ，且 $a^{2} + b^{2} - c^{2} = 4 \sqrt{3} S$ ，则 $C$ 的值为.

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 $\frac{\cos B}{b} + \frac{\cos C}{c} = \frac{1}{a}$ ，且 $a = 4, b > a > c$ ．

(1)、求 $b c$ 的值；

(2)、若 $△ A B C$ 的面积 $S = 2 \sqrt{7}$ ，求 $\cos B$ ．

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18. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 2 A C$ ， $∠ B A C$ 的角平分线交 $B C$ 于点 $D$ ．

(1)、求 $\frac{S_{△ A B D}}{S_{△ A D C}}$ 的值；

(2)、若 $A C = 1 ， B D = \sqrt{2}$ ，求 $A D$ 的长．

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19. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且 $a = 2, \frac{a^{2} + c^{2} - b^{2}}{4 a \cos A} = \frac{\tan A}{\tan B}$ .

(1)、若 $△ A B C$ 的面积S满足 $S = 2 \cos A$ ，求 $\vec{A B} \cdot \vec{C A}$ 的值；

(2)、若边 $B C$ 上的中线为 $A D$ ，求 $A D$ 长的最小值.

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20. 设 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，已知 $4 \sin^{2} A + 4 \cos A = 5$ .
（Ⅰ）求角 $A$ ；

（Ⅱ）若 $\frac{a}{b - c} = 2 \sin A$ ，求角 $B$ ， $C$ .

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21. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ，C所对的边分别为a，b，c，它的面积为 $S$ 且满足 $S = \frac{\sqrt{3}}{4} (a^{2} + c^{2} - b^{2})$ ， $b = \sqrt{21}$ .

(1)、求角 $B$ 的大小；

(2)、当 $a + c = 9$ 时，求 $a$ ， $c$ 的值.

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高中数学人教A版（2019）必修二 第六章 6.4 平面向量的应用（余弦定理）

一、单选题

二、多选题

三、填空题

四、解答题

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