云南西南名校2021届高三下学期理数联考试卷

试卷更新日期：2021-03-31 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 5 \leq 2 x - 1 \leq 5}$ ， $B = {x | y = \sqrt{9 - 3^{x}}}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $[- 2, 2]$ B、 $(- \infty, 2]$ C、 $[2, + \infty)$ D、 $(- \infty, 3]$

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2. 若 $z (2 + i) = 4 - 3 i$ ，则 $z$ 的实部为（）

A、2 B、-2 C、1 D、-1

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3. 如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为棱 $C C_{1}$ 的中点， $F$ 为底面 $A B C D$ 内一点，则“ $F$ 为棱 $B C$ 的中点”是“ $E F //$ 平面 $A B C_{1} D_{1}$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 一百零八塔，位于宁夏吴忠青铜峡市，是始建于西夏时期的喇嘛式实心塔群，是中国现存最大且排列最整齐的喇嘛塔群之一.一百零八塔，因塔群的塔数而得名，塔群随山势凿石分阶而建，由下而上逐层增高，依山势自上而下各层的塔数分别为1，3，3，5，5，7，…，若该数列从第5项开始成等差数列，则该塔群共有（）

A、10层 B、11层 C、12层 D、13层

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5. 函数 $f (x) = 1 - 3 \sin x$ 在 $(- 2 π ， \frac{5 π}{6})$ 上的零点个数为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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6. 已知随机变量 $ξ ~ B (12, p)$ ，且 $E (2 ξ - 3) = 5$ ，则 $D (3 ξ) =$ （）

A、 $\frac{8}{3}$ B、8 C、12 D、24

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7. $x {(x - \frac{1}{x})}^{5}$ 的展开式中常数项为（）

A、10 B、-10 C、5 D、-5

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8. “一骑红尘妃子笑，无人知是荔枝来”描述了封建统治者的骄奢生活，同时也讲述了古代资源流通的不便利.如今我国物流行业蓬勃发展，极大地促进了社会经济发展和资源整合.已知某类果蔬的保鲜时间 $y$ (单位：小时)与储藏温度 $x$ (单位：℃)满足函数关系 $y = e^{a x + b}$ ( $a$ ， $b$ 为常数)，若该果蔬在6℃的保鲜时间为216小时，在24℃的保鲜时间为8小时，且该果蔬所需物流时间为3天，则物流过程中果蔬的储藏温度(假设物流过程中恒温)最高不能超过（）

A、9℃ B、12℃ C、18℃ D、20℃

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9. 执行如图所示的程序框图，若输入的 $k = 3$ ，则输出的 $S =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、0

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10. 设双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{24 a^{2}} = 1 (a > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，若 $P$ 为 $C$ 右支上的一点，且 $P F_{1} ⊥ P F_{2}$ ，则 $\tan ∠ P F_{2} F_{1} =$ （）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{7}{4}$ C、2 D、 $\frac{12}{5}$

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11. 设 ${a_{n} + n^{2}}$ 为等比数列，且 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 0$ ，现有如下四个命题：
① $a_{1}, a_{2}, a_{3}$ 成等差数列；② $a_{5}$ 不是质数；③ ${a_{n} + n^{2}}$ 的前 $n$ 项和为 $2^{n + 1} - 2$ ；④数列 ${a_{n}}$ 存在相同的项.其中所有真命题的序号是（）

A、①④ B、①②③ C、①③ D、①③④

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12. 已知 $f (x)$ 为定义在 $R$ 上的偶函数，当 $x \neq 0$ 时，恒有 $x f^{'} (x) < 0$ ，则（）

A、 $f (\log_{5} \frac{1}{3}) > f (\frac{7}{9}) > f (\log_{8} \frac{1}{5})$ B、 $f (\log_{5} \frac{1}{3}) > f (\log_{8} \frac{1}{5}) > f (\frac{7}{9})$ C、 $f (\log_{8} \frac{1}{5}) > f (\log_{5} \frac{1}{3}) > f (\frac{7}{9})$ D、 $f (\frac{7}{9}) > f (\log_{8} \frac{1}{5}) > f (\log_{5} \frac{1}{3})$

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $120^{\circ}$ ， $| \vec{a} | = 2$ ， $| \vec{b} | = 1$ ，若 $(\vec{a} + 3 \vec{b}) ⊥ (\vec{a} + λ \vec{b})$ ，则 $λ =$ .

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14. 若 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + y - 6 \leq 0 ， \\ 2 x + y - 4 \geq 0 ， \\ x - 2 y + 4 \leq 0 ， \end{array}$ 则 $z = x + 2 y$ 的最大值为.

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15. 如图，已知面积为4的正方形 $A B C D$ 的四个顶点均在球 $O$ 的球面上， $⊙ O_{1}$ 为正方形 $A B C D$ 的外接圆， $△ A O_{1} O$ 为等腰直角三角形，则球 $O$ 的体积为.

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16. 已知抛物线 $C$ ： $y^{2} = 6 x$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l_{0}$ ，过 $F$ 且斜率为1的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点( $A$ 在 $B$ 的上方)，过点 $A$ 作 $A P ⊥ l_{0}$ ，垂足为 $P$ ，点 $G$ 为 $∠ P A B$ 的角平分线与 $l_{0}$ 的交点，则 $| F G | =$ .

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三、解答题

17. $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ .已知 $(\sqrt{3} - \cos A) c = a \cos C$ .

(1)、求 $\frac{c}{b}$ ；

(2)、若 $\cos A = \frac{c}{2 b}$ ，且 $△ A B C$ 的面积为 $\frac{9 \sqrt{11}}{4}$ ，求 $a$ .

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18. 针对偏远地区因交通不便､消息闭塞导致优质农产品藏在山中无人识的现象，各地区开始尝试将电商扶贫作为精准扶贫的重要措施.为了解电商扶贫的效果，某部门随机就100个贫困地区进行了调查，其当年的电商扶贫年度总投入(单位：万元)及当年人均可支配年收入(单位：元)的贫困地区数目的数据如下表：

人均可支配年收入(元) 电商扶贫年度总投入(万元)	(5000，10000]	(10000，15000]	(15000，20000]
(0，500]	5	3	2
(500，1000]	3	21	6
(1000，3000)	2	34	24

附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

$P (K^{2} \geq k)$	0.050	0.01	0.005
$k$	3.841	6.635	7.879

(1)、估计该年度内贫困地区人均可支配年收入过万的概率，并求本年度这100个贫困地区的人均可支配年收入的平均值的估计值(同一组数据用该组数据区间的中间值代表)；

(2)、根据所给数据完成下面的列联表，并判断是否有99%的把握认为当地的人均可支配年收入是否过万与当地电商扶贫年度总投入是否超过千万有关.

	人均可支配年收入≤10000元	人均可支配年收入>10000元
电商扶贫年度总投入不超过1000万
电商扶贫年度总投入超过1000万

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19. 以原点 $O$ 为中心的椭圆 $C$ 的焦点在 $x$ 轴上， $G$ 为 $C$ 的上顶点，且 $C$ 的长轴长和短轴长为方程 $x^{2} - 8 x + 12 = 0$ 的两个实数根.

(1)、求 $C$ 的方程与离心率；

(2)、若点 $N$ 在 $C$ 上，点 $M$ 在直线 $y = 2$ 上， $| G N | = 2 | G M |$ ，且 $G N ⊥ G M$ ，求点 $N$ 的坐标.

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20. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 的展开图中，点 $P$ 分别对应点 $P_{1}$ ， $P_{2}$ ， $P_{3}$ ， $P_{4}$ ，已知 $A$ ， $D$ 均在线段 $P_{1} P_{3}$ 上，且 $P_{1} P_{3} ⊥ P_{2} C$ ， $P_{1} P_{3} \cap P_{2} C = D$ ，四边形 $A B C P_{2}$ 为等腰梯形， $A B // C P_{2}$ ， $A B = \frac{1}{2} B C = \frac{1}{3} C P_{2}$ .

(1)、若 $M$ 为线段 $B C$ 的中点，证明： $B C ⊥$ 平面 $P D M$ .

(2)、求二面角 $A - P B - C$ 的余弦值.

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21. 已知函数 $f (x) = e^{a x} - x$ .

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0 ， f (0))$ 处切线的斜率为1，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若不等式 $f (x) \geq e^{a x} \ln x - a x^{2}$ 对 $x \in (0 ， e]$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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22. 在直角坐标系 $x O y$ 中，直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = - 4 + t \cos α, \\ y = - 3 + t \sin α \end{array}$ ( $t$ 为参数， $- \frac{π}{4} < α < \frac{π}{2}$ ).以坐标原点为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 $C$ 的极坐标方程为 $ρ + 6 \sin θ = 0$ .

(1)、求曲线 $C$ 与直线 $l$ 的直角坐标方程；

(2)、若直线 $l$ 与曲线 $C$ 有公共点，求 $\tan α$ 的取值范围.

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23. 设 $x$ ， $y$ ， $z$ 均为正实数，且 $x + 2 y + z = 4$ .

(1)、证明： $x^{2} + 2 y^{2} + z^{2} \geq 4$ .

(2)、求 $\sqrt{x} + \sqrt{y} + \sqrt{z}$ 的最大值.

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