新疆维吾尔自治区2021届高三理数第二次联考能力测试试卷

试卷更新日期：2021-03-31 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x ∣ y = \lg (x - 2)}$ ， $B = {x ∣ x^{2} - x - 12 < 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(2, 4)$ B、 $(- 3, 4)$ C、 $(2, 3)$ D、 $(- 4, 3)$

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2. 若复数 $z = \frac{2 - i}{1 + i}$ ，复数 $z$ 在复平面对应的点为 $Z$ ，则向量 $\vec{O Z}$ ( $O$ 为原点)的模 $| \vec{O Z} | =$ （）

A、2 B、 $\sqrt{2}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ D、 $\frac{5}{2}$

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3. 已知 $α$ ， $β$ 表示不同平面，则 $α / / β$ 的充分条件是（）

A、存在直线 $a$ ， $b$ ，且 $a, b \subset α$ ， $a / / β$ ， $b / / β$ B、存在直线 $a$ ， $b$ ，且 $a \subset α$ ， $b \subset β$ ， $a / / β$ ， $b / / α$ C、存在平面 $γ$ ， $α ⊥ γ$ ， $β ⊥ γ$ D、存在直线 $a, a ⊥ α$ ， $a ⊥ β$

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4. 《九章算术》大约成书于公元一世纪，是我国最著名的数学著作.经过两千多年的传承，它的贡献一方面是所解决生活应用问题的示范，另一方面是所蕴涵的数学思想，这对我国古代数学的发展起着巨大的推动作用.如在第一章《方田三七》中介绍了环田计算方法，即圆环的面积计算：即将圆环剪开拉直成为一个等腰梯形，如图，计算这个等腰梯形的面积就是圆环的面积.据此思想我们可以计算扇环面积.中国折扇扇面艺术也是由来已久，传承着唐宋以来历代书画家的诗情画意.今有一扇环折扇，扇面外弧长 $40 cm$ ，内弧长 $20 cm$ ，该扇面面积为 ${450cm}^{2}$ ，则扇面扇骨(内外环半径之差)长为（）

A、10 B、15 C、20 D、25

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5. ${(x + \frac{1}{x} - 2)}^{6}$ 的展开式中含 $x^{5}$ 项的系数为（）

A、12 B、-12 C、24 D、-24

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6. 已知函数 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ ，满足 $f (3 + x) = f (3 - x)$ ，且 $f (4) < f (5)$ ，则不等式 $f (1 - x) < f (1)$ 的解集为（）

A、 $(0, + \infty)$ B、 $(- 2, + \infty)$ C、 $(- 4, 0)$ D、 $(2, 4)$

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7. $5 G$ ，顾名思义是第五代通信技术.技术中信息容量公式就是著名的香农公式： $C = B \log_{2} (1 + \frac{S}{N})$ ，它表示：在受噪声干扰的信息中最大信息传送速率 $C$ 取决于信道宽度 $B$ ，信道内信息的平均功率 $S$ 及信道内部的高斯噪声功率 $N$ 的大小，其中 $\frac{S}{N}$ 叫做信噪比.按照香农公式，若不改变信道宽度 $B$ ，而将信噪比从 $1000$ 提高到 $4000$ ，则传送速率 $C$ 大约增加了（）

A、10% B、20% C、25% D、50%

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8. 已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差 $d \neq 0$ ，且 $a_{4}^{2} + a_{6}^{2} + 40 d = a_{8}^{2} + a_{10}^{2}$ ，则该数列 ${a_{n}}$ 的前 $13$ 项的和为（）

A、 $\frac{65}{2}$ B、65 C、130 D、150

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9. 在四边形 $A B C D$ 中， $\vec{A B} = \vec{D C} = (6, 8)$ ，且 $\frac{\vec{A B}}{| \vec{A B} |} + \frac{\vec{A D}}{| \vec{A D} |} = \frac{\vec{A C}}{| \vec{A C} |}$ ，则 $| \vec{B D} | =$ （）

A、5 B、10 C、 $10 \sqrt{2}$ D、 $10 \sqrt{3}$

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10. 已知双曲线 $T ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 过 $F_{1}$ 的直线与双曲线的左右两支分别交于 $A$ ， $B$ 两点， $\vec{A B} + 2 {\vec{A F}}_{1} = 0$ ， $\vec{B F_{1}} \cdot {\vec{B F}}_{2} = 0$ ，则双曲线的离心率为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{3} + 1$

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11. 若函数 $f (x) = \sin 2 x - a \cos 2 x$ 的一条对称轴为 $x = \frac{π}{8}$ ，则下列四个命题
（1）函数 $f (x)$ 的一个对称中心为 $(- \frac{π}{8} ， 0)$ ；（2）函数 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{8} ， \frac{5 π}{8}]$ 上单调递减；（3）将函数 $f (x)$ 图象向右平移 $\frac{π}{8}$ 个单位，得到的函数为奇函数；（4）若函数 $f (x) = m$ 在区间 $[0 ， π]$ 上有两个不同的实根 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ，则 $x_{1} + x_{2} = \frac{5 π}{4}$ .
其中正确的命题有（）

A、1个 B、2个 C、3个 D、4个

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12. 若 $x = 1$ 是函数 $f (x) = a_{n + 1} x^{4} - a_{n} x^{3} - a_{n + 2} x + 1 (n \in N_{*})$ 的极值点，数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 3$ ，设 $b_{n} = \log_{3} a_{n + 1}$ ，记 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数.设 $S_{n} = [\frac{2020}{b_{1} b_{2}} + \frac{2020}{b_{2} b_{3}} + \dots + \frac{2020}{b_{n} b_{n + 1}}]$ ，若不等式 $S_{n} ⩾ t$ 对 $\forall n \in N_{+}$ 恒成立，则实数 $t$ 的最大值为（）

A、2020 B、2019 C、2018 D、1010

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二、填空题

13. 若实数 $x$ ， $y$ 满足不等式组 ${\begin{array}{l} x + y - 2 ⩾ 0 \\ x - y + 2 ⩾ 0 \\ x ⩽ 2 \end{array}$ ，则 $z = 4^{x} \cdot 2^{y}$ 的最大值为.

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14. 抛物线 $x^{2} = 2 p y (p > 0)$ 的准线 $l$ 被圆 $x^{2} + y^{2} - 6 x - 1 = 0$ 截得的弦长为 $4$ ，则 $p =$ .

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15. 甲乙两个球队进行篮球决赛，采取五局三胜制(共赢得三场比赛的队伍获胜，最多比赛五局)，每场球赛无平局.根据前期比赛成绩，甲队的主场安排为“主客主主客”.设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛相互独立，则甲队以 $3 : 2$ 获胜的概率为.

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16. 三棱锥 $S - A B C$ 的底面是边长为 $12$ 的等边三角形 $S B = S C = 6 \sqrt{2}$ ，二面角 $S - B C - A$ 为 $60^{\circ}$ ，则三棱锥 $S - A B C$ 的外接球的表面积为.

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三、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且 $\sqrt{3} a \sin B = 2 b \cos^{2} \frac{B + C}{2}$ .

(1)、求角 $A$ 的大小；

(2)、若 $B C$ 边上的中线 $A D = 2$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值.

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18. 在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为菱形，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $△ P A D$ 为等边三角形， $E$ 为 $P C$ 中点.

(1)、求证： $P A / /$ 平面 $B D E$ .

(2)、若 $P A = 4$ ，三棱锥 $C - E B D$ 的体积为 $4$ ，求二面角 $C - D E - B$ 的正弦值.

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19. 某线上学习平台为保证老学员在此平台持续报名学习，以便吸引更多学员报名，从用户系统中随机选出200名学员，对该学习平台的教学成效评价和课后跟踪辅导评价进行了统计，并用以估计所有学员对该学习平台的满意度.其中对教学成效满意率为0.9，课后跟踪辅导的满意率为0.8，对教学成效和课后跟踪辅导都不满意的有10人.

附： $2 \times 2$ 列联表参考公式： $k^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ .

临界值：

$P (K^{2} ⩾ k_{0})$	0.100	0.050	0.025	0.010	0.001
$k_{0}$	2.706	3.814	50.24	6.635	10.828

(1)、完成下面

2 \times 2

列联表，并分析是否有99.9%把握认为教学成效满意度与跟踪辅导满意度有关.

	对教学成效满意	对教学成效不满意	合计
对课后跟踪辅导满意
对课后跟踪辅导不满意
合计

(2)、若用频率代替概率，假设在学习服务协议终止时对教学成效和课后跟踪辅导都满意学员的续签率为90%，只对其中一项不满意的学员续签率为60%，对两项都不满意的续签率为10%.从该学习平台中任选10名学员，估计在学习服务终止时续签学员人数.

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20. 已知直线 $l$ 与圆 $O ： x^{2} + y^{2} = 8$ 相切，动点 $P$ 到 $F_{1} (- 2 ， 0)$ 与 $F_{2} (2 ， 0)$ 两点距离之和等于 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 两点到直线 $l$ 的距离之和.

(1)、设动点 $P$ 的轨迹为 $C$ ，求轨迹 $C$ 的方程；

(2)、对于椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ ，上一点 $A (x_{0} ， y_{0})$ ，以 $A$ 为切点的切线方程为 $\frac{x x_{0}}{a^{2}} + \frac{y y_{0}}{b^{2}} = 1$ .设 $G$ 为 $x = 4$ 上任意一点，过点 $G$ 作轨迹 $C$ 的两条切线 $G M$ ， $G N$ ， $M$ ， $N$ 为切点.
①求证直线 $M N$ 过定点；

②求 $△ F_{1} M N$ 面积的最大值.

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21. 已知函数 $f (x) = \ln (x + 1) - a x^{2} - x$ . $a \in R$

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若函数 $f (x)$ 对 $\forall m ， n \in [0 ， 1]$ $(m \neq n)$ 都有 $\frac{f (m + 1) - f (n + 1)}{m - n} < 1$ 恒成立，求 $a$ 的取值范围.

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22. 已知在直角坐标系 $x O y$ 中曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \cos 2 α \\ y = 1 + 2 \sin^{2} α \end{array}$ ( $α$ 为参数).以 $O$ 为极点， $x$ 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ^{2} = \frac{1}{1 + (a - 1) \sin^{2} θ} (a > 0)$ .

(1)、求曲线 $C_{1}$ 的普通方程与曲线 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、曲线 $C_{1}$ 与曲线 $C_{2}$ 有两个公共点，求 $a$ 的取值范围.

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23. 已知实数 $a > 0$ ，函数 $f (x) = | 2 x - a | + | x + \frac{1}{a} |$ .

(1)、若 $f (0) < \frac{5}{2}$ ，求实数 $a$ 的取值范围

(2)、若 $f (x) ⩾ 3$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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