四川省成都市蓉城名校联盟2020-2021学年高三理数第二次联考试卷

试卷更新日期：2021-03-31 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 若全集 $U = {a, b, c, d, e, f}$ ， $M = {a, d}$ ， $N = {b, c}$ ，则集合 ${e, f}$ 等于（）

A、 $∁_{U} (M \cap N)$ B、 $(∁_{U} M) \cap N$ C、 $(∁_{U} M) \cap (∁_{U} N)$ D、 $(∁_{U} M) \cup (∁_{U} N)$

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2. 若复数 $z = \frac{{(1 + i)}^{4}}{3 + 4 i}$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{2}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{2}}{5}$

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3. 下列函数在区间 $(- 1, 1)$ 内有零点且单调递增的是（）

A、 $y = {0.3}^{x} - \frac{1}{3}$ B、 $y = x^{3} + 1$ C、 $y = \log_{\frac{1}{3}} (- x)$ D、 $y = 3^{x} - 1$

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4. 某实验室研发新冠疫苗，试验中需对 $x$ ， $y$ 两项指标进行对照试验．已经进行的连续五次试验所测得的指标数据如下表：

$x$

110

115

120

125

130

$y$

85

89

90

92

94

已知 $y$ 与 $x$ 具有线性相关关系，利用上表中的五组数据求得回归直线方程为 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ．根据该回归方程，预测下一次试验中当 $x = 150$ 时， $\hat{y} = 106.2$ ，则 $\hat{b}$ 的值为（）

A、0.48 B、0.5 C、0.52 D、0.54

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5. $\int_{- 2}^{2} (\sin x + \sqrt{4 - x^{2}}) d x =$ （）

A、4 B、2π C、 $4 + 2 π$ D、8

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6. 在 $△ A B C$ 中， $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为 $∠ A$ ， $∠ B$ ， $∠ C$ 的对边，如果 $\frac{\sin A}{\sin B - \sin C} = \frac{b + c}{b - a}$ ，那么 $\cos C$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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7. —对夫妇带着他们的两个小孩一起去坐缆车，他们随机地坐在了一排且连在一起的 $4$ 个座位上（一人一座）．为安全起见，管理方要求每个小孩旁边要有家长相邻陪坐，则他们 $4$ 人的坐法符合安全规定的概率是（）

A、 $\frac{1}{3}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{2}{3}$ D、 $\frac{5}{6}$

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8. 已知椭圆 $C$ 的焦点为 $F_{1} (- 1 ， 0)$ ， $F_{2} (1 ， 0)$ ，且椭圆与直线 $l$ ： $x + y = 7$ 有公共点，则椭圆长轴长的最小值为（）

A、10 B、7 C、 $2 \sqrt{7}$ D、 $2 \sqrt{5}$

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9. 已知随机变量 $X$ 服从二项分布 $B (a ， \frac{1}{2})$ ，其期望 $E (X) = 2$ ，当 ${\begin{array}{l} x \geq 1 \\ y \geq 2 \\ x + y \leq 4 \end{array}$ 时，目标函数 $z = x - y$ 的最小值为 $b$ ，则 ${(a + b x)}^{5}$ 的展开式中各项系数之和为（）

A、1 B、 $2^{5}$ C、 $3^{5}$ D、 $4^{5}$

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10. 已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ ，过抛物线的焦点 $F$ 作直线与抛物线交于两点 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ ，且抛物线的准线与 $x$ 轴的交点为 $M$ ，则以下结论错误的是（）

A、 $x_{1} x_{2} = \frac{p^{2}}{4}$ B、 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = - \frac{3}{4} P^{2}$ C、 $∠ A M B = 90 °$ D、 $\frac{1}{| F A |} + \frac{1}{| F B |} = \frac{2}{p}$

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11. 已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个半圆，设圆锥的顶点为 $V$ ， $A$ 、 $B$ 是底面圆周上的两个不同的动点，给出下列四个判断，其中正确的是（）
①圆锥的侧面积为 $4 π$ ②母线与圆锥底面所成角的大小为60°③ $△ V A B$ 可能为等腰直角三角形④ $△ V A B$ 面积的最大值为 $\sqrt{3}$

A、①③ B、②④ C、①④ D、②③

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12. 已知 $a > 0$ ，函数 $f (x) = (a + 1) x^{2} - x + \sin x + \cos x + a - 2$ ， $x \in R$ ．记函数 $f (x)$ 的最小值为 $M$ ，函数 $f (f (x))$ 的最小值为 $N$ ，当 $M \geq N$ 时， $a$ 的最大值是（）

A、4 B、3 C、2 D、1

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二、填空题

13. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \sin x, x \geq 0 \\ f (- x), x < 0 \end{array}$ ，则 $f (- \frac{π}{6}) =$ ．

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14. 已知 $2^{x} = 3^{y} = a$ ，若 $\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = 1$ ，则 $a =$ ．

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15. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果 $n = 6$ ，则 $t$ 的取值范围是．

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16. 已知双曲线 $C_{1}$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 与抛物线 $C_{2}$ ： $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点 $F$ 重合，过点 $F$ 作直线 $l$ 与抛物线 $C_{2}$ 交于 $A$ 、 $B$ 两点（ $A$ 点在 $x$ 轴上方）且满足 $| A F | = 3 | B F |$ ，若直线 $l$ 只与双曲线右支相交于两点，则双曲线 $C_{1}$ 的离心率 $e$ 的取值范围是．

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三、解答题

17. 已知数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} = 2$ ，若向量 $\vec{a} = (a_{n + 1}, 2)$ ， $\vec{b} = (1, - a_{n})$ ， $n \in N^{*}$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式 $a_{n}$ ；

(2)、已知数列 ${b_{n}}$ ，若 $b_{n} = \log_{2} a_{n}$ ，求数列 ${a_{n} b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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18. 某疫苗研发机构将其生产的某款疫苗在征集的志愿者中进行人体试验，现随机选取100名试验者检验结果并评分（满分为100分），得到如图所示的频率分布直方图．

(1)、求 $t$ 的值，并估计所有试验者的平均得分（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

(2)、据检测，这100名试验者中的甲、乙、丙三人注射疫苗后产生抗体的概率分别为 $\frac{1}{2}$ ， $\frac{1}{3}$ ， $\frac{1}{4}$ ，若同时给此三人注射该疫苗，记此三人中产生抗体的人数为随机变量 $ξ$ ，求随机变量 $ξ$ 的分布列及其期望值 $E (ξ)$ ．

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19. 已知四棱锥 $P - A B C D$ 及其三视图如图所示，其底面 $A B C D$ 是正方形，且平面 $A B C D ⊥$ 平面 $P D C$ ，当 $M$ 、 $N$ 分别是棱 $P C$ 、 $A D$ 的中点时，连接 $M N$ 、 $B M$ ．

(1)、证明：直线 $M N //$ 平面 $P A B$ ；

(2)、求直线 $M B$ 与平面 $P A B$ 所成角的正弦值．

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20. 已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，短轴长为 $2 \sqrt{3}$ ，点 $P$ 在椭圆上， $P F_{1} ⊥ x$ 轴，且 $| P F_{1} | = \frac{3}{2}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、将椭圆 $C$ 按照坐标变换 ${\begin{array}{l} x^{'} = \frac{1}{2} x \\ y^{'} = \frac{\sqrt{3}}{3} y \end{array}$ 得到曲线 $C_{1}$ ，若直线 $l$ 与曲线 $C_{1}$ 相切且与椭圆 $C$ 相交于 $M$ ， $N$ 两点，求 $| M N |$ 的取值范围．

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21. 已知函数 $f (x) = (x + t) \ln x$ ，若函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线与直线 $x - y = 0$ 平行．

(1)、求 $t$ 的值及函数 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、已知 $a > 0$ ，若函数 $y = e^{a x}$ 与函数 $y = \frac{f (\frac{1}{x})}{a x}$ 的图像在 $x \in (0 ， \frac{1}{e})$ 有交点，求实数 $a$ 的取值范围．

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 + \sin 2 α \\ y = \sin α + \cos α \end{array}$ （ $α$ 为参数），以原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 $l$ 的极坐标方程为 $ρ \sin (θ - \frac{π}{4}) = \sqrt{2}$ ．

(1)、求曲线 $C$ 的普通方程和直线 $l$ 的直角坐标方程；

(2)、设点 $P$ 是曲线 $C$ 上的动点，求点 $P$ 到直线 $l$ 距离的最值．

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23. 已知函数 $f (x) = | x - 1 | + 2 | x |$ ．

(1)、解不等式 $f (x) \geq 2$ ；

(2)、若 $f (x)$ 的最小值为 $A$ ，且正实数 $m$ ， $n$ 满足 $m + n = A$ ，求 $(\frac{1}{m} + m) (\frac{1}{n} + n)$ 的最小值．

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$x$	110	115	120	125	130
$y$	85	89	90	92	94