陕西省咸阳市2020-2021学年高三上学期理数高考模拟检测试卷（一）

试卷更新日期：2021-03-31 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 若集合 $A = {x ∣ x^{2} - 2 x - 3 < 0} ， B = {0, 1, 2, 3, 4}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${0, 2}$ B、 ${0, 1, 2}$ C、 ${3, 4}$ D、 ${0, 2, 3}$

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2. 设复数 $z = \frac{1 - i}{1 + i}$ ，那么在复平面内复数 $3 z - 1$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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3. 据《乾陵百迷》记载：乾陵是陕西关中地区唐十八陵之一，位于乾县县城北部的梁山上，是唐高宗李治和武则天的合葬墓．乾陵是目前保存最完好的一座帝王陵墓.1961年3月被国务院公布为第一批全国重点文物保护单位．乾陵气势雄伟，规模宏大．登乾陵需要通过一段石阶路，如图所示，石阶路共526级台阶（各台阶高度相同）和18座平台，宽11米，全路用32000块富平墨玉石砌成．右阶有许多象征意义．比如第一道平台的34级台阶，象征唐高宗李治在位执政34年，第二道平台的21级台阶，象征武则天执政21年……第九道平台的108级台阶，象征有108个“吉祥”现已知这108级台阶落差高度为17.69米，那么乾陵石阶路526级台阶的落差高度约为（）

A、86.2米 B、83.6米 C、84.8米 D、85.8米

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4. 已知某圆锥的轴截面是边长为4的正三角形，则它的体积为（）．

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3} π$ B、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3} π$ C、 $\frac{8 \sqrt{3}}{3} π$ D、 $2 \sqrt{3} π$

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5. 已知函数 $f (x) = \frac{2}{2^{x} + 1} - 1$ ，且 $f (4^{x} - 1) > f (3)$ ，则实数 $x$ 的取值范围是（）．

A、 $(2 ， + \infty)$ B、 $(- \infty ， 2)$ C、 $(1 ， + \infty)$ D、 $(- \infty ， 1)$

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6. 中国书法历史悠久、源远流长．书法作为一种艺术，以文字为载体，不断地反映和丰富着华夏民族的自然观、宇宙观和人生观．谈到书法艺术，就离不开汉字．汉字是书法艺术的精髓．汉字本身具有丰富的意象和可塑的规律性，使汉字书写成为一门独特的艺术．我国书法大体可分为篆、隶、楷、行、草五种书体，如图：以“国”字为例，现有甲乙两名书法爱好者分别从五种书体中任意选两种进行研习，且甲乙选书体互相独立，则甲不选隶书体，乙不选草书体的概率为（）．

A、 $\frac{4}{25}$ B、 $\frac{8}{25}$ C、 $\frac{9}{25}$ D、 $\frac{18}{25}$

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7. 已知 $⊙ M$ 经过坐标原点，半径 $r = \sqrt{2}$ ，且与直线 $y = x + 2$ 相切，则 $⊙ M$ 的方程为（）．

A、 ${(x + 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 2$ 或 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 2$ B、 ${(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 2$ 或 ${(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 2$ C、 ${(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 2$ 或 ${(x + \sqrt{2})}^{2} + y^{2} = 2$ D、 ${(x - 1)}^{2} + {(y + 1)}^{2} = 2$ 或 ${(x - \sqrt{2})}^{2} + y^{2} = 2$

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8. 若将函数 $y = 3 \sin 2 x$ 的图像向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，平移后图像的一条对称轴为（）．

A、 $x = \frac{5 π}{6}$ B、 $x = \frac{5 π}{12}$ C、 $x = \frac{π}{3}$ D、 $x = \frac{2 π}{3}$

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9. 渭河某处南北两岸平行，如图所示.某艘游船从南岸码头 $A$ 出发北航行到北岸.假设游船在静水中航行速度大小为 $| v_{1} | = 10 km / h$ ，东水流速度的大小为 $| v_{2} | = 6 km / h$ .设速度 $v_{1}$ 与速度 $v_{2}$ 的夹角为 $120 °$ ，北岸的点 $A^{'}$ 在码头 $A$ 的正北方向.那么该游船航行到达北岸的位置应（）

A、在 $A^{'}$ 东侧 B、在 $A^{'}$ 西侧 C、恰好与 $A^{'}$ 重合 D、无法确定

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10. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 上存在两点 $A$ ， $B$ 关于直线 $y = x - 6$ 对称，且线段 $A B$ 的中点坐标为 $M (2, - 4)$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为（）．

A、 $\sqrt{2}$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $\sqrt{5}$

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11. 在直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = B C = 2$ ， $∠ A B C = \frac{π}{2}$ ，若该直三棱柱的外接球表面积为 $16 π$ ，则此直三棱柱的高为（）．

A、4 B、3 C、 $4 \sqrt{2}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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12. 已知函数 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的奇函数，且当 $x < 0$ 时，函数 $f (x) = x e^{x} + 2$ ，若关于 $x$ 的函数 $F (x) = {[f (x)]}^{2} + (a - 2) f (x) - 2 a$ 恰有2个零点，则实数 $a$ 的取值范围为（）．

A、 $(- \infty ， \frac{1}{e} - 2)$ B、 $(- \infty ， - 2) \cup (2 ， + \infty)$ C、 $(- 2 ， \frac{1}{e} - 2) \cup (2 - \frac{1}{e} ， 2)$ D、 $(\frac{1}{e} - 2 ， 2 - \frac{1}{e})$

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二、填空题

13. 若 $x ， y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + y - 2 \geq 0 ， \\ x - y + 2 \geq 0 ， \\ x \leq 2. \end{array}$ 则 $z = x + 3 y$ 的最大值为．

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14. $(3 - \frac{2}{x}) {(1 + x)}^{3}$ 的展开式中常数项为．

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15. 在 $△ A B C$ 中，角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ．已知 $3 b \cos C = 3 a - c$ ，且 $A = C$ ，则 $\sin A =$ ．

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16. 已知函数 $f (x) = \sin (\cos x) + \cos (\cos x)$ ，现有以下命题：
① $f (x)$ 是偶函数； ② $f (x)$ 是以 $2 π$ 为周期的周期函数；

③ $f (x)$ 的图像关于 $x = \frac{π}{2}$ 对称； ④ $f (x)$ 的最大值为 $\sqrt{2}$ ．

其中真命题有．

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三、解答题

17. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中，平面 $P A C ⊥$ 平面 $A B C$ ， $P C ⊥ A C$ ， $B C ⊥ A C$ ， $A C = P C = 2$ ， $C B = 4$ ， $M$ 是 $P A$ 的中点．

（Ⅰ）求证： $P A ⊥$ 平面 $M B C$ ；

（Ⅱ）设点 $N$ 是 $P B$ 的中点，求二面角 $N - M C - B$ 的余弦值．

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18. 设数列 ${a_{n}}$ 是公差大于零的等差数列，已知 $a_{1} = 3$ ， $a_{2}^{2} = a_{4} + 24$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = {\begin{array}{l} \sin a_{n} π (n 为奇数) \\ \cos a_{n} π (n 为偶数) \end{array}$ ，求 $b_{1} + b_{2} + \cdot \cdot \cdot + b_{2021}$ .

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19. 某公司招聘员工，分初试和面试两个阶段，初试通过方可进入面试．受新冠疫情影响，初试采取线上考核的形式，共考核 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 三项技能，其中 $A$ 必须过关， $B$ 、 $C$ 至少有一项过关才能进入面试．现有甲、乙、丙三位应聘者报名并参加初试，三人能否通过初试互不影响，每个人三项考核的过关率均相同，各项技能过关率如下表，且每一项考核能否过关相互独立．

考核技能

$A$

$B$

$C$

过关率

$\frac{2}{3}$

$\frac{1}{2}$

$\frac{1}{2}$

（Ⅰ）求甲应聘者能进入面试的概率；

（Ⅱ）用 $X$ 表示三位应聘者中能进面试的人数，求 $X$ 的分布列及期望 $E X$ ．

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20. 设 $O$ 为坐标原点，抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 与过点 $T (4, 0)$ 的直线相交于 $P$ ， $Q$ 两个点．
（Ⅰ）求证： $O P ⊥ O Q$ ；

（Ⅱ）试判断在 $x$ 轴上是否存在点 $M$ ，使得直线 $P M$ 和直线 $Q M$ 关于 $x$ 轴对称．若存在，求出点 $M$ 的坐标．若不存在，请说明理由．

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21. 已知函数 $f (x) = \ln x - \frac{a (2 x - 1)}{x + 1} (a \in R)$ 有两个极值点 $x_{1}$ 和 $x_{2}$ ．

(1)、求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、把 $\frac{x_{2}^{2}}{x_{1}} + \frac{x_{1}^{2}}{x_{2}}$ 表示为关于 $a$ 的函数 $g (a)$ ，求 $g (a)$ 的值域．

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22. 直角坐标系 $x O y$ 中，曲线C的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 3 \cos α \\ y = \sin α \end{array}$ （ $α$ 为参数），直线 $l$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 1 - t \\ y = 3 + t \end{array}$ （t为参数）．

(1)、求直线 $l$ 的普通方程，说明C是哪一种曲线；

(2)、设 $M ， N$ 分别为 $l$ 和C上的动点，求 $| M N |$ 的最小值．

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23. 已知函数 $f (x) = | 2 x | + | x - 1 | ， x \in R$ ．
（Ⅰ）求 $f (x) ⩾ 2$ 的解集；

（Ⅱ）若 $f (x) = k x$ 有2个不同的实数根，求实数k的取值范围．

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考核技能	$A$	$B$	$C$
过关率	$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{2}$	$\frac{1}{2}$