山西省吕梁市2021届高三上学期理数第一次模拟试卷

试卷更新日期：2021-03-31 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | - 2 \leq x \leq 2}$ ， $B = {x | x^{2} - 3 x - 4 < 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | - 2 \leq x < 4}$ B、 ${x | - 1 < x \leq 2}$ C、 ${x | - 1 < x < 4}$ D、 ${x | - 2 \leq x \leq 2}$

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2. 已知命题 $p :$ “ $\forall x \in R$ ， $a x^{2} + b x + c > 0$ ”，则 $\neg p$ 为（）

A、 $\forall x \in R$ ， $a x^{2} + b x + c \leq 0$ B、 $\exists x_{0} \in R$ ， $a x^{2} + b x + c \geq 0$ C、 $\exists x_{0} \in R$ ， $a x^{2} + b x + c \leq 0$ D、 $\forall x \in R$ ， $a x^{2} + b x + c < 0$

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3. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 1$ ， $4 a_{4} - a_{1} a_{7} - 4 = 0$ ，则 $a_{7} =$ （）

A、4 B、 $\frac{1}{4}$ C、8 D、 $\frac{1}{8}$

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4. 刘徽(约公元225年-295年)，魏晋时期伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一.他在割圆术中提出的“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术的核心思想是将一个圆的内接正 $n$ 边形等分成 $n$ 个等腰三角形(如图所示)，当 $n$ 变得很大时，这 $n$ 个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积.运用割圆术的思想，估计 $\sin 4 °$ 的值为（）

A、0.0524 B、0.0628 C、0.0785 D、0.0698

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5. 已知 $S_{n}$ 为等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和，满足 $a_{3} = 3 a_{1}$ ， $a_{2} = 3 a_{1} - 1$ ，则数列 ${\frac{S_{n}}{n}}$ 的前10项和为（）

A、 $\frac{55}{2}$ B、55 C、 $\frac{65}{2}$ D、65

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6. 已知 $a = \log_{2} 3$ ， $b = {0.2}^{3}$ ， $c = \log_{3} 4$ ，则 $a$ ､ $b$ ､ $c$ 的大小关系为（）

A、 $c > b > a$ B、 $b > a > c$ C、 $c > a > b$ D、 $a > c > b$

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7. 已知 $F$ 为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左焦点，若双曲线右支上存在一点 $P$ ，使直线 $P F$ 与圆 $x^{2} + y^{2} = a^{2}$ 相切，则双曲线离心率的取值范围是（）

A、 $(1 ， \sqrt{2})$ B、 $(\sqrt{2} ， + \infty)$ C、 $(1 ， \frac{\sqrt{2}}{2})$ D、 $(\frac{\sqrt{2}}{2} ， + \infty)$

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8. 若 $\frac{\sin 2 α}{1 - \cos 2 α} = m$ ，则 $\tan (α + \frac{π}{4})$ 等于（）

A、 $\frac{1 + m}{1 - m}$ B、 $\frac{1 - m}{1 + m}$ C、 $\frac{m + 1}{m - 1}$ D、 $\frac{m - 1}{m + 1}$

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9. 函数 $f (x) = \ln \frac{2 + x}{2 - x} \cos x$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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10. 已知函数 $f (x) = \sin (2 x + \frac{π}{3}) + \cos (2 x - \frac{π}{6})$ ，给出下列结论：① $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ ；②点 $(- \frac{π}{6} ， 0)$ ，是函数 $f (x)$ 的一个对称中心；③ $f (x)$ 在 $(- \frac{π}{4} ， \frac{π}{12})$ 上是增函数；④把 $y = 2 \sin 2 x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度就可以得到 $f (x)$ 的图象，则正确的是（）

A、①② B、③④ C、①②③ D、①②③④

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11. 已知 $f (x) = \ln (x^{2} + 1) - \frac{1}{2} x^{2}$ ，若 $f (x) = k$ 有四个不等的实根，则 $k$ 的取值范围为（）

A、 $(0 ， \ln 2 - \frac{1}{2})$ B、 $(- \infty ， \ln 2 - \frac{1}{2})$ C、 $(\ln 2 - \frac{1}{2} ， \ln 2 + \frac{1}{2})$ D、 $(\ln 2 + \frac{1}{2} ， + \infty)$

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12. 已知四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是矩形，侧面 $P A D$ 是正三角形，且侧面 $P A D ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A B = 2$ ，若四棱锥 $P - A B C D$ 外接球的体积为 $\frac{8 \sqrt{2} π}{3}$ ，则该四棱锥的表面积为（）

A、 $4 \sqrt{3}$ B、 $6 \sqrt{3}$ C、 $8 \sqrt{3}$ D、 $10 \sqrt{3}$

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二、填空题

13. 若向量 $\vec{a}$ 、 $\vec{b}$ 、 $\vec{c}$ 满足 $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c} = \vec{0}$ ， $| \vec{a} | = | \vec{b} | = 1$ ，则 $(\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{c} =$ .

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14. 已知曲线 $y = x^{3} + a x - 2$ 与 $x$ 轴相切，则 $a =$ .

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15. 已知直线 $l : x = m y + 1$ 过抛物线 $C : y^{2} = 2 p x$ 的焦点 $F$ ，交抛物线 $C$ 于 $A$ ､ $B$ 两点，若 $\vec{A F} = 2 \vec{F B}$ ，则直线 $l$ 的斜率为.

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16. 如图，已知棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $P$ 在线段 $B_{1} C$ 上运动，给出下列结论：

①异面直线 $A P$ 与 $D D_{1}$ 所成的角范围为 $[\frac{π}{3} ， \frac{π}{2}]$ ；

②平面 $P B D_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} C_{1} D$ ；

③点 $P$ 到平面 $A_{1} C_{1} D$ 的距离为定值 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ ；

④存在一点 $P$ ，使得直线 $A P$ 与平面 $B C C_{1} B_{1}$ 所成的角为 $\frac{π}{3}$ .

其中正确的结论是.

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三、解答题

17. 设 $a$ 为实数，函数 $f (x) = \sqrt{| x + a | - a} - x$ .

(1)、若 $a = 1$ ，求 $f (x)$ 的定义域；

(2)、若 $a \neq 0$ ，且 $f (x) = a$ 有两个不同的实数根，求 $a$ 的取值范围.

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18. 数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} = \frac{n + 2}{2 n} a_{n}$ .

(1)、求证：数列 ${\frac{a_{n}}{n (n + 1)}}$ 为等比数列；

(2)、设 $b_{n} = \frac{a_{n}}{n + 1}$ ，求 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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19. 在 $△ A B C$ 中，内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ .已知 $2 a - b = 2 c \cdot \cos B$ .

(1)、求角 $C$ ；

(2)、若 $a = 2$ ， $D$ 在边 $A B$ 上，且 $\vec{A D} = 2 \vec{D B}$ ， $C D = \sqrt{3}$ ，求 $b$ .

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20. 如图，四棱锥 $S - A B C D$ 中， $A B // C D$ ， $B C ⊥ C D$ ，侧面 $S C D$ 为等边三角形， $A B = B C = 4$ ， $C D = 2$ ， $S B = 2 \sqrt{5}$ .

(1)、求证： $B C ⊥ S D$ ；

(2)、求二面角 $B - A S - D$ 的余弦值.

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21. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $A (1, \frac{\sqrt{6}}{3})$ ， $B (0, - 1)$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、经过 $D (2, 1)$ ，且斜率为 $k$ 的直线 $l$ 交椭圆 $C$ 于 $P$ ､ $Q$ 两点(均异于点 $B$ )，证明：直线 $B P$ 与 $B Q$ 的斜率之和为定值.

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22. 已知函数 $f (x) = a \ln x - \sqrt{x} (a \in R)$ .

(1)、若 $f (x) \leq 0$ ，求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、求证： $\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{\ln (k^{2} + k)} > \sqrt{n + 1} - 1 (n \in N^{*})$ .

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