山西省晋中市2021届高三下学期理数二模试卷

试卷更新日期：2021-03-31 类型：高考模拟

进入出卷网下载

一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 1 < x < 4}, B = {x | x^{2} - 2 x - 3 ⩾ 0}$ ，则 $A \cup B$ 等于（）

A、 $(- 1, 1]$ B、 $[3, 4)$ C、 $(- \infty, - 1] \cup [3, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 1] \cup (1, + \infty)$

查看试题解析
2. 已知复数z满足 $z = \frac{6}{1 + i}$ ，则 $| z | =$ （）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、3 D、 $3 \sqrt{2}$

查看试题解析
3. 已知向量 $\vec{a} = (1, 3), \vec{b} = (m, 4)$ ，且 $\vec{b} ⊥ (2 \vec{a} - \vec{b})$ ，则m的值为（）

A、-2 B、2 C、4 D、-2或4

查看试题解析
4. 魔方又叫鲁比克方块（Rubk's Cube），是由匈牙利建筑学教授暨雕塑家鲁比克·艾尔内于1974年发明的机械益智玩具，与华容道、独立钻石棋一起被国外智力专家并称为智力游戏界的三大不可思议．三阶魔方可以看作是将一个各面上均涂有颜色的正方体的棱三等分，然后沿等分线把正方体切开所得，现将三阶魔方中1面有色的小正方体称为中心方块，2面有色的小正方体称为边缘方块，3面有色的小正方体称为边角方块，若从这些小正方体中任取一个，恰好抽到边缘方块的概率为（）

A、 $\frac{2}{9}$ B、 $\frac{8}{27}$ C、 $\frac{4}{9}$ D、 $\frac{1}{2}$

查看试题解析
5. 如图，一个四棱柱形容器中盛有水，在底面 $A B C D$ 中， $A B / / C D$ ， $A B = 3$ ， $C D = 1$ ，侧棱 $A A_{1} = 4$ ，若侧面 $A A_{1} B_{1} B$ 水平放置时，水面恰好过 $A D ， B C ， B_{1} C_{1} ， A_{1} D_{1}$ 的中点，那么当底面 $A B C D$ 水平放置时，水面高为（）

A、2 B、 $\frac{5}{2}$ C、3 D、 $\frac{7}{2}$

查看试题解析
6. 已知 $\frac{1 + \sin 2 α}{2 \cos^{2} α + \sin 2 α} = 2$ ，则 $\tan 2 α =$ （）

A、 $- \frac{3}{4}$ B、 $- \frac{4}{3}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{4}{3}$

查看试题解析
7. 已知点F是抛物线 $E : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点，O为坐标原点，A，B是抛物线E上的两点，满足 $| F A | + | F B | = 10, \vec{F A} + \vec{F B} + \vec{F O} = \vec{0}$ 则 $p =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

查看试题解析
8. 定义在 $(- 1, 1)$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f (x) = g (x) - g (- x) + 2$ ，对任意的 $x_{1}$ ， $x_{2} \in (- 1, 1)$ ， $x_{1} \neq x_{2}$ ，恒有 $[f (x_{1}) - f (x_{2})] (x_{1} - x_{2}) > 0$ ，则关于x的不等式 $f (3 x + 1) + f (x) > 4$ 的解集为（）

A、 $(- \frac{1}{4}, + \infty)$ B、 $(- \frac{1}{4}, 0)$ C、 $(- \infty, - \frac{1}{4})$ D、 $(- \frac{2}{3}, 0)$

查看试题解析
9. 已知长方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的底面是边长为2的正方形，高为4，E是 $D D_{1}$ 的中点，则三棱锥 $B_{1} - C_{1} E C$ 的外接球的表面积为（）

A、12π B、20π C、24π D、32π

查看试题解析
10. 已知双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右焦点为F，过点F且垂直于x轴的直线与双曲线的渐近线交于点A（A在第一象限内），以 $O A$ 为直径的圆与双曲线的另一条渐近线交于点B，若 $B F / / O A$ ，则双曲线C的离心率为（）

A、 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ B、 $\sqrt{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、2

查看试题解析
11. 设 $f (x) = a \sin 2 x + b \cos 2 x$ ，其中 $a > 0 ， b > 0$ ，若 $f (x) ⩽ | f (\frac{π}{6}) |$ 对任意的 $x \in R$ 恒成立，则下列说法正确的是（）

A、 $| f (\frac{7 π}{10}) | < | f (\frac{π}{5}) |$ B、对任意的 $x \in R$ 有 $f (x) + f (\frac{5 π}{6} - x) = 0$ 成立 C、 $f (x)$ 的单调递增区间是 $[k π + \frac{π}{6} ， k π + \frac{2 π}{3}] (k \in Z)$ D、存在经过点 $(a ， b)$ 的直线与函数 $f (x)$ 的图象不相交

查看试题解析
12. 若存在实数x，y满足 $\ln x - x + 3 \geq e^{y} + e^{- y}$ ，则 $x + y =$ （）

A、-1 B、0 C、1 D、 $e$

查看试题解析

二、填空题

13. 设x，y满足 ${\begin{array}{l} x + y \geq 0 \\ 2 x - y \leq 1 \\ x - 2 y \geq - 2 \end{array}$ ，则 $x - y$ 的最小值是，最大值是．

查看试题解析
14. 曲线 $y = \ln x + a x$ 与直线 $y = 2 x - 1$ 相切，则 $a =$ ．

查看试题解析
15. 过点 $P (2 ， \sqrt{3})$ 作圆 $C ： x^{2} + y^{2} - 2 x = 0$ 的两条切线，切点分别为A，B，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} =$ ．

查看试题解析
16. 如图所示，在平面四边形 $A B C D$ 中， $A B ⊥ B D ， A B = B D ， B C = C D ， A D = 2$ ，在 $△ A B C$ 中，角A，B，C的对应边分别为a，b，c，若 $c^{2} = 2 a b \cos C$ ，则 $△ A C D$ 的面积为．

查看试题解析

三、解答题

17. 设 ${a_{n}}$ 是各项都为正的单调递增数列，已知 $a_{1} = 4$ ，且 $a_{n}$ 满足关系式： $a_{n + 1} + a_{n} = 4 + 2 \sqrt{a_{n + 1} a_{n}}$ ， $n \in N^{*}$ ．

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{a_{n} - 1}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ ．

查看试题解析
18. 现有两个全等的等腰直角三角板，直角边长为2，将它们的一直角边重合，若将其中一个三角板沿直角边折起形成三棱锥 $A - B C D$ ，如图所示，其中 $∠ A B D = 60 °$ ，点E，F，G分别是 $A C ， B C ， A B$ 的中点．

(1)、求证： $E F ⊥$ 平面 $C D G$ ；

(2)、求二面角 $F - A E - D$ 的余弦值．

查看试题解析
19. 为了促进电影市场快速回暖，各地纷纷出台各种优惠措施．某影院为回馈顾客，拟通过抽球兑奖的方式对观影卡充值满200元的顾客进行减免，规定每人在装有6个白球、2个红球的抽奖箱中有放回的抽球，每次抽取一个，最多抽取3次．已知抽出1个白球减10元，抽出1个红球减30元，如果前两次减免之和超过30元即停止抽奖，否则抽取第三次．

(1)、求某顾客所获得的减免金额为40元的概率；

(2)、求某顾客所获得的减免金额X的分布列及数学期望．

查看试题解析
20. 设椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ ，O为原点，点 $A (4 ， 0)$ 是x轴上一定点，已知椭圆的长轴长等于 $| O A |$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ．

(1)、求椭圆的方程；

(2)、直线 $l ： y = k x + t$ 与椭圆C交于两个不同点M，N，已知M关于y轴的对称点为 $M^{'}$ ，N关于原点O的对称点为 $N^{'}$ ，若 $M^{'} ， N^{'}$ 满足 $\vec{O A} = λ {\vec{O M}}^{'} + μ {\vec{O N}}^{'} (λ + μ = 1)$ ，求证：直线l经过定点．

查看试题解析
21. 已知函数 $f (x) = \frac{a x^{2}}{e^{x}} + \frac{1}{2} x^{2} - 2 x (a \in R)$ （ $e = 2.71828$ …是自然对数的底数）．

(1)、若 $f (x)$ 在 $x \in (0.2)$ 内有两个极值点，求实数a的取值范围；

(2)、 $a = 1$ 时，讨论关于x的方程 $[f (x) - \frac{1}{2} x^{2} + 2 x] \frac{1}{x e^{x}} + b = | \ln x | (b \in R)$ 的根的个数．

查看试题解析
22. 已知在平面直角坐标系 $x O y$ 中，圆C的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 + 2 \cos α \\ y = 2 \sin α \end{array}$ （ $α$ 为参数）以原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴，取相同的单位长度建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 $ρ (\sin θ + \cos θ) = 1$ ．

(1)、求圆C普通方程和直线l直角坐标方程；

(2)、点P极坐标为 $(1, \frac{π}{2})$ ，设直线l与圆C的交点为A，B两点A，B中点为Q，求线段 $P Q$ 的长．

查看试题解析
23. 已知函数 $f (x) = b | x | + | x - a | (a > 0)$ ．

(1)、当 $b = 1 ， a = 2$ 时，解不等式 $f (x) ⩽ 5$ ；

(2)、当 $b = 2$ 时，若不等式 $f (x) ⩾ 3$ 对任意的 $x \in R$ 恒成立，求实数a的取值范围．

查看试题解析