山东省淄博市2021届高三数学一模考试试卷

试卷更新日期：2021-03-31 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {x | 0 \leq x \leq 2}$ ，集合 $B = {x | x^{2} < x}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(1, 2]$ B、 $(0, 1)$ C、 $[0, 1)$ D、 $(1, 2)$

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2. 复数 $i (2 - i)$ 的虚部为（）

A、 $- 2 i$ B、 $2 i$ C、-2 D、2

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3. 圆 $x^{2} + y^{2} + 2 x - 8 = 0$ 截直线 $y = k x + 1 (k \in R)$ 所得的最短弦长为（）

A、 $2 \sqrt{7}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $4 \sqrt{3}$ D、2

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4. 已知 $f (x) = \cos x (\cos x + \sqrt{3} \sin x)$ 在区间 $[- \frac{π}{3} ， m]$ 上的最大值是 $\frac{3}{2}$ ，则实数 $m$ 的最小值是（）

A、 $\frac{π}{12}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $- \frac{π}{12}$ D、 $\frac{π}{6}$

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5. 实轴长与焦距之比为黄金数 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 的双曲线叫黄金双曲线，若双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 是黄金双曲线，则 $\frac{a^{2}}{b^{2}}$ 等于（）

A、 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ B、 $\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{5} - 2}{2}$ D、 $\frac{9 - 4 \sqrt{5}}{4}$

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6. 若等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则“ $S_{2020} > 0$ ， $S_{2021} < 0$ ”是“ $a_{1010} a_{1011} < 0$ ”的（）

A、充分必要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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7. 已知等边三角形 $A B C$ 的边长为6，点 $P$ 满足 $\vec{P A} + 2 \vec{P B} - \vec{P C} = \vec{0}$ ，则 $| \vec{P A} | =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $3 \sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{3}$

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8. 有7名学生参加“学党史知识竞赛”，咨询比赛成绩，老师说：“甲的成绩是最中间一名，乙不是7人中成绩最好的，丙不是7人中成绩最差的，而且7人的成绩各不相同”.那么他们7人不同的可能位次共有（）

A、120种 B、216种 C、384种 D、504种

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9. 四棱锥 $S - A B C D$ 中，侧面 $S B C$ 为等边三角形，底面 $A B C D$ 为矩形， $B C = 2$ ， $A B = a$ ，点 $F$ 是棱 $A D$ 的中点，顶点 $S$ 在底面 $A B C D$ 的射影为 $H$ ，则下列结论正确的是（）

A、棱 $S C$ 上存在点 $P$ 使得 $P D //$ 面 $B S F$ B、当 $H$ 落在 $A D$ 上时， $a$ 的取值范围是 $(0 ， \sqrt{3}]$ C、当 $H$ 落在 $A D$ 上时，四棱锥 $S - A B C D$ 的体积最大值是2 D、存在 $a$ 的值使得点 $B$ 到面 $S F C$ 的距离为 $\sqrt{3}$

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二、多选题

10. 快递行业作为邮政业的重要组成部分，具有带动产业领域广､吸纳就业人数多､经济附加值高､技术特征显著等特点.它将信息传递､物品递送､资金流通和文化传播等多种功能融合在一起，关联生产､流通､消费､投资和金融等多个领域，是现代社会不可替代的基础产业.下图是国家统计局公布的2020年下半年快递运输量情况，请根据图中信息选出正确的选项（）

A、2020年下半年，每个月的异地快递量都是同城快递量的6倍以上 B、2020年10月份异地快递增长率小于9月份的异地快递增长率 C、2020年下半年，异地快递量与月份呈正相关关系 D、2020年下半年，同城和异地快递量最高均出现在11月

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11. 已知函数 $f (x) = 2^{x} + 2^{- x}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 是偶函数 B、 $f (x)$ 是增函数 C、 $f (x)$ 最小值是2 D、 $f (x)$ 最大值是4

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12. 已知 $a$ ， $b \in R$ ，且 $0 < a < 1 < b$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$ B、 $a^{a} > b^{b}$ C、 $\lg b^{a} > \lg a^{b}$ D、 $\sqrt{a} + \sqrt{b} > 2$

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三、填空题

13. 已知某圆锥底面圆的半径 $r = 1$ ，侧面展开图是一个半圆，则此圆锥的体积为.

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14. 若抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上的点 $A (x_{0}, - 2)$ 到其焦点的距离是点 $A$ 到 $y$ 轴距离的3倍，则 $p$ 等于.

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15. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 中，首项 $a_{1} = 2$ ，公比是 $q > 1$ ， $a_{2}$ ， $a_{3}$ 是函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} - 6 x^{2} + 32 x$ 的两个极值点，则数列 ${a_{n}}$ 的前9项和是.

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16. 已知函数 $f (x) = | x^{3} + 2^{x} + a |$ 在 $[1, 2]$ 上的最大值是6，则实数 $a$ 的值是.

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四、解答题

17. 在① $a \sin C = c \cos (A - \frac{π}{6})$ ，② $\sqrt{3} \sin \frac{B + C}{2} = \sin A$ ，③ $\cos 2 A + 3 \cos A = 1$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的 $△ A B C$ 存在，求出其面积；若不存在，说明理由.
问题：是否存在 $△ A B C$ ，它的内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，且 $a = 2 \sqrt{3}$ ， $b + c = 4 \sqrt{3}$ ， ▲ ？

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18. 将 $n^{2} (n \in N^{*})$ 个正数排成 $n$ 行 $n$ 列：
$\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} & \dots & a_{1 n} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} & \dots & a_{2 n} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{34} & \dots & a_{3 n} \\ a_{41} & a_{42} & a_{43} & a_{44} & \dots & a_{4 n} \\ \dots \\ a_{n 1} & a_{n 2} & a_{n 3} & a_{n 4} & \dots & a_{n n} \end{matrix}$

其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且各列的公比都相等，若 $a_{11} = 1$ ， $a_{13} \cdot a_{23} \cdot a_{33} = 1$ ， $a_{32} + a_{33} + a_{34} = \frac{3}{2}$ .

(1)、求 $a_{1 n}$ ；

(2)、设 $S_{n} = a_{11} + a_{22} + a_{33} + \dots + a_{n n}$ ，求 $S_{n}$ .

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19. 已知在三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = B C = B B_{1} = 4$ ， $∠ A B C = 120 °$ ，侧棱与底面垂直，点 $M$ ， $N$ 分别是棱 $C C_{1}$ ， $A_{1} B_{1}$ 的中点.

(1)、求三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 外接球的表面积；

(2)、设平面 $A B C$ 截三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的外接球面所得小圆的圆心为 $O$ ，求直线 $O B_{1}$ 与平面 $B M N$ 所成角的正弦值.

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20. 某市会展公司计划在未来一周组织5天广场会展.若会展期间有风雨天气，则暂停该天会展.根据该市气象台预报得知，未来一周从周一到周五的5天时间内出现风雨天气情况的概率是：前3天均为 $\frac{1}{2}$ ，后2天均为 $\frac{4}{5}$ (假设每一天出现风雨天气与否是相互独立的).

(1)、求未来一周从周一到周五5天中至少有一天暂停会展的概率；

(2)、求这次会展活动展出的平均天数.(结果精确到0.1)

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21. 已知 $A_{1}$ ， $A_{2}$ 是椭圆 $E$ ： $\frac{y^{2}}{a^{2}} + \frac{x^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 长轴的两个端点，点 $M (1 ， 2)$ 在椭圆 $E$ 上，直线 $M A_{1}$ ， $M A_{2}$ 的斜率之积等于-4.

(1)、求椭圆 $E$ 的标准方程；

(2)、设 $m > 0$ ，直线 $l$ 方程为 $y = - m$ ，若过点 $F (0 ， m)$ 的直线与椭圆 $E$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，直线 $M A$ ， $M B$ 与 $l$ 的交点分别为 $H$ ， $G$ ，线段 $G H$ 的中点为 $N$ .判断是否存在正数 $m$ 使直线 $M N$ 的斜率为定值，并说明理由.

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22. 已知数列 $a_{n} = {(1 + \frac{1}{n})}^{n} (n \in N^{*})$ .

(1)、证明： $a_{n} < e$ ( $n \in N^{*}$ ， $e$ 是自然对数的底数)；

(2)、若不等式 ${(1 + \frac{1}{n})}^{n + a} \leq e (n \in N^{*} ， a > 0)$ 成立，求实数 $a$ 的最大值.

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