山东省潍坊市2021届高三数学一模考试试卷

试卷更新日期：2021-03-31 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知集合 $A = {- 2, 0}, B = {x | x^{2} - 2 x = 0}$ ，则以下结论正确的是（）

A、 $A = B$ B、 $A \cap B = {0}$ C、 $A \cup B = A$ D、 $A \subseteq B$

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2. 已知复数 $z = \cos θ + i \sin θ$ （ $i$ 为虚部单位），则 $| z - 1 |$ 的最大值为（）

A、1 B、 $\sqrt{2}$ C、2 D、4

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3. 在一次数学实验中，某同学运用图形计算器采集到如下一组数据：

$x$

-2

-1

1

2

3

$y$

0.24

0.51

2.02

3.98

80.2

在以下四个函数模型（ $a ， b$ 为待定系数）中，最能反映 $x ， y$ 函数关系的是（）

A、 $y = a + b x$ B、 $y = a + \frac{b}{x}$ C、 $y = a + \log_{b} x$ D、 $y = a + b^{x}$

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4. 在空间中，下列命题是真命题的是（）

A、经过三个点有且只有一个平面 B、平行于同一平面的两直线相互平行 C、如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等 D、如果两个相交平面垂直于同一个平面，那么它们的交线也垂直于这个平面

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5. 接种疫苗是预防和控制传染病最经济、有效的公共卫生干预措施．根据实验数据，人在接种某种病毒疫苗后，有80%不会感染这种病毒，若有4人接种了这种疫苗，则最多 $1$ 人被感染的概率为（）

A、 $\frac{512}{625}$ B、 $\frac{256}{625}$ C、 $\frac{113}{625}$ D、 $\frac{1}{625}$

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6. 多项式 $(x^{2} + 1) (x + 1) (x + 2) (x + 3))$ 展开式中 $x^{3}$ 的系数为（）

A、6 B、8 C、12 D、13

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7. 已知 $2020^{a} = 2021, 2021^{b} = 2020, c = \ln 2$ ，则（）

A、 $\log_{a} c > \log_{b} c$ B、 $\log_{c} a > \log_{c} b$ C、 $a^{c} < b^{c}$ D、 $c^{a} < c^{b}$

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8. 某中学开展劳动实习，学习加工制作食品包装盒．现有一张边长为6的正六边形硬纸片，如图所示，裁掉阴影部分，然后按虚线处折成高为 $\sqrt{3}$ 的正六棱柱无盖包装盒，则此包装盒的体积为（）

A、144 B、72 C、36 D、24

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二、多选题

9. 已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{9} = 1 (a > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，一条渐近线方程为 $y = \frac{3}{4} x$ ， $P$ 为 $C$ 上一点，则以下说法正确的是（）

A、 $C$ 的实轴长为 $8$ B、 $C$ 的离心率为 $\frac{5}{3}$ C、 $| P F_{1} | - | P F_{2} | = 8$ D、 $C$ 的焦距为 $10$

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10. 已知函数 $f (x) = {\begin{array}{l} x^{2} + 1, x ⩾ 0 ， \\ \cos x, x < 0 ， \end{array}$ 则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 是偶函数 B、 $f (f (- \frac{3}{2} π)) = 1$ C、 $f (x)$ 是增函数 D、 $f (x)$ 的值域为 $[- 1, + \infty)$

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11. 南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法·商功》中出现了如图所示的形状，后人称为“三角垛”．“三角垛”的最上层有1个球，第二层有3个球，第三层有6个球，…，设各层球数构成一个数列 ${a_{n}}$ ，则（）

A、 $a_{4} = 12$ B、 $a_{n + 1} = a_{n} + n + 1$ C、 $a_{100} = 5050$ D、 $2 a_{n + 1} = a_{n} \cdot a_{n + 2}$

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12. 已知实数 $x ， y ， z$ 满足 $x + y + z = 1$ ，且 $x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $x y + y z + x z = 0$ B、 $z$ 的最大值为 $\frac{1}{2}$ C、 $z$ 的最小值为 $- \frac{1}{3}$ D、 $x y z$ 的最小值为 $- \frac{4}{27}$

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三、填空题

13. 已知正方形ABCD的边长为1， $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{B C} = \vec{b}$ ， $\vec{A C} = \vec{c}$ ，则 $| \vec{a} + \vec{b} + \vec{c} |$ =.

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14. 写出一个存在极值的奇函数 $f (x) =$ ．

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15. 已知抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，准线为 $l$ ，点 $P$ 在抛物线 $C$ 上， $P Q$ 垂直 $l$ 于点 $Q$ ， $Q F$ 与 $y$ 轴交于点 $T ， O$ 为坐标原点，且 $| O T | = 2$ ，则 $| P F | =$ ．

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16. 某市为表彰在脱贫攻坚工作中做出突出贡献的先进单位，制作了一批奖杯，奖杯的剖面图形如图所示，其中扇形 $O A B$ 的半径为10， $∠ P B A = ∠ Q A B = 60^{\circ} ， A Q = Q P = P B$ ，若按此方案设计，工艺制造厂发现，当 $O P$ 最长时，该奖杯比较美观，此时 $∠ A O B =$ ．

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四、解答题

17. 在①函数 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称，②函数 $y = f (x)$ 的图象关于点 $P (\frac{π}{6} ， 0)$ 对称，③函数 $y = f (x)$ 的图象经过点 $Q (\frac{2 π}{3} ， - 1)$ 这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答．
问题：已知函数 $f (x) = \sin ω x \cos φ + \cos ω x \sin φ (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 最小正周期为 $π$ ，且 ▲ ，判断函数 $f (x)$ 在 $(\frac{π}{6} ， \frac{π}{2})$ 上是否存在最大值？若存在，求出最大值及此时的 $x$ 值；若不存在，说明理由．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

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18. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{2} = 6, S_{n} = \frac{1}{2} a_{n + 1} + 1$ ．

(1)、证明：数列 ${S_{n} - 1}$ 为等比数列，并求出 $S_{n}$ ．

(2)、求数列 ${\frac{1}{a_{n}}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ．

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19. 如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，侧面 $P A D$ 为等边三角形且垂直于底面 $A B C D$ ， $A D / / B C$ ， $A B ⊥ A D$ ， $A B = 2 B C = 4$ ， $E$ 是棱 $P D$ 上的动点（除端点外）， $F$ ， $M$ 分别为 $A B$ ， $C E$ 的中点．

(1)、求证： $F M / /$ 平面 $P A D$ ；

(2)、若直线 $E F$ 与平面 $P A D$ 所成的最大角为 $30 °$ ，求平面 $C E F$ 与平面 $P A D$ 所成锐二面角的余弦值．

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20. 在对人体的脂肪含量和年龄之间的关系的研究中，科研人员获得了一些年龄和脂肪含量的简单随机样本数据

(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, \dots, 20, 25 < x_{i} < 65)

，其中

x_{i}

表示年龄，

y_{i}

表示脂肪含量，并计算得到

\sum_{i = 1}^{20} x_{i}^{2} = 48280

，

\sum_{i = 1}^{20} y_{i}^{2} = 15480, \sum_{i = 1}^{20} x_{i} y_{i} = 27220, \bar{x} = 48, \bar{y} = 27 ， \sqrt{22} \approx 4.7

．

参考公式：相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} y_{i}^{2} - n {\bar{y}}^{2}}}$ ；

对于一组具有线性相关关系的数据 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, ..., n)$ ，其回归直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ．

(1)、请用相关系数说明该组数据中

y

与

x

之间的关系可用线性回归模型进行拟合，并求

y

关于

x

的线性回归方程

y = \hat{a} + \hat{b} x

（

\hat{a}, \hat{b}

的计算结果保留两位小数）；

(2)、科学健身能降低人体脂肪含量，下表是甲，乙两款健身器材的使用年限（整年）统计表：

使用年限

台数

款式

5年

6年

7年

8年

合计

甲款

乙款

某健身机构准备购进其中--款健身器材，以使用年限的频率估计概率，请根据以上数据估计，该机构选择购买哪一款健身器材，才能使用更长久？

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21. 已知函数 $f (x) = \frac{x^{2} - a}{\sin x} - 2 (a \in R)$ ．

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在点 $(\frac{π}{2} ， f (\frac{π}{2}))$ 处的切线经过坐标原点，求实数 $a$ ；

(2)、当 $a > 0$ 时，判断函数 $f (x)$ 在 $x \in (0 ， π)$ 上的零点个数，并说明理由．

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22. 在平面直角坐标系中， $A_{1}, A_{2}$ 两点的坐标分别为 $(- 2, 0), (2, 0)$ ，直线 $A_{1} M, A_{2} M$ 相交于点N且它们的斜率之积是 $- \frac{3}{4}$ ，记动点M的轨迹为曲线E．

(1)、求曲线E的方程；

(2)、过点 $F (1, 0)$ 作直线 $l$ 交曲线 $E$ 于 $P, Q$ 两点，且点 $P$ 位于 $x$ 轴上方，记直线 $A_{1} Q, A_{2} P$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ．
①证明： $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 为定值；

②设点 $Q$ 关于 $x$ 轴的对称点为 $Q_{1}$ ，求 $△ P F Q_{1}$ 面积的最大值．

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$x$	-2	-1	1	2	3
$y$	0.24	0.51	2.02	3.98	80.2