山东省临沂市2021届高三数学一模试卷

试卷更新日期：2021-03-31 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 已知全集 $U = A \cup B = (0, 4], A \cap C_{U} B = (2, 4]$ ，则集合 $B =$ （）

A、 $(- \infty, 2]$ B、 $(- \infty, 2)$ C、 $(0, 2]$ D、 $(0, 2)$

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2. 如图，若向量 $\vec{O Z}$ 对应的复数为 $z$ ，且 $| z | = \sqrt{5}$ ，则 $\frac{1}{\bar{z}} =$ （）

A、 $\frac{1}{5} + \frac{2}{5} i$ B、 $- \frac{1}{5} - \frac{2}{5} i$ C、 $\frac{1}{5} - \frac{2}{5} i$ D、 $- \frac{1}{5} + \frac{2}{5} i$

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3. 设a，b，c，d为实数，则“a＞b，c＞d”是“a+c＞b+d”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 某学校组建了演讲，舞蹈､航模､合唱，机器人五个社团，全校 $3000$ 名学生每人都参加且只参加其中一个社团，校团委从这 $3000$ 名学生中随机选取部分学生进行调查，并将调查结果绘制了如下不完整的两个统计图：

则选取的学生中参加机器人社团的学生数为（）

A、50 B、75 C、100 D、125

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5. 已知 $A, B$ 是圆 $O : x^{2} + y^{2} = 1$ 上的两个动点， $| A B | = 1, \vec{O C} = 3 \vec{O A} - 2 \vec{O B}, M$ 为线段 $A B$ 的中点，则 $\vec{O C} \cdot \vec{O M} =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{3}{2}$

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6. 北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”一亮相，好评不断，这是一次中国文化与奥林匹克精神的完美结合，是一次现代设计理念的传承与突破.为了宣传2022年北京冬奥会和冬残奥会，某学校决定派小明和小李等5名志愿者将两个吉祥物安装在学校的体育广场，若小明和小李必须安装同一个吉祥物，且每个吉祥物都至少由两名志愿者安装，则不同的安装方案种数为（）

A、8 B、10 C、12 D、14

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7. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的美誉，用其名字命名的“高斯函数”：设 $x = R,$ 用 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则 $y = [x]$ 称为高斯函数，也称取整函数，例如： $[- 3.7] = - 4, [2.3] = 2$ .已知 $f (x) = \frac{e^{x} - 1}{e^{x} + 1} - \frac{1}{2}$ ，则函数 $y = [f (x)]$ 的值域为（）

A、 ${0}$ B、 ${- 1, 0}$ C、 ${- 2, - 1, 0}$ D、 ${- 1, 0, 1}$

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8. 双曲线的光学性质为①：如图，从双曲线右焦点 $F_{2}$ 发出的光线经双曲线镜面反射，反射光线的反向延长线经过左焦点 $F_{1} ．$ 我国首先研制成功的“双曲线新闻灯”，就是利用了双曲线的这个光学性质.某“双曲线灯”的轴截面是双曲线一部分，如图②，其方程为 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 ， F_{1} ， F_{2}$ 为其左､右焦点，若从右焦点 $F_{2}$ 发出的光线经双曲线上的点 $A$ 和点 $B$ 反射后，满足 $∠ B A D = 90 ° ， t a n ∠ A B C = - \frac{3}{4}$ ，则该双曲线的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\sqrt{5}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ D、 $\sqrt{10}$

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二、多选题

9. 下列结论正确的是（）

A、命题“ $\forall x \in R, x^{2} - x + 1 \geq 0$ ”的否定是“ $\exists x \in R, x^{2} - x + 1 < 0$ ” B、已知回归模型为 $\hat{y} = x^{2} + 2 x + 1$ ，则样本点 $(1, 3)$ 的残差为-1 C、若幂函数的图象过点 $(\frac{1}{2}, \frac{1}{4})$ ，则该函数的单调递增区间为 $(- \infty, 0]$ D、 ${(2 x - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式中各项的二项式系数之和为32，则此展开式中 $x^{2}$ 项的系数为-80

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10. 已知数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ,则下列说法正确的是（）

A、若 $S_{n} = n^{2} - 1,$ 则 ${a_{n}}$ 是等差数列 B、若 $S_{n} = 2^{n} - 1,$ 则 ${a_{n}}$ 是等比数列 C、若 ${a_{n}}$ 是等差数列，则 $S_{99} = 99 a_{50}$ D、若 ${a_{n}}$ 是等比数列，且 $a_{1} > 0, q > 0,$ 则 $S_{2 n - 1} \cdot S_{2 n + 1} > S_{2 n}^{2}$

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11. 函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \sin x \cos x - 2 \sin^{2} x + 1$ ，下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 在区间 $[- \frac{π}{3}, \frac{π}{6}]$ 上单调递增 B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(\frac{π}{6}, 0)$ 成中心对称 C、将 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{5 π}{12}$ 个单位后与 $y = - 2 \sin 2 x$ 的图象重合 D、若 $x_{1} - x_{2} = π,$ 则 $f (x_{1}) = f (x_{2})$

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12. 为弘扬中华民族优秀传统文化，某学校组织了《诵经典，获新知》的演讲比赛，本次比赛的冠军奖杯由一个铜球和一个托盘组成，如图 $①$ ，已知球的体积为 $\frac{4 π}{3}$ ，托盘由边长为 $4$ 的正三角形铜片沿各边中点的连线垂直向上折叠而成，如图 $②$ .则下列结论正确的是（）

A、经过三个顶点 $A ， B ， C$ 的球的截面圆的面积为 $\frac{π}{4}$ B、异面直线 $A D$ 与 $C F$ 所成的角的余弦值为 $\frac{5}{8}$ C、直线 $A D$ 与平面 $D E F$ 所成的角为 $\frac{π}{3}$ D、球离球托底面 $D E F$ 的最小距离为 $\sqrt{3} + \frac{\sqrt{6}}{3} - 1$

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三、填空题

13. 若函数 $f (x)$ 满足：（1）对于任意实数 $x_{1}, x_{2}$ ，当 $0 < x_{1} < x_{2}$ 时，都有 $f (x_{1}) < f (x_{2})$ ；（2） $f (\frac{x_{1}}{x_{2}}) = f (x_{1}) - f (x_{2})$ ，则 $f (x) =$ .(答案不唯一，写出满足这些条件的一个函数即可)

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14. 曲线 $y = l n x - \frac{2}{x}$ 在 $x = 1$ 处的切线的倾斜角为 $α$ ，则 $s i n (α + \frac{π}{2}) =$ .

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15. 蟋蟀鸣叫可以说是大自然优美､和谐的音乐，蟋蟀鸣叫的频率

y

(每分钟鸣叫的次数)与气温

x

(单位：

^{\circ} C

)存在着较强的线性相关关系.某地研究人员根据当地的气温和蟋蟀鸣叫的频率得到了如下数据：

$x (^{\circ} C)$	21	22	23	24	25	26	27
$y$ (次数/分钟)	24	28	31	39	43	47	54

利用上表中的数据求得回归直线方程为 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，若利用该方程知，当该地的气温为 $30^{\circ} C$ 时，蟋蟀每分钟鸣叫次数的预报值为68，则 $\hat{b}$ 的值为.

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16. 已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，点 $Р$ 在椭圆上，且 $\vec{P F_{1}} \cdot \vec{F_{1} F_{2}} = 0$ ， $| P F_{1} | = \frac{4}{3}$ ， $| P F_{2} | = \frac{14}{3}$ ，则 $C$ 的标准方程为；若过点 $M (- \frac{3}{2}, 1)$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $A, B$ 两点，且点 $A, B$ 关于点 $M$ 对称，则 $l$ 的方程为.

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四、解答题

17. 在圆内接四边形 $A B C D$ 中， $B C = 4 ， ∠ B = 2 ∠ D ， ∠ A C B = \frac{π}{12} ，$ 求 $△ A C D$ 面积的最大值.

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18. 在① $\frac{S_{n}}{n} = \frac{a_{n + 1}}{2}$ ，② $a_{n + 1} a_{n} = 2 S_{n}$ ，③ $a_{n}^{2} + a_{n} = 2 S_{n}$ ，这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答该问题.
已知正项数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{1} = 1$ ，满足___________.

(1)、求 $a_{n}$ ；

(2)、若 $b_{n} = (a_{n} + 1) \cdot 2^{a_{n}}$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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19. 党中央，国务院高度重视新冠病毒核酸检测工作，中央应对新型冠状病毒感染肺炎疫情工作领导小组会议作出部署，要求尽力扩大核酸检测范围，着力提升检测能力.根据统计发现，疑似病例核酸检测呈阳性的概率为 $p (0 < p < 1)$ .现有 $4$ 例疑似病例，分别对其取样､检测，既可以逐个化验，也可以将若干个样本混合在一起化验，混合样本中只要有病毒，则化验结果呈阳性.若混合样本呈阳性，则需将该组中备用的样本再逐个化验；若混合样本呈阴性，则判定该组各个样本均为阴性，无需再化验.现有以下三种方案：方案一：4个样本逐个化验；方案二：4个样本混合在一起化验；方案三：4个样本均分为两组，分别混合在一起化验.在新冠肺炎爆发初期，由于检测能力不足，化验次数的期望值越小，则方案越“优”.

(1)、若 $p = \frac{1}{3}$ ，按方案一，求 $4$ 例疑似病例中恰有2例呈阳性的概率；

(2)、若 $p = \frac{1}{10}$ ，现将该4例疑似病例样本进行化验，试比较以上三个方案中哪个最“优”，并说明理由.

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20. 如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中，四边形 $A B C D$ 是等腰梯形， $A B // C D ， P D ⊥ A D ，$ $2 P D = 2 A D = 2 C D = A B = P B$ .

(1)、证明：平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、过 $P D$ 的平面交 $A B$ 于点 $E ，$ 若平面 $P D E$ 把四棱锥 $P - A B C D$ 分成体积相等的两部分，求平面 $P A D$ 与平面 $P C E$ 所成锐二面角的余弦值.

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21. 如图，抛物线 $E ： y^{2} = 2 p x$ 的焦点为 $F ，$ 四边形 $D F M N$ 为正方形，点 $M$ 在抛物线 $E$ 上，过焦点 $F$ 的直线 $l$ 交抛物线 $E$ 于 $A ， B$ 两点，交直线 $N D$ 于点 $C$ .

(1)、若 $B$ 为线段 $A C$ 的中点，求直线 $l$ 的斜率；

(2)、若正方形 $D F M N$ 的边长为 $1$ ，直线 $M A$ ， $M B$ ， $M C$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ， $k_{3}$ ，则是否存在实数 $λ$ ，使得 $k_{1} + k_{2} = λ k_{3}$ ？若存在，求出 $λ$ ；若不存在，请说明理由.

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22. 已知函数 $f (x) = x e^{x - 1} + x^{2} + 2 x - 4 ， g (x) = \frac{1}{2} a x^{2} - x + 2 a c o s x + \ln (x + 1)$ .

(1)、判断 $f (x)$ 的单调性，并求 $f (x)$ 的最值；

(2)、用 $m a x {m ， n}$ 表示 $m ， n$ 的最大值.记函数 $h (x) = m a x {f (x) ， g (x)}$ ，讨论 $h (x)$ 的零点个数.

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