山东省菏泽市2021届高三下学期数学3月一模试卷

试卷更新日期：2021-03-31 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 若 $z \cdot (1 + i) = 2 i,$ 则 $z$ 的虚部是（）

A、-1 B、1 C、 $i$ D、 $- i$

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2. 设集合 $A = {x | x < 2$ 或 $x > 3}, B = {x | e^{x - 1} - 1 < 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- \infty, 1)$ B、 $(- 2, 1)$ C、 $(2, 1)$ D、 $(3, + \infty)$

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3. 命题“ $\forall x \in R, x^{2} \geq 0$ ”的否定是（）

A、 $\exists x \in R, x^{2} \geq 0$ B、 $\forall x \in R, x^{2} < 0$ C、 $\exists x \in R, x^{2} < 0$ D、 $\exists x \in R, x^{2} \leq 0$

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4. 2020年5月我国抗击新冠肺炎疫情工作取得阶段性胜利，各地有序推进复工复产，下面是某地连续11天复工复产指数折线图，下列说法正确的是（）

A、这11天复工指数和复产指数均逐日增加. B、这11天期间，复产指数的极差大于复工指数的极差 C、第3天至第11天复工复产指数均超过80% D、第9天至第11天复工指数的增量大于复产指数的增量

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5. 函数 $y = \frac{x - \sin x}{e^{x} + e^{- x}}$ 的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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6. 菏泽万达商场在春节前开展商品促销活动，顾客凡购物金额满 $50$ 元，则可以从“福”字、春联和灯笼这三类礼品中任意免费领取一件，若有 $4$ 名顾客都领取一件礼品.则他们中有且仅有 $2$ 人领取的礼品种类相同的概率是（）

A、 $\frac{5}{9}$ B、 $\frac{4}{9}$ C、 $\frac{8}{9}$ D、 $\frac{9}{16}$

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7. 在地球公转过程中，太阳直射点的纬度随时间周而复始不断变化，太阳直射点回归运动的一个周期就是一个回归年.某科研小组以某年春分(太阳直射赤道且随后太阳直射点逐渐北移的时间)为初始时间，统计了连续400天太阳直射点的纬度值(太阳直射北半球时取正值，直射南半球时取负值).设第 $x$ 天时太阳直射点的纬度值为 $y,$ 该科研小组通过对数据的整理和分析.得到 $y$ 与 $x$ 近似满足 $y = 23.4392911 s i n 0.01720279 x$ .则每400年中，要使这400年与400个回归年所含的天数最为接近.应设定闰年的个数为(精确到 $1$ )（）
参考数据 $\frac{π}{0.01720279} \approx 182.6211$

A、95 B、96 C、97 D、98

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8. 在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} + a_{2} + a_{3} + a_{4} = \ln (a_{1} + a_{2} + a_{3})$ 若 $a_{1} > 1,$ 则（）

A、 $a_{1} < a_{2}$ B、 $a_{2} < a_{3}$ C、 $a_{3} < a_{4}$ D、 $a_{1} < a_{4}$

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二、多选题

9. 下列结论正确的是（）

A、 $\forall x \in R$ ， $x + \frac{1}{x} \geq 2$ B、若 $a < b < 0$ ，则 ${(\frac{1}{a})}^{3} > {(\frac{1}{b})}^{3}$ C、若 $x (x - 2) < 0$ ，则 $\log_{2} x \in (0, 1)$ D、若 $a > 0$ ， $b > 0$ ， $a + b \leq 1$ ，则 $0 < a b \leq \frac{1}{4}$

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10. 对于函数 $f (x) = \frac{\ln x}{x^{2}}$ ，下列说法正确的是（）

A、 $f (x)$ 在 $x = \sqrt{e}$ 处取得极大值 $\frac{1}{2 e}$ B、 $f (x)$ 有两个不同的零点 C、 $f (\frac{\sqrt{2}}{2}) < f (\sqrt{π}) < f (\sqrt{3})$ D、若 $f (x) < k - \frac{1}{x^{2}}$ 在 $(0 ， + \infty)$ 上恒成立，则 $k > \frac{e}{2}$

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11. 已知函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + φ) (ω > 0 ， 0 < | φ | < \frac{π}{2})$ . $x = \frac{π}{2}$ 为函数的一条对称轴，且 $f (\frac{3 π}{8}) = 1$ .若 $f (x)$ 在 $(- \frac{3 π}{8} ， - \frac{π}{4})$ 上单调，则 $ω$ 的取值可以是（）

A、 $\frac{4}{3}$ B、 $\frac{8}{3}$ C、 $\frac{16}{3}$ D、 $\frac{32}{3}$

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12. 透明塑料制成的正方体密闭容器 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的体积为8，注入体积为 $x (0 < x < 8)$ 的液体.如图，将容器下底面的顶点 $A$ 置于地面上，再将容器倾斜.随着倾斜度的不同，则下列说法正确的是（）

A、液面始终与地面平行 B、 $x = 4$ 时，液面始终是平行四边形 C、当 $x \in (0 ， 1)$ 时，有液体的部分可呈正三棱锥 D、当液面与正方体的对角线 $A C$ 垂直时，液面面积最大值为 $3 \sqrt{3}$

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三、填空题

13. （x²+x+y）⁵的展开式中，x⁵y²的系数为

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14. 设 $\vec{a}, \vec{b}$ 为单位向量，且 $| \vec{a} - \vec{b} | = 1,$ 则 $| 2 \vec{a} + \vec{b} | =$ ．

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15. 在抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上任取一点 $A$ (不为原点)， $F$ 为抛物线的焦点，连接 $A F$ 并延长交抛物线于另一点 $B,$ 过 $A, B$ 分别作准线的垂线，垂足分别为 $C, D .$ 记线段 $C D$ 的中点为 $T,$ 则 $△ A T B$ 面积的最小值为．

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16. 已知 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的偶函数且 $f (0) = 1$ ， $a > 1$ 是奇函数，则 $f (2021) =$ ． $\sum_{i = 1}^{4 n - 1} f (i) =$ ．

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四、解答题

17. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c,$ 已知 $b = 1$ ，面积 $S = \frac{a^{2}}{8 \sin A}$ ，再从以下两个条件中选择其中一个作为已知，求三角形的周长.
⑴ $B = \frac{π}{6}$ ;

⑵ $B = C$ .

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18. 已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{n + 1} = 2 S_{n} + 2$ ，数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = 2, (n + 2) b_{n} = n b_{n + 1}$ ，其中 $n \in N^{*}$ .

(1)、分别求数列 ${a_{n}}$ 和 ${b_{n}}$ 的通项公式；

(2)、在 $a_{n}$ 与 $a_{n + 1}$ 之间插入 $n$ 个数，使这 $n + 2$ 个数组成一个公差为 $c_{n}$ 的等差数列，求数列 ${b_{n} c_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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19. 如图，三棱锥 $P - A B C$ 中，侧棱 $P A ⊥$ 底面 $A B C ， C$ 点在以 $A B$ 为直径的圆上.

(1)、若 $P A = A C$ ，且 $E$ 为 $P C$ 的中点，证明： $A E ⊥ P B$ ；

(2)、若 $P A = A C = B C ，$ 求二面角 $C - B P - A$ 的大小.

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20. 随着生活质量的提升，家庭轿车保有量逐年递增.方便之余却加剧了交通拥堵和环保问题.绿色出行引领时尚，共享单车进驻城市黄泽市有统计数据显示.2020年该市共享单车用户年龄等级分布如图1所示，一周内市民使用单车的频率分布扇形图如图2所示.若将共享单车用户按照年齡分为“年轻人”(20岁

~ 391

岁)和“非年轻人”( 19岁及以下或者40岁及以上)两类，将一周内使用的次数为6次或6次以上的经常使用共享单车的称为“单车族”.使用次数为5次或不足5次的称为“非单车族”.已知在“单车族”中有

\frac{5}{6}

是“年轻人”.

(1)、现对该市市民进行“经常使用共享单车与年龄关系”的调查，采用随机抽样的方法，抽取一个容量为400的样本，请你根据图表中的数据，补全下列

2 \times 2

列联表，并判断是否有95%的把握认为经常使用共享单车与年龄有关?

使用共享单车情况与年龄列联表

	年轻人	非年轻人	合计
单车族
非单车族
合计

(2)、若将（1）中的频率视为概率，从该市市民中随机任取3人，设其中既是“单车族”又是“非年轻人”的人数为随机变量

X ，

求

X

的分布列与期望.

参考数据：独立性检验界值表

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.01
$k_{0}$	2.072	2.706	3.841	5.024	60635

其中， $n = a + b + c + d ， K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ (注：保留三位小数).

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21. 已知椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ .点 $A (\sqrt{3}, \frac{1}{2})$ 在椭圆上；直线 $A F_{1}$ 交 $y$ 轴于点 $B$ .且 $\vec{A F_{2}} = - 2 \vec{O B}$ .其中 $O$ 为坐标原点.

(1)、求椭圆 $C_{1}$ 的方程;

(2)、直线 $l$ 斜率存在，与椭圆 $C_{1}$ 交于 $D, E$ 两点，且与椭圆 $C_{2} : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = λ (0 < λ < 1)$ 有公共点，求 $Δ D O E$ 面积的最大值.

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22. 已知函数 $f (x) = ln x - k x (k \in R) ， g (x) = x (e^{x} - 2)$ .

(1)、若 $f (x)$ 有唯一零点，求 $k$ 的取值范围；

(2)、若 $g (x) - f (x) \geq 1$ 恒成立，求 $k$ 的取值范围.

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