宁夏吴忠市2021届高三理数一轮联考试卷

试卷更新日期：2021-03-30 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 复数z满足 $(z - 2 i) \cdot (1 + i) = 2$ （i为虚数单位），则 $| z | =$ （）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{5}$

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2. 设集合 $A = {x ∣ x^{2} - 4 x + 3 \leq 0}$ ， $B = {x | \log_{2} (x - 2) < 1}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x | 1 \leq x < 4}$ B、 ${x | 2 < x \leq 3}$ C、 ${x | 2 < x < 4}$ D、 ${x | 1 \leq x < 2}$

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3. 若 $a, b \in R$ ，则“ $a + b > 4$ ”是“a，b至少有一个大于2”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4. 在 ${(x^{2} - \frac{1}{x})}^{6}$ 的展开式中， $x^{3}$ 的系数为（）

A、-15 B、15 C、-20 D、20

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5. 已知抛物线 $C : y^{2} = 8 x$ 上一点 $A$ 到焦点 $F$ 的距离等于 $6$ ，则直线 $A F$ 的斜率为（）

A、2 B、±2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、 $\pm 2 \sqrt{2}$

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6. 已知非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足| $\vec{a}$ |=2| $\vec{b}$ |，且 $(\vec{a} - \vec{b}) ⊥ \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{2 π}{3}$ D、 $\frac{5 π}{6}$

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7. 数列 ${a_{n}}$ 是等差数列， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和，且 $a_{1} < 0$ ， $a_{2020} + a_{2021} < 0$ ， $a_{2020} \cdot a_{2021} < 0$ ，则使 $S_{n} < 0$ 成立的最大正整数 $n$ 是（）

A、2020 B、2021 C、4040 D、4041

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8. 下图为某几何体的三视图，则该几何体外接球的表面积是（）

A、 $12 π a^{2}$ B、 $6 π a^{2}$ C、 $3 π a^{2}$ D、 $π a^{2}$

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9. 已知直线 $l : k x + y + 4 = 0 (k \in R)$ 是圆 $C : x^{2} + y^{2} - 6 x + 2 y + 9 = 0$ 的对称轴，过点 $P (1, k)$ 作圆C的两条切线，切点分别为A，B，则三角形PAB的面积等于（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ D、 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$

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10. 已知函数 $f (x) = \sin ω x (0 < ω \leq 4)$ 的图像关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称，将函数 $f (x)$ 的图像向右平移 $\frac{π}{2}$ 个单位得到函数 $g (x)$ 的图像，则 $g (x)$ 在 $[0 ， \frac{7 π}{18}]$ 上的值域为（）

A、 $[- 1 ， - \frac{1}{2}]$ B、 $[- 1 ， - \frac{\sqrt{2}}{2}]$ C、 $[- \frac{\sqrt{2}}{2} ， - \frac{1}{2}]$ D、 $[- \frac{\sqrt{2}}{2} ， \frac{1}{2}]$

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11. 已知圆 $O ： x^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 与 $x$ 轴的交点为 $A$ 、 $B$ ，以 $A$ 、 $B$ 为左、右焦点的双曲线 $C ： \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的右支与圆 $O$ 交于 $P$ 、 $Q$ 两点，若直线 $P Q$ 与 $x$ 轴的交点恰为线段 $A B$ 的一个四等分点，则双曲线的离心率等于（）

A、 $\sqrt{3} + 1$ B、 $2 \sqrt{3} - 1$ C、 $\frac{\sqrt{3} + 1}{2}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3} - 1}{2}$

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12. 设函数 $f (x)$ 的定义域为R，满足 $f (x + 1) = 2 f (x)$ ，且当 $x \in (0 ， 1]$ 时， $f (x) = x (x - 1)$ .若对任意 $x \in (- \infty ， m]$ ，都有 $f (x) \geq - \frac{8}{9}$ ，则m的取值范围是

A、 $(- \infty ， \frac{9}{4}]$ B、 $(- \infty ， \frac{7}{3}]$ C、 $(- \infty ， \frac{5}{2}]$ D、 $(- \infty ， \frac{8}{3}]$

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二、填空题

13. 某学校为了提高学生的安全意识，防止安全事故的发生，学校拟在未来的连续7天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天中恰好仅有2天连续的概率为

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14. 若某程序框图如图所示，当输入 $n = 26$ 时，则该程序运行后输出的结果i等于

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15. 变量x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + y \geq 0 \\ x - 2 y + 2 \geq 0 \\ m x - y \leq 0 \end{array}$ ，若 $z = 2 x + y$ 的最大值为2，则实数 $m =$ ．

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16. 已知数列 ${a_{n}}$ ， ${b_{n}}$ ，其中数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{n + 5} = a_{n} (n \in N^{*})$ ，前n项和为 $S_{n}$ 满足 $S_{n} = {(- 1)}^{n} a_{n} + \frac{1}{2^{n}} + n$ $- 3 (1 \leq n \leq 6)$ ；数列 ${b_{n}}$ 满足： $b_{n + 8} = b_{n} (n \in N^{*})$ ，且 $b_{1} = 2$ ， $b_{n + 1} = \frac{n}{n + 1} b_{n} (1 \leq n \leq 7)$ ，则数列 ${a_{n} \cdot b_{n}}$ 的第2024项的值为．

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三、解答题

17. 已知a、b、c分别为 $△ A B C$ 内角A、B、C的对边，且满足 $\frac{a + c}{b} = \frac{\sin A + \sin B}{\sin C - \sin A}$ ．

(1)、求角C的大小：

(2)、若 $c = 6$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值．

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18. 如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面ABC，三角形 $A B C$ 是正三角形， $P A = A B$ ，点D、E、F分别为棱PA、PC、BC的中点，G为AD的中点．

(1)、求证： $G F / /$ 平面BDE；

(2)、求二面角 $B - D E - F$ 的余弦值．

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19. 某班级以“评分的方式”鼓励同学们以骑自行车或步行方式“绿色出行”，培养学生的环保意识．“十一黄金周”期间，组织学生去A、B两地游玩，因目的地A地近，B地远，特制定方案如下：

目的地A地出行方式	绿色出行	非绿色出行
概率	$\frac{3}{4}$	$\frac{1}{4}$
得分	1	0

目的地B地出行方式	绿色出行	非绿色出行
概率	$\frac{2}{3}$	$\frac{1}{3}$
得分	1	0

若甲同学去A地玩，乙、丙同学去B地玩，选择出行方式相互独立．

(1)、求恰有一名同学选择“绿色出行”方式的概率；

(2)、求三名同学总得分

X

的分布列及数学期望

E X

．

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20. 若双曲线 $x^{2} - y^{2} = 9$ 与椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 共顶点，且它们的离心率之积为 $\frac{4}{3}$ ．

(1)、求椭圆C的标准方程；

(2)、若椭圆C的左、右顶点分别为 $A_{1}$ ， $A_{2}$ ，直线l与椭圆C交于P、Q两点，设直线 $A_{1} P$ 与 $A_{2} Q$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，且 $k_{1} - \frac{1}{5} k_{2} = 0$ ．试问，直线l是否过定点？若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由．

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21. 已知函数 $f (x) = a e^{x - 1} - \frac{\ln x}{x} - 1 ， a \in R$

(1)、若 $a = 1$ ，求 $f (x)$ 的极值；

(2)、若 $f (x) > 0$ 恒成立，求实数a的取值范围．

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22. 已知在平面直角坐标系xOy中，直线l过点 $M (0, 1)$ ，倾斜角为 $α$ ，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，取相同的长度单位建立极坐标系，圆C的极坐标方程为 $ρ = 4 \sin θ$ ．

(1)、把圆C的极坐标方程化为直角坐标方程，并求直线l的参数方程；

(2)、若直线l被圆C截得的弦长为 $\sqrt{13}$ ，求直线l的倾斜角 $α$ ．

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23. 已知函数 $f (x) = | x + 1 |$ ．

(1)、解不等式 $f (x) < 4 - | 2 x - 1 |$ ；

(2)、已知 $m + n = 1 (m > 0, n > 0)$ ，若 $- 1 \leq a \leq 3$ ，求证 $| x + a | - f (x) \leq \frac{1}{m} + \frac{1}{n} - 2$ ．

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