江西省新八校2020-2021学年高三上学期理数第一次联考试卷

试卷更新日期：2021-03-30 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设集合 $A = {y | y = \sqrt{4 - x^{2}}}$ ， $B = {y | y = 2^{x}, x \in A}$ ，则 $A \cap B$ 等于（）

A、 $[1, + \infty)$ B、R C、 $[1, 2]$ D、 $[0, 4]$

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2. 已知i为虚数单位 $z = \frac{1 + i^{2020}}{1 - i^{2021}}$ ，则 $\bar{z}$ 的虚部为（）

A、1 B、-1 C、 $i$ D、 $- i$

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3. $α$ 、 $β$ 为不重合的平面， $a$ 、 $b$ 为两条直线，下列命题正确的为（）

A、若 $a \subset α$ ， $b \subset β$ ， $α // β$ ，则 $a // b$ B、若 $a // b$ ， $b \subset β$ ，则 $a // β$ C、若 $α ⊥ β$ ， $a \subset α$ ，则 $a ⊥ β$ D、若 $a ⊥ α$ ， $b ⊥ β$ ， $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $α ⊥ β$

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4. 若实数x，y满足约束条件 ${\begin{array}{l} 2 x + y - 3 \geq 0 \\ x + 2 y - 3 \geq 0 \\ 2 x + 2 y - 5 \geq 0 \end{array}$ ，则 $z = 3 x + 2 y$ 的最小值（）

A、5 B、 $\frac{11}{2}$ C、7 D、 $\frac{13}{2}$

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5. 若曲线 $y = e^{x} - m$ 的一条切线为 $y = \frac{1}{e} x + n$ （e为自然对数的底数），其中m，n为正实数，则 $m + n$ 的值是（）

A、 $e$ B、 $\frac{1}{e}$ C、 $\frac{2}{e}$ D、 $\frac{e}{2}$

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6. 设函数 $f (x) = \frac{\tan x}{x} ， x \in (- \frac{π}{2} ， 0) \cup (0 ， \frac{π}{2})$ ，则 $f (x)$ 是（）

A、奇函数，且存在 $x_{0}$ 使得 $| f (x_{0}) | \leq 1$ B、奇函数，且对任意 $x \neq 0$ 都有 $| f (x) | > 1$ C、偶函数，且存在 $x_{0}$ 使得 $| f (x_{0}) | \leq 1$ D、偶函数，且对任意 $x \neq 0$ 都有 $| f (x) | > 1$

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7. 设双曲线 $x^{2} - y^{2} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 作x轴的垂线与双曲线的渐近线在第一象限交于点B，连接 $B F_{1}$ 交双曲线的左支于A点，则 $△ A B F_{2}$ 的周长为（）

A、 $2 + \sqrt{2} + \sqrt{10}$ B、 $\sqrt{2} + \sqrt{10} - 2$ C、 $2 + \sqrt{2} + 2 \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{2} + 2 \sqrt{3} - 2$

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8. 已知在 $△ A B C$ 中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $b = 4$ ，点O为其外接圆的圆心．已知 $\vec{C O} \cdot \vec{B A} = 6$ ，则角A的最大值为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{2}$

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9. 十九世纪下半叶集合论的创立，奠定了现代数学的基础．著名的“康托三分集”是数学理性思维的构造产物，具有典型的分形特征，其操作过程如下：将闭区间 $[0 ， 1]$ 均分为三段，去掉中间的区间段 $(\frac{1}{3} ， \frac{2}{3})$ ，记为第一次操作；再将剩下的两个区间 $[0 ， \frac{1}{3}] ， [\frac{2}{3} ， 1]$ 分别均分为三段，并各自去掉中间的区间段，记为第二次操作；…，如此这样，每次在上一次操作的基础上，将剩下的各个区间分别均分为三段，同样各自去掉中间的区间段操作过程不断地进行下去，以至无穷，剩下的区间集合即是“康托三分集”．若使去掉的各区间长度之和不小于 $\frac{8}{9}$ ，则需要操作的次数n的最小值为（）参考数据：（ $\lg 2 = 0.3010 ， \lg 3 = 0.4771$ ）

A、4 B、5 C、6 D、7

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10. 已知抛物线 $y^{2} = 4 x$ 上有两点 $A (x_{1}, y_{1})$ 、 $B (x_{2}, y_{2})$ ，焦点为F，则 $\frac{1}{F A} + \frac{1}{F B} = 1$ 是“直线 $A B$ 经过焦点F”的（）

A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分又不必要条件

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11. 设函数 $f (x) = {\begin{array}{l} \frac{x}{e^{x}} ， x \geq a \\ x ， x < a \end{array}$ ，若函数存在最大值，则实数a的取值范围是（）

A、 $a \leq 1$ B、 $a < 1$ C、 $a \leq \frac{1}{e}$ D、 $a < \frac{1}{e}$

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12. 若等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1}^{2} + a_{3}^{2} = 2$ ，且 $a_{1} \geq 1$ ，求 $\frac{a_{2} + a_{3}}{a_{1} + a_{2}}$ 的取值范围（）

A、 $(- 1, 1)$ B、 $[- 1, 1]$ C、 $(- \infty, - 1) \cup (1, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 1] \cup [1, + \infty)$

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二、填空题

13. 已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $| \vec{b} | = 3$ ， $| \vec{a} + \vec{b} | = 4$ ， $| \vec{a} - \vec{b} | = 5$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影为．

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14. $(x^{2} - 2 x - 1) {(\frac{1}{x} + 2)}^{3}$ 的展开式中的常数项是．

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15. 已知 $D - A B C$ 是球O的内接三棱锥， $A B = B C = C A = 2 \sqrt{3}, B D = 2, D A = 4$ ．二面角 $D - A B - C$ 为 $120^{\circ}$ ，则球O的半径为．

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16. 已知 $a > 1$ ， $b \in R$ ，当 $x > 0$ 时， $[(a - 1) x - 1] \cdot (\frac{x^{2} - 4}{2 x} - b) \geq 0$ 恒成立，则 $b + 3 a$ 的最小值是．

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三、解答题

17. 如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 2$ ， $∠ B = \frac{π}{3}$ ，点D在线段 $B C$ 上．

(1)、若 $∠ B A D = \frac{π}{4}$ ，求 $A D$ 的长；

(2)、若 $B D = 3 D C$ ，且 $S_{△ A B C} = 2 \sqrt{3}$ ，求 $\frac{\sin ∠ B A D}{\sin ∠ C A D}$ 的值．

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18. 如图， $A B$ 是 $⊙ O$ 的直径，动点P在 $⊙ O$ 所在平面上的射影恰是 $⊙ O$ 上的动点C， $P C = A B = 2$ ，D是 $P A$ 的中点， $P O$ 与 $B D$ 交于点E，F是 $P C$ 上的一个动点．

(1)、若 $C O / /$ 平面 $B E F$ ，求 $\frac{P C}{F C}$ 的值；

(2)、若F为 $P C$ 的中点， $B C = A C$ ，求直线 $C D$ 与平面 $B E F$ 所成角的余弦值．

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19. 李雷、韩梅梅两人进行象棋比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满4局时停止．设李雷在每局中获胜的概率为 $P (P > \frac{1}{2})$ ，且各局胜负相互独立．已知第二局比赛结束时比赛停止的概率为 $\frac{5}{8}$ ．

(1)、求P的值；

(2)、设 $ξ$ 表示比赛停止时李雷的总得分，求随机变量 $ξ$ 的分布列和数学期望 $E (ξ)$ ．

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20. 已知椭圆 $M ： \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右顶点分别为A，B，上、下顶点分别为C，D，右焦点为F，离心率为 $\frac{1}{2}$ ，其中 $4 | F A | = | F B | \cdot | C D |^{2}$ ．

(1)、求椭圆的标准方程．

(2)、过椭圆的左焦点 $F^{'}$ 的直线l与椭圆M交于E，H两点，记 $△ A B E$ 与 $△ A B H$ 的面积分别为 $S_{1}$ 和 $S_{2}$ ，求 $| S_{1} - S_{2} |$ 的最大值．

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21. 已知函数 $f (x) = x^{- 2} \cdot e^{x} ， g (x) = - 2 \ln x$ ．

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的单调区间．

(2)、 $h (x) = x f (x) + g (x)$ ，若 $x_{0}$ 为 $y = x^{2} h^{'} (x)$ 极值点，其中 $h^{'} (x)$ 为函数 $h (x)$ 的导函数．证明： $4 - 2 \ln 2 < h (x_{0}) < 9 - 2 \ln 2$ ．

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22. 平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = \frac{1 - t}{1 + t} \\ y = \frac{2 t}{1 + t} \end{array}$ （t为参数，且 $t \neq - 1$ ）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程为 $ρ = \frac{4 \cos θ}{\sin^{2} θ}$ ．

(1)、求曲线 $C_{1}$ 的极坐标方程和曲线 $C_{2}$ 的直角坐标方程；

(2)、已知点A的极坐标为（1,0），直线 $l : θ = α (ρ \in R)$ 与 $C_{1}$ 交于点B，其中 $α \in (0, \frac{π}{2})$ 过点A的直线n与 $C_{2}$ 交于M，N两点，若 $n ⊥ l$ ，且 $\frac{| A M | \cdot | A N |}{| O B |^{2}} = 16,$ ，求 $α$ 的取值

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23. 已知函数 $f (x) = | x + 1 | - | 2 x - 1 |$ ．

(1)、求 $f (x) \geq - 3$ 的解集．

(2)、若存在a，b，关于x的不等式 $| b + a | - | 2 b - a | \geq | a | (| x + 1 | + | x - 2 m |) (a \neq 0)$ 有解，求实数m的取值范围．

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