江西省上饶市2021届高三理数第一次高考模拟考试试卷

试卷更新日期：2021-03-30 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 设 $A = {x | 1 \leq x \leq 3}$ ， $B = {x | \log_{2} (x - 1) > 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- \infty, 2)$ B、 $[1, 2)$ C、 $(1, 2)$ D、 $(2, 3]$

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2. 设复数 $z = \frac{3 - i}{1 + 2 i}$ ，则复数 $z$ 的虚部是（）

A、 $\frac{7}{5} i$ B、 $\frac{7}{5}$ C、 $- \frac{7}{5} i$ D、 $- \frac{7}{5}$

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3. 若 $a > b$ ，则下列不等式正确的是（）

A、 $\ln (a - b) > 0$ B、 $3^{a} < 3^{b}$ C、 $a^{3} > b^{3}$ D、 $| a | > | b |$

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4. 已知 $F$ 为抛物线 $C ： y^{2} = 4 x$ 的焦点，过点 $F$ 的直线 $l$ 交抛物线 $C$ 于 $A$ ， $B$ 两点，若 $| A B | = 6$ ，则线段 $A B$ 的中点 $M$ 到抛物线 $C$ 的准线的距离为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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5. 埃及金字塔是古埃及的帝王（法老）陵墓，世界七大奇迹之一，其中较为著名的是胡夫金字塔.令人吃惊的并不仅仅是胡夫金字塔的雄壮身姿，还有发生在胡夫金字塔上的数字“巧合”.如胡夫金字塔的底部周长如果除以其高度的两倍，得到的商为3.14159，这就是圆周率较为精确的近似值，胡夫金字塔底部形为正方形，整个塔形为正四棱锥，经古代能工巧匠建设完成后，底座边长大约230米.因年久风化，胡夫金字塔现高约为136.5米，则与建成时比较顶端约剥落了（）

A、8米 B、10米 C、12米 D、14米

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6. 根据如下样本数据，得到回归直线方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ ，则（）

$x$

3

4

5

6

7

8

$y$

-3.0

-2.0

0.5

-0.5

2.5

4.0

A、 $\hat{a} > 0$ ， $\hat{b} > 0$ B、 $\hat{a} > 0$ ， $\hat{b} < 0$ C、 $\hat{a} < 0$ ， $\hat{b} > 0$ D、 $\hat{a} < 0$ ， $\hat{b} < 0$

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7. 函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0 ， | φ | < \frac{π}{2})$ 的图象如图所示，为了得到 $g (x) = \sin (3 x - \frac{π}{4})$ 的图象，只需将 $f (x)$ 的图象（）

A、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 B、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度 C、向右平移 $\frac{π}{2}$ 个单位长度 D、向左平移 $\frac{π}{2}$ 个单位长度

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8. 点 $P$ 是边长为2的正 $△ A B C$ 的边 $B C$ 上一点，且 $\vec{C P} = \frac{1}{3} \vec{C B}$ ，则 $\vec{A P} \cdot (\vec{A B} + \vec{A C}) =$ （）

A、2 B、4 C、6 D、8

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9. 已知 $α$ ， $β$ 均为锐角， $\cos (α + β) = - \frac{5}{13}$ ， $\sin (β + \frac{π}{3}) = \frac{4}{5}$ ，则 $\cos (α - \frac{π}{3}) =$ （）

A、 $\frac{33}{65}$ B、 $- \frac{33}{65}$ C、 $\frac{63}{65}$ D、 $\frac{33}{65}$ 或 $\frac{63}{65}$

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10. 在三棱锥 $A - B C D$ 中， $A B ⊥$ 平面 $B C D$ ， $△ B C D$ 是边长为3的正三角形， $A B = \sqrt{3}$ ，则该三棱锥的外接球的表面积为（）

A、21π B、6π C、24π D、15π

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11. 已知圆 $C : {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 1$ ，直线 $l : y = k x - 2$ ，若直线 $l$ 上存在点 $P$ ，过点 $P$ 引圆 $C$ 的两条切线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 使得 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $[2 - \sqrt{3}, 2 + \sqrt{3}]$ B、 $[0, 2 - \sqrt{3}) \cup (2 + \sqrt{3}, + \infty)$ C、 $(- \infty, 0)$ D、 $[0, + \infty)$

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12. 已知函数 $f (x) = a e^{x} + x (\ln a + x - \ln x)$ ，若不等式 $f (x) \geq x$ 在 $x \in (0 ， + \infty)$ 上恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[1 ， + \infty)$ B、 $[\frac{2}{e} ， + \infty)$ C、 $[\frac{1}{e} ， + \infty)$ D、 $[\frac{1}{e^{2}} ， + \infty)$

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二、填空题

13. ${(x - \frac{2}{x^{3}})}^{4}$ 的展开式的常数项是（用数字作答）.

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14. 已知实数 $x$ ， $y$ 满足约束条件 ${\begin{array}{l} x + 2 y \geq 2 ， \\ x - y \leq 2 ， \\ x - 4 y + 4 \geq 0 \end{array} ，$ 则 $z = x - 2 y$ 的最小值为.

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15. 已知点 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，分别为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点， $M (x_{0}, y_{0}) (x_{0} > 0, y_{0} > 0)$ 是该双曲线的渐近线上一点，且满足 $∠ F_{1} M F_{2} = 90 °$ ，线段 $F_{2} M$ 的延长线交 $y$ 轴于 $N$ 点，若 $| M F_{2} | : | M N | = 3 : 2$ ，则此双曲线的离心率为.

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16. 已知 $△ A B C$ 的外心为 $O$ ， $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边， $2 \vec{A O} \cdot \vec{C B} + 3 \vec{B O} \cdot \vec{A C} + 3 b^{2} - 2 a^{2} = 0$ ，则 $\cos B$ 的最小值为.

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三、解答题

17. 已知公比 $q$ 大于1的等比数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} + a_{2} = 6$ ， $a_{3} = 8$ .

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = \log_{2} a_{n}^{2}$ ，求数列 ${\frac{1}{(b_{n} - 1) (b_{n} + 1)}}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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18. 四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P C ⊥$ 面 $A B C D$ ，直角梯形 $A B C D$ 中， $∠ B = ∠ C = 90 °$ ， $A B = 4$ ， $C D = 1$ ， $P C = 4$ ，点 $M$ 在 $P B$ 上且 $P B = 4 P M$ . $P B$ 与平面 $P C D$ 所成角为45°.

(1)、求证： $C M //$ 面 $P A D$ ；

(2)、求平面 $B M C$ 与平面 $A M C$ 所成锐二面角的余弦值.

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19. 上饶市正在创建全国文明城市，我们简称创文.全国文明城市是极具价值的无形资产和重要城市品牌.创文期间，将有创文检查人员到学校随机找学生进行提问，被提问者之间回答问题相互独立、互不影响.对每位学生提问时，创文检查人员将从规定的5个问题中随机抽取2个问题进行提问.某日，创文检查人员来到 $A$ 校，随机找了三名同学甲、乙、丙进行提问，其中甲只能答对这规定5个问题中的3个，乙能答对其中的4个，而丙能全部答对这5个问题.计一个问题答对加10分，答错不扣分，最终三人得分相加，满分60分，达到50分以上（含50分）时该学校为优秀.

(1)、求甲、乙两位同学共答对2个问题的概率；

(2)、设随机变量 $X$ 表示甲、乙、丙三位同学共答对的问题总数，求 $X$ 的分布列及数学期望，并求出 $A$ 校为优秀的概率.

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20. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ 且短轴长为2.

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、若直线 $l$ 与椭圆 $C$ 交于 $M$ ， $N$ 两点， $P (0, 1)$ ，直线 $P M$ 与直线 $P N$ 的斜率之积为 $\frac{1}{6}$ ，证明直线 $l$ 过定点并求出该定点坐标.

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21. 已知 $f (x) = a e^{2 x} - x e^{x}$ .

(1)、若 $a = \frac{1}{2}$ ，讨论 $f (x)$ 的单调性；

(2)、 $\forall x \in R$ ， $f (x) \leq - \frac{2}{a}$ ，求实数 $a$ 的最小值.

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22. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，曲线 $C_{1}$ 的参数方程为 ${\begin{array}{l} x = 2 \cos α \\ y = 2 + 2 \sin α \end{array}$ （ $α$ 为参数）.以原点 $O$ 为极点， $x$ 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 $C_{2}$ 的极坐标方程 $ρ = \frac{2}{\sqrt{1 + 3 \sin^{2} θ}}$ .

(1)、求曲线 $C_{2}$ 的普通方程；

(2)、设 $A$ 是曲线 $C_{1}$ 上的动点， $B$ 是曲线 $C_{2}$ 上的动点，求 $| A B |$ 的最大值.

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23. 设函数 $f (x) = | x + 2 | + | 2 x - 1 |$ .

(1)、求 $f (x)$ 的最小值；

(2)、若集合 ${x \in R | f (x) + a x - 1 < 0} \neq \emptyset$ ，求实数 $a$ 的取值范围.

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$x$	3	4	5	6	7	8
$y$	-3.0	-2.0	0.5	-0.5	2.5	4.0