江苏省盐城市、南京市2021届高三下学期数学第一次模拟考试试卷

试卷更新日期：2021-03-30 类型：高考模拟

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一、单选题

1. 若 $\frac{1 + a i}{2 - i}$ 为实数，其中i为虚数单位，则实数a的值为（）

A、2 B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、-2

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2. 已知函数 $y = \lg (- x^{2} - x + 2)$ 的定义域为集合M，函数 $y = \sin x$ 的值域为N，则 $M \cap N =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 $(- 2, 1]$ C、 $[- 1, 1)$ D、 $[- 1, 1]$

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3. 函数 $f (x) = \frac{2 x^{\frac{5}{3}}}{\ln | x |}$ 在其定义域上的图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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4. 一次竞赛考试，老师让学生甲､乙､丙､丁预测他们的名次.学生甲说：丁第一；学生乙说：我不是第一；学生丙说：甲第一；学生丁说：甲第二.若有且仅有一名学生预测错误，则该学生是（）

A、甲 B、乙 C、丙 D、丁

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5. 化简 $\sin^{2} (\frac{π}{6} - α) - \sin^{2} (\frac{π}{3} + α)$ 可得（）

A、 $\cos (2 α + \frac{π}{3})$ B、 $- \sin (2 α + \frac{π}{6})$ C、 $\cos (2 α - \frac{π}{3})$ D、 $\sin (2 α - \frac{π}{6})$

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6. 某词汇研究机构为对某城市人们使用流行语的情况进行调查，随机抽取了200人进行调查统计得下方的

2 \times 2

列联表.则根据列联表可知（）

	年轻人	非年轻人	总计
经常用流行用	125	25	150
不常用流行用语	35	15	50
总计	160	40	200

参考公式：独立性检验统计量 $X^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .

下面的临界值表供参考：

$P (x^{2} \geq x_{0})$	0.15	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$x_{0}$	2.072	2.706	3.841	5.024	6.635	7.879	10.828

A、有95%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系 B、没有95%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系 C、有97.5%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”有关系 D、有97.5%的把握认为“经常用流行用语”与“年轻人”没有关系

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7. 设 $F_{1} ， F_{2}$ 分别为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0 ， b > 0)$ 的左､右焦点，圆 $F_{1}$ 与双曲线的渐近线相切，过 $F_{2}$ 与圆 $F_{1}$ 相切的直线与双曲线的一条渐近线垂直，则双曲线的两条渐近线所成的锐角 $α$ 的正切值为（）

A、 $\frac{8}{15}$ B、 $\sqrt{3}$ C、 $\frac{4}{3}$ D、1

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8. 已知点 $A ， B ， C ， D$ 在球O的表面上， $A B ⊥$ 平面 $B C D ， B C ⊥ C D$ ，若 $A B = 2 ， B C = 4 ， A C$ 与平面 $A B D$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ ，则球O表面上的动点P到平面 $A C D$ 距离的最大值为（）

A、2 B、3 C、4 D、5

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二、多选题

9. 下列关于向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ 的运算，一定成立的有（）

A、 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot \vec{c} + \vec{b} \cdot \vec{c}$ B、 $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c})$ C、 $\vec{a} \cdot \vec{b} \leq | \vec{a} | \cdot | \vec{b} |$ D、 $| \vec{a} - \vec{b} | \leq | \vec{a} | + | \vec{b} |$

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10. 下列选项中，关于x的不等式 $a x^{2} + (a - 1) x - 2 > 0$ 有实数解的充分不必要条件的有（）

A、 $a = 0$ B、 $a \geq - 3 + 2 \sqrt{2}$ C、 $a > 0$ D、 $a \leq - 3 - 2 \sqrt{2}$

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11. 已知函数 $f (x) = \log_{2} (1 + 4^{x}) - x$ ，则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 是偶函数 B、函数 $f (x)$ 是奇函数 C、函数 $f (x)$ 在 $(- \infty ， 0]$ 上为增函数 D、函数 $f (x)$ 的值域为 $[1 ， + \infty)$

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12. 回文数是一类特殊的正整数，这类数从左到右的数字排列与从右到左的数字排列完全相同，如1221，15351等都是回文数.若正整数i与n满足 $2 \leq i \leq n$ 且 $n \geq 4$ ，在 $[10^{i - 1} ， 10^{i} - 1]$ 上任取一个正整数取得回文数的概率记为 $P_{i}$ ，在 $[10 ， 10^{n} - 1]$ 上任取一个正整数取得回文数的概率记为 $Q_{n}$ ，则（）

A、 $P_{i} < P_{i + 1} (2 \leq i \leq n - 1)$ B、 $Q_{n} < \frac{1}{n - 1} \sum_{i = 2}^{n} P_{i}$ C、 $Q_{n} > \frac{1}{n - 1} \sum_{i = 2}^{n} P_{i}$ D、 $\sum_{n}^{i = 2} P_{i} < 1$

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三、填空题

13. 若函数 $f (x) = \sin (2 x + φ)$ 为偶函数，则 $φ$ 的一个值为.（写出一个即可）

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14. ${(1 + \sqrt[3]{2 x})}^{100}$ 的展开式中有理项的个数为.

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15. 在平面直角坐标系 $x O y$ 中，设抛物线 $y^{2} = 2 p_{1} x$ 与 $x^{2} = 2 p_{2} y$ 在第一象限的交点为A，若 $O A$ 的斜率为2，则 $\frac{p_{2}}{p_{1}} =$ .

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16. 罗默､伯努利家族､莱布尼兹等大数学家都先后研究过星形线 $C : x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = 1$ 的性质，其形美观，常用于超轻材料的设计.曲线C围成的图形的面积S2（选填“>”､“<”或“=”），曲线C上的动点到原点的距离的取值范围是.

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四、解答题

17. 设正项数列 ${a_{n}}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ， $2 S_{n} = a_{n}^{2} + a_{n}$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、求证： $\sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{a_{i}^{2} + a_{i + 1}^{2} - 1} < \frac{1}{2}$ .

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18. 在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, A = B + 3 C$ .

(1)、求 $\sin C$ 的取值范围；

(2)、若 $c = 6 b$ ，求 $\sin C$ 的值.

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19. 如图，在五面体 $A B C D E F$ 中，四边形 $A B E F$ 为正方形，平面 $A B E F ⊥$ 平面 $C D F E$ ， $C D / / E F$ ， $D F ⊥ E F$ ， $E F = 2 C D = 2$ .

(1)、若 $D F = 2$ ，求二面角 $A - C E - F$ 的正弦值；

(2)、若平面 $A C F ⊥$ 平面 $B C E$ ，求 $D F$ 的长.

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20. 某市为创建全国文明城市，市文明办举办了一次文明知识网络竞赛，全市市民均有且只有一次参赛机会，满分为100分，得分大于等于80分的为优秀.竞赛结束后，随机抽取了参赛中100人的得分为样本，统计得到样本平均数为71，方差为81.假设该市有10万人参加了该竞赛活动，得分Z服从正态分布 $N (71, 81)$ .
参考数据：若 $Z \sim N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ < Z < μ + σ) \approx 0.68$ .

(1)、估计该市这次竞赛活动得分优秀者的人数是多少万人?

(2)、该市文明办为调动市民参加竞赛的积极性，制定了如下奖励方案：所有参加竞赛活动者，均可参加“抽奖赢电话费”活动，竞赛得分优秀者可抽奖两次，其余参加者抽奖一次.抽奖者点击抽奖按钮，即随机产生一个两位数（10，11， $\dots$ ，99），若产生的两位数的数字相同，则可奖励40元电话费，否则奖励10元电话费.假设参加竞赛活动的所有人均参加了抽奖活动，估计这次活动奖励的电话费总额为多少万元?

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21. 设F为椭圆 $C ： \frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ 的右焦点，过点 $(2 ， 0)$ 的直线与椭圆C交于 $A ， B$ 两点.

(1)、若点B为椭圆C的上顶点，求直线 $A F$ 的方程；

(2)、设直线 $A F ， B F$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2} (k_{2} \neq 0)$ ，求证： $\frac{k_{1}}{k_{2}}$ 为定值.

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22. 设函数 $f (x) = a^{x} + e^{- x} (a > 1)$ .

(1)、求证： $f (x)$ 有极值点；

(2)、设 $f (x)$ 的极值点为 $x_{0}$ ，若对任意正整数a都有 $x_{0} \in (m ， n)$ ，其中 $m ， n \in Z$ ，求 $n - m$ 的最小值.

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